《电磁场与电磁能》课程教学课件（MIT，[美]H·A·豪斯J·R·梅尔彻，中译本）第14章 一维波动力学

第14章一维波动力学14.0引言从传送千兆瓦功率的平行导体输电线到在让算机之间传送微瓦信号的同轴线，都是双导体系统的例子。当这些线的长度变得很长，所关心的时间变得很短或频率很高时，电磁的波动力学起主要的作用。因此，本章导出的传输线模型将被广泛应用。经常用来表示无线电，微波和光频范围内的辐射场的平面波，可用传输线模型等效地述为了定性和定量两方面的目的，都需要导出一个方便的方法去分析这些系统的动态特性。因此，存在实际需要来推广研究第13 章中给出的对 TEM波和一维平面波的分析。波动方程是普遍存在的。虽然这个方程最精确地描述了电磁波，它同样适用于气体、液体或固体中的声波。激励的幅值(电磁场中的E和H,声波中的压力和速度)之间的动态相五作用可通过波动方程的解表现得很清楚。因此，本章所展开的讨论对于理解其它更复杂的动态现象作了准备。我们从14.1节中的具有分布参数的理想传输线出发，它提供了平面波（一维的）的精确表示。在14.2节中将证明对于应用极为广泛的一个沿轴线方向均匀的双导体系统，传输线方程提供了TEM场的精确描述。虽然然一般来说这些场是三维的，但绝缘体和导体都假定为完纯的条仆下，它们沿轴向的传播可精确地用一维波动方程表示。分布参数模型通常也被用来近似地描述不支承完全的TEM波的系统。14.3-14.6节描述了传输线上电压和电流的空问-时间的演变。集中处理瞬变响应的14.3—14.4节特别适用于数字信号的传播。14.5--14.6节集中讨论了在功率传输和通信系统中占优势的正弦稳态情况。电损耗对于在有耗媒质中或沿有耗结构传搭的电磁波的影响，将在14.7-14.9节中考虑。在14.7节中将把分布参数模型普遍化为包括电损耗在内。该模型的极限形式提供了在有耗媒质中 TEM 波的“精确”表示,或者是在自由空间，或者是沿一对埋在均勺有耗质中的完纯导体上传播，这一极限情况在14.8节中论述。当导体一经被视作“完纯时，模型是精确的并且与物理系统等效。但是，在14.9节中举例说明的有耗传输线模型的第二个极限是不“精确”的。在此情况下，导体损耗将引起沿传播方向的电场分量。于是，场就不是TEM型，这节同时给出一个如何应用准一维模型的比较现实的观点14.1分布参数等效电路和分布参数模型本节的主题是图14.1所示的分布参数传输线。沿轴向所关心的任意有限长度内有无限个-481 ·

手工TI2+A2evityViZ+AIHy图 14.1.1分布参数传输线的增量长度。图14.1.2用传输线方程描述的平面波的可能极化方向和传播方向。如图中的插图所示的基本单元，即有无限个电容器和电感器。参数L和C定义为每单位长度的量。因此，在长度为+和：之间的单元内，L是长度为的一段传输线的串联电感（单位为享利)，同时，C△z是井联电容（单位为法拉）。在增量长度△z→0的极限情况下，这一分布参数的传输线可作为如下三种形式传播的电磁场的模型①。·首先，它给出均勾极化的平面电磁波的精确描述。不论是在12.2节中所述的由偶极子发出的任自由空间的波，或者是在13.1节中所述的在平行平而的完纯导电电极之间的TEM波，这些场都只与一个空间坐标及时间有关。·其次，在下节中我们将看到这一分布参数的传输线精确地描述沿轴向均匀的一对任意截面完纯导体构成的传输线上传播的与2,t有关的TEM波。这样的系统是一个平行板输电线的普遍化。然而，与这一特殊情况相反，一般地，场量与横向坐标有关。因此，一般说，这些场是三维的·第三，它近似地表示具有大的纵横比的系统的（z,t)依从关系，即在z方向涉及的长度（例如波长)远大于横向尺寸。为了反映模型的近似性质和它所代表的系统的二维和三维的性质，往往称它为准一维的。我们可得到支配传输线的电流1(z,t)和电压V(s，t）的一对偏微分方程，首先根据流入一个单元段的节点总电流为零，有mm1(0 -1(+ 2) = -%(1)然后，要求沿回路串联电压降相加为零，有2V(2) -V(+A2) =LA22)(2) 把以上二式除以z,并承认Nm(+-(a(3)-2A2结果就得到传输线方程为侧于和准静态场相比较，在13幸中将TEM被的传播方门取为9。仙比较习惯的是以。表示。** 482*

(4)Ctav-L9(5)本节其余部分将继续介绍这些定律所表示的物理含义。平面波以下各节将导出描述传输线上场量的空间-时间演变，这些可同等地应用于描述电础平面波。例如，假设场量具有图14.1.2所示的形式E=Es(z,t)i:H=He(z,t)i)(6)于是安培和法拉第定律的，分量可简化为①2--0%:(7)E--(8)这些定律与传输线方程（4)（5)式一致，只要将H,-I,E++V,e+C,u+L(9)用了这些变量及参数之间的对应关系，这些讨论同样可应用于平面波，不论我们考虑的是波的瞬变过程或是下节将要考虑的正弦稳态71理想传输线能存任于如图 14. 1.3 所示的平行板之间的Ex(z.)TEM 场，可以被认为是满足由电极施加的边界条件的平面波或者被认为是传输线场的特例。下面FH,at的例子说明向第二种观点的过渡。图14.1.3其中导体为平行板的传输线例子例14.1.1平行板传输线在此情况下，在图14. 1.2中所示B。和H，和用(7)、(8)两式所描述的场可以无变化期存在于图14,1,3所示的平板之间。如果电压、电流定义火(10)T-Ea;[-Hw方程(7)和(8)变成与传输线方程(4)和(5)式完全一致,只要每单位长度的电容和电感定义为LIC-we; Lmau(11)注意，这些C和L确实可从第5和第8章中对于图14.1.3所示的这对完纯导电板求得，如果在≥方向为单位长度，并在右端分别为“开路”和"短路2作为描述场的另一种方式，分布的L-C传输线模型给出了实际系统中工作的物理过程的电路理论的解释。正如用方程(1)及(4)所表示的,电流I可以是2的函数,因为它的某些部分用丁手给线路的“电容”C充电。这是安培定律式(7)的右端项中位移电流效应的另一种表示方式。电①对于场量在*-不面并方间传播的(13.1.2)式和(13.1.3)式比较。· 483·

压√是2的函数，因为线路电感引起电压降，即使导体被认为是无电阻的。这是从式(2)及(5)导得并且包含了与法拉第微分定律式(8)相同的信息。 在某一位置≥处,E从一个导体到另一个导体的积分可能不同于在另一位置E的积分。这是由于磁通被包含这些积分路径，并沿完纯导体闭合的周线交链的原因。在下节，我们将把对TEM波的图景普遍化并看到式（4)和（5）能精确地描述任意面的对完纯导体之间的横波。当然，L和C是被考虑的一对特殊导体每单位长度的电感和电容。场量不仅与在传输线方程中出现的自变最（z，t)有关，而且也与横向垒标有关。因此，平行板传输线和下节将考虑的普遍化的线都是分布蚕数模型是精确的例子在这些情况下，TEM波是包括频率高到其对应的波长可与传输线的横向尺寸相比拟或小于其横向尺寸的所有频率的边值问题的精确解。正如人们从 13.1-13.3 节的分析所期望的,在方向传播的高次模也都是有效解。这些并不是由传输线方程(4)和(5)所描述的。准一维的模型分布参数模型也经常用来表示不完全的TEM型的场。由分布的L-C网络构成的近似模型的例子，假设一对平行平面的导体板之间在=d<α的区域是充满某一介电常数的一种介质，而其余部分充以另一种具有不同介电常数的介质材料，即在导体间为不均勾介质。我们会看到，在电场只有对于的横向分量时①，在两种介质之问的交界面上不可能精确地满足电场的切向和法向分量边界条件。邸使如此，当波长与横向尺寸相比非常长，分布参数模型提供了有用的近似描述。用在该模型里的每单位长度的电容以近似的方式反映了非均匀介质的影响。14.2横电磁波13.1节中的平行板是图14.2.1所示的普遍结构的特例。在任意的z=常数的平面上，导体有相间的横截面，但截面的形状可以是任意的。在一对完纯导体之间的区域内充满一种均勾的介电常数为e，磁导率为μ的材料。在这节中，我们将看到这种结构能支承对于轴向坐标z的横向场，而且这些场与-1的依从关系可以用理想的传输线模型来描述。承TEM场的平行完纯导体结构两种普通的传输线构型在图14.2.2中说明。TEM场可很方便地通过在12.1节中用来描述电动力学场的矢量位A和标量位@来描述，这是因为这种场只有A的轴向分最(1)A=A(a,y,z,0)i.我们会看到均平面波不能指述达这种情况，因为在不同介电常数的介质中，平面波的传播速度是不同的②现在传播方向是：而不是-484

(b)图14.2.2支承 TEM 场的传输线的两个例子：(a）平行的双导线；(b）同轴导体的确,在笛卡儿垒标系中的计算表明,即使 A,一般地不只是横坐标的函数,它也是轴向坐标≥的函数，不存在H的纵向分量。为保证电场也是对≥辅横向的，使E与A和Φ相联系的表达式（12.1.3）的z分量必须为零--4=0(2)E, =.中和A,之间的第二个关系是规范条件式(12.1.7),考虑到(1)式,它可表示为-(3)把最后这两个方程相结合，表明@和4.都必须满足一维波动方程。例如在(2)式对≥的导数和(3)式对的导数之间消去a4,/aza项就给叫0n090(4)把≥和t的角色互换，通过相似的运算，证明A也满足一维波动方程。A-ueA(5)即使这些位满足一维波动方程,在一般情况下它们与横向坐标有关。事实上,支配对横坐标依从关系的微分方程是二维拉菁拉斯方程。为说明此点，观察三维的拉普拉斯算子，它由对于向坐标导数的部分和对于≥的二阶导数组成。=十(6)-般地，Φ和A都满足三维波动方程，即式(12.1.8)和(12.1.10)的齐次形式。但是鉴于式(4)和(5),这些表达式可简化为V10=0(7)(8)VIA.=0式中拉普拉斯算符是用横向坐标项表示的二维拉普拉斯算符。即使实际 E场量与≥坐标有关,但是从其横向依从关系来看,场量是准静态和二维的。在导体表面上的边界条件要求无切向的 E 和法向的B。如果在导体表面 A. 为常数，达后一条件占优势。这--条件从8.6节中已经熟悉。随着在图14.2.1中所示的在一个导体的表面·485

S上定义A,为零而在第二个导体的任意位置计算A时，它等于穿过每单位长度导体之间的磁通量。于是，强加于A的边界条件为A0在S,上；A=A(z,)在S上(9)正如其中用4.表示二维磁场的8.6节中所描述的，4是穿过导体之间每单位长度的磁通量。因为E对≥是横向的,且 A 只有含分量,E可从对β取磺梯度而得,正如场是二维的一样。因此可通过令导体表面Φ为常数而满足的E的边界条件是第4和第5章中常见的。(10)Φ=0在S，上:Φ-V(在S2根据定义，4等于每单位长的电感乘以具有表南为S，的导体所载的总电流1。A--LI(11)现在，传输线方程中的第一个可从在第二个导体的边界S2上计算式(2)的值并应用式(11)对 4 的定义而得。+%(12)第二个方程可类似地从计算式(3)得出，这次我们利用关系式LC=ue(8.6.14)，引人单位长度的电容。%+%(13)在给定的恒值平面内，E在导体之间的积分等于V，并可解释为是导体之间的电压。在z为常数的平面内从一个导体向十≥方向流动并从一~方向由另一导体流回的总电流是1。因为电磁感应的重要影响，V是≥的函数。类似地，因为位移电流的重要影响，电流I也是≥的函数例14.2.1平行板传输线在图 14.1.3 所示的究纯导电的平行板之间,满足边界条件式(9)和(10)的(7)和(8)二式的解是4,=4(2, 0)(1-号)-%(1-号)(2, 0)(14)β-(1-三)V(z,t)(15)在第5的EQS场中，后者是与平行平面电极之间的均匀电场相关的位；在例8.4.4的MQS场中，式(14)是蝶线管内的均匀磁场相英的失量位。每单位长度的电感可从式(11)及在表山 S,计算(14)式的值而得。高单计算每单位长度电容的·个方法是利用关系式LC=ue。L-;C-E-EW(16)第4章中每一个具有二个完纯导电边界的二维例子都是支持沿垂直于该二维变量方向传播的TEM场的结构。对于满足边界条件(10)的方程(7)的每一个解，有一个满足条件(9)的方程(8)的解。这是利用第8章中用来描述具有完纯导电边界的磁场（例8.6.3）的反对偶条件面得下一个例了将说明如何从前面各章中导出结果来，&486

例14.2.2平行导线传输线对图 14.2.2(8)所示的平行导线结构,每单位长度的电容已在例 4.6. 3 中的(4.6. 27)式中导得,(17)+()-]每单位长度的电感在例 8.6.1中的（8.6.12)式中导得）(18)L些[+() -]自然,它们的乘积是 ue。在任意给定瞬间，电场和磁场具有分别在图4.6.5和8.6.6中画出的横截面内的分布和的演变可由维被动方程（4)或(5)，或者从由传输线方程的结合得出的相似的方程计传播沿着方向。在场具有与EQS 和 MQS 图景相同的横向分布的条件下，下节将集中讨论对场量随≥ 和 t的演变。空心管中不存在TEM场从本节给出的对TEM场的一般叙述，我们能看到TEM模式不存在于空心的完纯导体管中。这是根据 4, 和β两者在管壁上必须是常数，并且满足这些条件的(7)和(8)两式的解 4. 和中必须分别等于这些常数。从5. 2节我们知道，拉普拉斯方程的这些解是唯一的，于是它们所表示的E和H 将为零，所以不可能存在 TEM场。这是与13,4节中的矩形波导中的结论-致的。在13.1-13.3诸节中所研究的平行板结构能支承TEM模，是因为假设了在任意给定的横截面（亚直于轴的位置)上,电极是相互绝缘的。功率流和能量储存传输线模型用电压V和电流I表示场。对于TEM场，这并非近似，而是处理三维的与时间有关的场的一种第一流的办法。为强调说明此点，我们现在证明从传输线模型导得的功率流和能量储存与从坡印亨定理所导得的之间的等价性。个双导体系统的增量长度Az及其横截面示于图14.2.3中。在11.1节中介绍过的能益守恒定律的一维形式可以从传输线方程中应用类似于在11.2节中推导坡印亨定理的处理方法来导得。将(14.1.4)式乘以V与(14.1.5)乘以I后相加，其结果是能量守恒的-维陈述个增最长变及其横裁面487

（)(19)这个方程有直觉的“吸引力”。沿方向流动的功率是VI，储存在每单位长度的电场和磁场能量分别是cV和I。式（19）乘以Az说明处的功率流超过z+Az处的功率流等于储存在传输线的长度A内的能量变化率。同样的结果可以从三维坡印享积分定理（11.1.1)式得到，利用(11.3.3)式的计算值，并应用于具有增量长度A截面积为A的一个体积元（如果需要可将它扩展到无穷远）EHida(ExH.ida-I(E-ETuHH)da(20)这里，坡印享通量密度E×H在闭合面S上的积分，已变换为在平面zAz上的截面积A的积分。在此情况下，闭合面是一沿≥方向长度为△z和由图14.2.36中的周线C所描述的侧面的柱形表面。坡印卡通量密度在这个侧面（具有轮廓C和长度△2)的不同部分上的积分，或者为零或者互相抵消。例如，在标有C,和C。的导体表面上的积分为零，因为E与这些面垂直。因此，对于在表面S上的积分的贡献只有来自在+A以及平面上对A的积分值。注意，在写出式(20)左边的各项贡献时，对这些积分表面的法线方向分别是；和一i。为了看到坡印亭失量在该系统的横截面上的积分确实可简单地表示为VI，E可用式(12.1.3)的位写成[ ExH.ida-L(-v-A)xH-ida(21)积分表面有2方向的法线。因为A也是在方向,aA/αt与H的叉积必定与垂直,因而对积分不作资献。应用一矢量恒等式可将此积分变换为ExH.idu-]Fd HidaW(bH).idaJorxHida(22)在图14.2.3中被周线C包围的面积A是绝缘的。因此，由于在此区域内J=0，于是电场和位移电流均垂直于积分表面。安培定律告诉我们，在第二个积分中的被积函数为零。第一个积分可通过斯托克斯定理转换为线积分[ExH.ida=-$@Hds(23)在周线上，在C，和无限远处@=0。沿着连接C和C.至无限远处线段的积分的贡献抵消了，仅有的贡献来自C段。在周线C，上，Φ=V，所以Φ为常数。最后，又因为位移电流垂直于ds485

安培积分定律要求沿包围具有电位为V的导体的周线C。上H的线积分应等于-1。于是式(23)变为( ExHida=--vd,H.ds=VI(24)由皱印享定理描绘的流过导体之间的绝缘区域的轴向功率通量恰好由其中一个导体的电压和电流表示。为使这些等值性观点公式化，用式(24)来计算坡印享定理式(20)的左端，并将该式除以Az,得[V(z+Az)I(z+z) V(2)I()]A-%(.E+ uH.H)da(25)在△z-→>0的极限下，这一陈述与传输线方程式(19)所隐含的陈述等效，因为每单位长度内储存的电场和磁场能最是Lr-AuH.HdaLeE.Eda:(26)CV2总之，对于TEM场可以把传输线看作每单位长度储存的由式(26)给出的能量，并且在：方向传送功率VI。14.3无限长传输线上的瞬变过程传输线或平面波的瞬变响应对时域的反射测量及雷达是很有意义的。在这些应用中，提供所需信息的是延迟和对脉冲状信号响应的形状。更普遍的应用是由各种类型的电缆和光纤所传送的表示数字信号的脉冲。再有，脉冲的延迟和反射常常是很重要的，了解这些对于一般的通信系统如何影响，是这节和下一节的一个目的。下面4节将加深对一维波动方程所描述的动态现象的理解。这节和下节关心的是瞬变，并集中于初始条件和边界条件以建立由因果关系起关键作用的认识。于是，在接通瞬变的效应己消失的条件下，将在14.5—14.6节中讨论正弦稳态响应。传输线上的电压V(2,1）和相关的TEM场的演变是由-一维波动方程支配的,这可从联立解传输线方程(14,1.4)一(5)而得的电压V的表达式看出。-O(1)CEiCVie这个方程有一对通解(2)V-V+(a)+V.(p)式中 V, 和 V.是变量α和 β的任意函数,α 和 β侧由自变量 z 和 t 的特定结合所定义。(3)α=z--ct(4)8-z+ct为了看到这个通解事实上满足波动方程，只要对它求导并将它们代人原方程中，为此目的，39

观察av+V.:干cV'(5)az这里的撤表示对函数的宗量求导，对上式再次求导就给“计算波动方程所需的二阶导数式。-V;"V=cO将这些导数的表达式代入(1)式，证明它们是满足方程(1)的。所以，具有式(2)形式的函数确实是波动方程的解。按照式(2)，V是由分别沿正负：方向形状不变地传播的场的叠加。当α保持常数时，分量V.是常数。当α是常数，位置：随时间t按如下规律增加。z=a十ct(7)当β保持常数时，式(2)的第二个分量的形状保持不变，就象≥坐标按速率。减少那样。函数V.-ct)和V-（+ct）分别表示形状不变地以速率c向上z和一方向（向前和向后）行进的波，于是，我们可得如下结论：电压可看作是向前及向后的两个波V和V-的叠加，如果导体周围的区域是自由空间（e=e和μ=μo)，则传播速度是光速c~3×10°m/s。因为I(，t)也满足→维波动方程，它也能写成两个行波的和，即.I=I. (α) +1-(β)(8)这些电流和电压分是之间的关系可通过把式(2)和(8)代入传输线方程(14.1.4)一(14.1.5)中的任个而求得，这两个方程给出相同的结果，只要记住α=1/VLC。总之，作为描述理想传输线方程的基本解，有V=V.(a) +V-(β)(9)1-+(a)--(P)(10)式中B=z+ota=z-ct;(11)这里，Z。定义为线的特征阻抗。[-e](12)通窝，Z。等于本征阻抗√乘以一个描述传输线模截面儿何形状的尺寸比值的函数。实例平行导线的特征阻执作为一个例子，例14.2.2的平行导线传输线的特征阻抗为(3)O-[+V(A)-Te对白由空间，Vple~3772。+490 :