《电磁场与电磁能》课程教学课件（MIT，[美]H·A·豪斯J·R·梅尔彻，中译本）第8章 磁准静态场 重叠积分和边值观点

第8章磁准静态场：重叠积分和边值观点8.0引我们现在仿效电准静态场的研究方法来研究磁准静态场。按照图1.0.1中概括的思路流程图，我们已经完成了左边的EQS栏。从右边的MQS栏的上部开始，回想第3章主要的定律是安培定律（忽略了位移电流密度)和磁通连续性定律（表3.6. 1)(1)[VxH-)V-MoH-O(2)这些定律已与交界面上的连续性条件相关。如果交界面上载有面电流密度K,那么，与(1)式相关的连续性条件是(1.4.16)式(3)n×(H"-Hb)-K与(2)式相关的连续性条件是(1.7.6)式(4)n.(μ.H"--μ.Hb)=0在磁化材料不存在时，给定场源电流密度J，这些定律就可确定磁场强度H。与电准静态场强度E不同，H并不是处处都是无旋的。然而它是处处无散的EQS和MQS的主要定律间的相似性和相异性是这一章和后面两章的课题。相似性将会精简叙述，而相异性会深化对MQS和EQS两系统的理解。第4章和第5章所提出过的思想在这里仍是有用的。 这样，对 MQS 系统来说，这一章仅起着像前面两章对 EQS 系统所起的作用一样第4章是通过把无旋场以标量位表示开始的。在这里，H一般不是无旋的，虽然在某些无源区域内它可能是无旋的。另一方面，即使在第9章介绍磁化的效应谢，广义磁通密度u.H仍是处处无散的。因此，8.1节着重于u.H的无散特性，并且导出矢量位所满足的矢量彤式的泊松方程，由此可以求得H场。在第4章中，电位被用来描述无旋的电场，我们暂停了对标最位的性质的讨论。同样地，这里我们可钻研用失量位表示一个无救场的通量的方法。用于两个原因，我们将把对失量位的这个解释的叙述放在稍后的8.6节中。首先，像我们在8.2节中将看到的，重餐积分方法常常用丁把场源即电流密度与磁场强度直接地联系起来，而不需要标猛位这个媒介物。其次，许多常见的涉及载流线圈的情形能够通过把线圈导线表示成面电流加以理想化。在这一理想化中，除面电流流动的一些表面外，空间其余部分都是无电流的。但是，出于除穿过这些装面外，H是处处无旋的，这意味着H场可以表示为个标量位的梯度。此外，由于磁场是无散的(至少在这一章中，这236

里不涉及磁化材料)，所以标量位遵循拉普拉斯方程。这样，EQS系统中所提出的解拉普拉斯万程的大多数方法也可用1求MQS系统的解。以这种方式，我们将发现对前面几章己求解过的“对偶”情况。在8.4节中，这一方法将被推广应用于存在完纯导体的时变的准静态磁场，最后，在第9章中，我们将把这种方法推广于含有分块均勾和线性磁化材料的问题中。唯一地确定的失盘场一矢量场由它的度和旋度唯一地确定。将要在以后各节应用的这一事实可通过对5.2节所讨论的唯一性定理稍作·些修正得出。假定给定失量函数 C(r)和标量函数D(r)，并分别表示一个矢量函数F的旋度和散度(5)V×F C(r)·F--D(r)(6)此附,假如函数C(r)和D(r)处处给定并且具有与F在无限远处趋于零相一致的分布，则以前对唯一性证明中的相同论证表明 F 也可被唯一地确定。假定 F，和F，是式(5)和(6）的两个不同解，那末它们的差解Fa=F,一F，既是无旋又是无散的(7)VxFa=0(8)·Fa=0这个差解受与5.2节相同的方程支配。如果将F。取成拉普拉斯位的梯度，有关唯-性证明的其余步骤在这里仍然是同样适用的。唯一性的证明说期了两种微分矢量运算一—旋度和散度所起作用的重要性。在F欠量的分量偏导数的许多可能的组合中，这两个特定的组合有着相当重要的性质，它们的确定给出了有关F的全部信息。在第4章中，我们曾在给定失量源G=0和标量源D=p/e的条件下确定失量场F=E。在8.1节中，则是在给定标量源D=0和矢最源C=J时，我们要求出矢最场F=H。章，我们所采取的策略与第4章和第5章相类似。我们仍然可以考虑把场分成两部任这一分，一个是由电流密度引起的特解部分和一个满足边界条件所需的齐次解部分。这样，根据叠加原理可把场看作是特解和齐次解之和,则式(1)和(2)成为(9)VxH,-J(10)VμH,=0(11)VxH:=0V-μ.H,=0(12)在8.1—8.8诸节中，假定各处的电流密度部是给出的。导得的矢量和标母重登积分给出武(9)和(10)的解，而式(11)和(12)是不相关的。在8.4节中，所求解的是由完纯导体包围的自由空间区域内的场。(11)和(12)式被求解并H在没有利用特解的情况下使边界条件得到满足。在8.5节，电流是被强加的但只限于在表面上，可采用边值方法去求出特解。最后，8.6节以一个例题结束。在这个例题中，所感兴趣的区域内包含有完纯导体（完纯导体丧面感应山面电流，它产生齐次解)所界定的体积地流密度(它给出特解)。- 237

8.1矢量位和矢量泊松方程(8.0.2)式的通解是(1)uH-VXA式中A是矢量位。正如E=一grad@是EQS方程curlE=0的“积分"一样，(1)式也是(8.0.2)式的“积分"。记着，我们可以给加上一个任意常数而不影响E。就失最位来说，我们可以给A加上一任意标量函数的梯度而不影响H。的确，因为√×(V)=0,我们能够用A'=A+V来代替 A。A 的旋度与 A' 的相同。我们可以把(1)式解释为根据假设的已知实际H场来确定A。但是像在引言中指出的，为了唯一地确定一失最，必须同时给出它的散度和旋度。要唯一地确定A，我们还必须给出它的散度。只是我们这里所规定的是根据方便性，它们将按其应用而变化。在MQS系统中，我们将发现如取矢量位是无散的(2)V.A=0将是方便的。有时，把以这种方式来规定矢量位叫作取规范。我们把已建立的(2)式叫做库仑规范。我们现在回到根据MQS安培定律（8.0.1)式，和磁通连续性定律(8.0.2)式来计算A，从而计算H。以失量位来描述磁通密度则可使后者自动地得到满足。把(1)式代入安培定律(8.0.1)式，此时给出(3)V×(V×A) = μJ下列恒等式是成立的(4)X(V×A) =V(V-A)-VA定义A为一无散矢量的原因就是为了从这个表达式中消去√·A项，以及将(3)式化为矢量泊松方程。(5) 'A--μ此式左边的矢量拉普拉斯算子在笛卡儿坐标系中定义为，它的每个分量都是标量拉普拉斯算子作用在A的各个分盘的结果。这样，方程(5)等价于三个标量泊松方程，每个方程对应于矢量方程的各个笛卡儿分量。例如，分量是"A,=-μoJ.(6)利用以下替换A→@和ugJ,>一p/eo，这个表达式就变成第4章中的标量泊松方程(4.2.2)。后面这个方程的积分就是重叠积分(4.5.3)式。这样，通过变量替换，可给出(6)式的积分4-%], d(7)· 238

以及对A的其它两个分量的两个类似方程，用；乘(7)式并且加上对应的和分量则可构造出欠位A。我们得到对于失量位的重叠积分[4(0)-会d(8)请记住，r是电流密度源的坐标，而，是要计算A之点的坐标，也即观察者的坐标。如果给定各点的电流密度值，这个积分可给出失量位。因此，原则上讲，计算出这个积分并根据(1)式取度就确定了磁通密度μH。8.0节末的定理明确指出当每--点的电流密度都给定时，（8)式给出的解确实是唯一的。为了使√×A是一个物理上的通量密度，J()不能足一个任意的欠量场，因为任意欠量的div(curl)是恒等于零的，准静态安培定律(8.0.1)式的散度给出V(V×H)=0=J,这样VJ=0(9)即磁准静态场中的电流分布必须是无散的。当然，从8.0节给出的唯一性讨论中我们知道，（9)式并不能唯一地确定电流分布。在欧姆导体中,，满足(9)式的稳态电流分布已在7.1一7.5节得到了确定。这样，这些分布中的任何一个都可用于(8)式中。即使在动态条件下，(9)式对MQS系统仍然有效。然而，在8.4-8.6节中及在将要详细进行讨论的第10章中,如果时间变化率太快，法拉第定律要求一一个有旋电场，这个电场在确定电流密度分布中起着作用。至于现在，我们假设电流分布是对于稳定的欧姆传导的分布。二维的电流和矢量位分布假设一也流分布J=iJ：（z，)存在于整个空间内，此时，根据(8)式，矢量位沿≥方向并且它的2分量遵循标量泊松方程4],倍ao(10)但是，此式与电荷分布p(,9")产生的标量位的表达式(4.5.3)=Ae, J.d(11)在形式上完全相同。直接对上面这个方程积分是不方便的。代替它的是，我们根据对称性和高斯定律确定线电荷的场，再对导得的表达式积分，得到电位(4.5,18)式@=2()(12)这里是离开线电荷的距离（—）（），r。是参考半径。这样可从二维积分计算出标量位-2, fe(a, )n((-(a- jro)drdg(13)二维的2方向电流分布的失量位遵循相司的方程，这样，利用相似性，适当变换参数后可得到解为· 239

[fJ.(,y)n(V(a-+@-/ro)dr'dy(14)从这一推导过程可得出两个重要的推论(a）每一种给定的电荷分布p(z,9)所产生的二维EQS位Φ(r,),都有一个与p(r,3)相同空间分布的电流密度 J,(s,)引起的 MQS 类似量位 A.(,9)。 磁场可从(1)式导出,于是μHVXA-(i+)xiA=-x(i+i)=-iXVA(15)因此，磁通密度线垂直于A，的梯度。如果把等位线看作是磁通密度线，EQS问题的场线和等位线图可转换成一个MQS场问题的场图。等A.线就是磁通线。(b）通过与(12)式类比,可给出沿≥方向量值为i的线电流的失量位(16)A,=---toln (r/ro)如果我们利用在极垒标系中的旋度表达式134i,-04i(17)H-10则这与(1.4.10)式给出的磁场H=i(i/2元m)是相一致的下面举例说明（8）式所需要的积分。在稍后的儿节和几章中，将应用与奇异电流分布相关的场。例题 8.1. 1与电流片相关的磁场如图8.1.1所示，沿z方向的电流密度均勺分布在位于z。和间的一条游带上。薄带的厚度A远小于所感兴趣的其它尺寸。这样，(11)式沿"方向的积分等于电流密度乘以A。因此，完成对的积分就确定出失量位A,--"inW)+(-g) /r)de(18)武中K,JA珠排五VCOS程 8.1. 2一对间隔为d平行于 ：轴,裁有相反方间电图8.1.1所示均勾电流薄片的等值4,流1的细导线。二维的偶极于场示于图8.1.3中。由面的数面图种磁道密度线，240

这个积分已在例题4.5.3计算出了。在那里，确定了带电满带的二这样，用0/gpK，（4.524)式即变成所求的矢量位。等值4，曲面的剖面示于图8.1.1.记咨这些也就是磁通密度uH线。例 8. 1. 2 二维的磁偶极子场图8.1.2 示出--对载有显值为反方向电流的很接近的导体。电流搭z方商流向+初一无限远，阅此,最终的场是:二维的并且能用 A,来插述。在极坐标系中，从右边导体 (它离开 ≥ 轴的距离是 4)到观察点的距离近似地为acoap。每个导线的A，都取（16)式的形式，这里，从导线到观察点的距离。这样，把两根导线产生的尖最位相叠加给出(19)[1a (-dcos0)-Inr]--n(1-cos0)A8在极限dr时，这个表达式变成A d(20)这样，等值A，曲面与常值之平面的相交线是一族，如图8.1.3所示。这些球密度线，这可由(17)式导出(ng+sd）(21)uHo如果用线电荷代替线电流，则得到的等位线（即等位面与4-4平面的相交线）与图8.1,3所示均线相重合。因此，图8.1.3中所示磁构型的电对偶的电场强度钱沿着与所示典线相垂直的曲线，起始于右边的正线电围8.1.3等俏4，曲的机钱面，扭即是图8.1.2构型的磁通密度线荷，而终止于左边的负线电荷。8.2毕奥沙伐重叠积分经从8.1节的重叠积分确定了矢量位，即可由curIA计算出磁通密度。然而在某些场的计算中,最好是对场本身有一个重叠积分公式。例如,在数值计算中，数值导数应该避免。在进行积分计算之前,对(8.1.8)式给出的尖量位求旋度可得出场的选加积分式J(r')ldH-xA=V×J(1)这个积分是对源坐标r'进行的，而旋度运算涉及到对观察点坐标「求导数。因此，可在进行积！分计算之前，先进行旋度计算，这样(1)式变成H=, []ao(2)为了求取这个表达式中被积函数所需要的cur1运算可以进行，而不用考虑电流密度的特定分布，这是因为导数是对r的而不是对r"的。为了进行这一计算，注意到curl是对矢量J和标量—{r-r"-的乘积的运算。这-运算遵循矢疑恒等式×()=× x(3)中FJ与无关，上式右边第一项是零。因此，(2)式成为()xJdo(4)+241

为了计算出这个表达式中的梯度，考虑如图 8.2. 1 所示 r 位于球坐标系中原点的特殊情况，于是v(1/0)=-1i.(6)式中,i,是从位于原点的源坐标指向观察者坐标(r,,$)的单位矢盈。图8.2.1位于原点的球坐标系图 8.2. 2 明从 指向=的单位尖量 i, ,的源坐标和观察者坐标。我们现在把源坐标从原点移到任意位置r处，于是(5)式中的距离，应被距离Ir一r代替。为了代替单位矢量i,定义源-观察点单位欠量 i，为从任一源坐标指向观察者坐标 P。以图 8. 2. 2 所说明的用这个源-观察者单位欠量来表示,则(5)式成为(6)(1r-)--re将上面这个表达式代入(4)式，可给出磁场强度的毕奥-沙伐定律 2-d(7)在计算被积函数时，又积只在源坐标r中进行。被积函数表示r"处的电流密度对r处场的贡献。下面几个例子说明毕奥-沙伐定律。例 8.2.1 固柱形螺线管轴线上的磁场一轴长度为 4、半径为 α的N还螺线管的截面示于图 8.2.3 中。 由于有许多匠，所以遥过每匾的电流 1基i,sir新MNE1上沿抽上的造因此观察者坐标位于轴上的处·242·

本上是沿方向的。为了使积分简单起见,我们只展于求之轴上的 H,2辅是对称轴。在圆柱坐标系中，源坐标增量体积元d=r'da'ar'd2。对于一均勾分布在厚度A上的许多线圈来说，电流密度基本上为总匝数乘以每區电流再除以电流流过的面积JEiN(8) 殖叠积分（7）式首先对"进行计算。这个积分的计算区间是沿线函的径向厚度从=a到"=α+A。因为A≤α,所以在这个间隔内，源点到观察点的距离及方向谌本上保持为常值。因此,此积分等于被^相乘的乘积。轴对称性要求z轴上的H应沿z方向。对z和的积分是-ad'da(9)H,-(a)用图8.2.3示出的角度α和它的余角来表示，源-观察点单位失且是(10)i,,--i.nina-i,osa因此(11)(igxir)r2+(72)(9)式中的被积函效与无关,则对中的积分等于乘以 2元2d(12)H.-2J2[a+(22)42利用替换关系"可得量一兴一三2+三(13)H.-NAh-(a-)+(%+)在d/2a1的极限下，螺线管变成中心位于z=0平面的平径为。的N匝μ形线。这个线圈中心处的磁场可由(13)式求得为等于安伍数除以圆环直径H-Ni(14)达样，~个具有乎径a=5cm(比它的轴向长度&大),匝数为100匝的载电流i=1A的圆环，其中心处的磁场强度将是 1000 A /m。 此时,磁强计测得的磁通密度是 B,=μl1,=4n×10-7(1000)T=4元Gs。主下面演示中，将进一步讨论这一结果的含意。演示8. 2.1 显柱形螺线管的磁场图8.2.4所示螺线管有N=141巨，轴向长度d=70.5cm，半径a=13.6cm。歪尔型磁强计用来测量线圈内部及其周国H的盘值和方向。图8.2.4示出当实验线照的长度对直径之比为4/2g=2.58时，由（13)式计算出的H，沿轴分布。如果1A，中心处的磁通密度接近2.5Gs。理论值和实验值符合的精度很可能受象探戴尔强20回I图8.2.4记录例惠七开，的侧雨图· 243 *

头所放位暨和滋强计的校准等的限制。还须满足在线阖邻近没有磁化材料（例如铁）的要求。为了避免舱球磁场的影响(数最级约为1高斯)，应该使用交流场。如果使用交流场，附近不应该有其中可能感应出涡流的大块导体存在（本书下面两章将分别讨论磁化和涡流）无限长螺线管可看作是“平行板电容器”在MQS系统中的类比。正如电容器可被假成在两板间能产生均电场，而在板外区域的电场为零一样，长螺线管在其内部区域也会产出一均句磁场，而外部场是零。这可从探察到的场不仅足轴胞位置的菌数，而且也是半径的函数著出。对于有限长螺线管,图 8. 2. 4 中的沿轴的内部场用H。表示，在它轴上/2》处的值由(13)式给出(15)+H=[+(a/2a)-]在螺线管长度也远远大于它的乎径的极限下,即&/2a》1,这个表达成为H.---Ni/d(16)磁场测量表明场化内部截面上各点也都保持（16）式的值和方向。它也表明在线图外部沿轴向离端部数倍半径a 处,磁场强度相对地很小。通连续性要求沿≥轴方向穿过螺线管的总磁通必须在螺线管外部沿一α方向返回。那末，长螺线管的外部磁场与内部场相比为多大时才能够忽略呢1外磁道沿一α方向返回时所穿过的面积比内磁通所案过的面积元”大得多。事实上，当线图变成无限长时，这个返回磁通扩展在沿和方向都伸向无限远的外部面积上，当线圈做得非常长时，线图外部磁场糙于零，计算电磁铁磁场的棒模型对于为数不多的构型可以解析地完成毕奥-沙伐重叠积分。然而，它的计算差不多相当于求每个电流元对场的贡献之和。这样，在计算机上，它的计算是一件直截了当的事情。许多实际电流分布是或者可近似为相连接的许多直线电流段或电流“棒”。现在，我们将利用毕奥-沙伐定律求与任愈位置的一电流棒相关的在观察位置 r处的磁场。这个结果是一个有实效的办法，因为对微分体积电流元的数值求和可用对椿的数值求和来代替。图8.2.5所示的电流棒可用一矢量α来表示。这样，电流在这个矢量的底端r+b和顶端r十c之间星均勾分布。源坐标r沿着电流棒。下面儿段内容的目的是沿电流捧长度进行积分，并得到 H(r)的表达式。由于在它的两端,电流棒并不表示无数的电流密度,只有当它与其它电流棒相连接后共同表示一连续的电流分布时,所求得的场才有物理意义。EE=E电统格泰者位量E-t,-9E-O图8.2.5一线电流沟勾分布在起始于+b终止于+。图8.2.6图8.2.5的电流元在包含c、6的欠盘a的长度上，要确定观察点，处的避场强以及。的平面上的視域· 244

电流棒的详细外观，图8.2.6表明源坐标专表示沿着棒的位置，这个坐标的源点位于棒的延长线上离观察点最近处。b在矢最a上的投影是=a·b/!al。这样，如图8.2.6所示，电流棒的起始点与多=0的距离是，而终止在距离为。处，c在a轴上的投影也示于图中。叉积c×a/lal垂直于图8.2.6的平面，其模等于c在位于图8.2.6的平面内且垂直于a的某一矢量上的投影。这样，观察者的位置和电流体轴线间的最短距离是=c×al/αl。由这一事实和义积的定义可得出[cxa]dsxs(17)这里ds是沿着线电流的微分,且Ir-r'l=(g+r)ua对毕奥-沙伐定律(7)式的积分首先在棒的截面上进行。由于截面的几何尺寸很小，因此在7进行积分的过程中被积函数基本上保持常值。这样，电流密度可以代之以总电流,并丑积分可化为沿着棒的轴向坐标的积分H-去[受新"丰5(18)考虑到（17）式，这个积分可用源坐标积分变量专表示成xad(19)H-.a+:完成这个积分可得H-t[ (20)静当在积分端点计算这个表达式时，注意到根据定义式(8% +)1/2 =lcl, (%- ) 1/2 =b)(21)风此，(20)式成为用确定电流棒的相对位置的矢量a、b 和tc表示的观察者位置处的场强表达式。[=exa (-)(22)以下说明如何可将这个表达式反复地用于确定由电流棒以分段形式描述的电流所产生的磁场。如果选而笛卡儿坐标表示的话，矢量是规定构成一复杂绕组的一些电流棒的一个方便工具。在计算机上，(22)式的计算可用一个可以使用许多次的子程序方便地完成。例题 8.2. 2一对正方形线圈的轴向磁场图8.2.7示出一对正方形线圈，每个线图都有N匠且裁有电流。电流沿这样的方向流动使每个线照沿·245