《电磁场与电磁能》课程教学课件（MIT，[美]H·A·豪斯J·R·梅尔彻，中译本）第13章 电动力学场 边值观点

第13章室电动力学场：边值观点13.0引言在第4章和第8章分别地对EQS和MQS系统的处理中，我们都是通过分析由确定的（已知的)源所产生的场开始的。其后我们认识到，当有物质存在的情况下，这些源中至少有一些是由场本身感应出来的,所感应的表面电荷及表面电流密度可以通过使场满足边界条件确定。在给定的空间区域内、场由准静态支配方程(对 EQS 和MQS分别是标量和矢量泊松方程)的特解及使总场满足适当的边界条件的齐次方程（分别为标量和欠量拉普拉斯方程）的解所组成。现在我们用类似的方法着手研究电动力学场。第12章已介绍了由确定源（偶极子、线源和面源)产生的且遵循非齐次波动方程的解的研究。正如第 5章及第 8 章后半部分中有关 EQS 和MQS系统的论述，我们现在将集中讨论无源齐次方程的解，这些解将用于求得位于要求场的区域之外(也可能在边界上)的源所产生的场。一般情况下，在我们关心的区域内，场满足非齐次波动方程。但在这一章，区域内不存在源，场满足齐次波动方程。沿这一系统化的分析途径，我们将会重新遐到一些先前已得到的解，这是不足为怪的。这一章中，将确定如图 13.0.1中体积√那样的有限区域内的场。部分边界可能为完纯导体，这是在这样的态义上产生的：在其表面上,E是垂直的，而时变的II足和切的。隐含于这些条件中的面电流和面电荷密度在场求得之前是未知的。如果所关心的区域内存在物质，它是具有分片均匀的介电常数e及磁导率μ的完纯绝缘材料，那图13.0.1有限区或内的场部分驰应归内子场口身在边界上所感应出来的源么场源J和β在整个区域内是确定的，并且作为非齐次波动方程(12.6.8)和(12.6.32)的激励项。因此，H和E场避循非齐次波动方程VH-MOSH(1)-VXJE-ue-v(e)+u(2)与前几章中相似，我们可以认为上述方程的解是两部分之和，一部分在区域V中满足非齐次方程(特解)，另一部分在此区域内满足齐次波动方程。原则上,特解可用第12章中所采用的重叠积分方法获衍。例如，如果在含均勾媒质的区域内引入一个电偶极子，那么特解将是由12.2①如果区域为自由空间，则e->且μ→: 449 #

节给旧的单个电偶极子的解。这样的场通常不满足边界条件，要加上适当的齐次波动方程的解它们才能满足边界条件①。在这一章巾，武(1)和(2)右边的源项置零，这样我们将可集中讨论齐次波动方程的解。把满起边界条件的齐次方程的解与上一章的有源激励的场相结合，即可描述在给定源及给定边界时的情形。在这一章中，我们将考虑在某一轴向传播的波，沿着该方向结构是均勾的，这样的波可用于沿双导体（传输线），通过波导（微波频率下的金属管或光频下的介质纤维)传输能量。我们将限于讨论正弦稳态情况。13.1-13.3诸节研究平行平面导体间的二维模式。这一实例将引人电动力学场的模式展开,它类似于用拉普拉斯方程的解表示的电容衰减器 EQS场(5.5节中)的展开。基模和商次模式形成了可表达任意边界条件的一个完备集。这个例子是微帮传输线模型，从而可以作为对第14章主题的介绍。其高次模式的主要特性与13.4节中对空心波导求得的特性非常相似13.5节中所研究的介质波导解释了具有很大实用意义的光纤的导波特性。波由具有比周围媒质大得多的介电常数的介质芯线引导，但具有扩散在芯外的场。这样的电磁波能被引导是因为介质芯线减慢了波导中波的有效速度，使之与周围区域中的波速相匹配，从而波可沿波导传播，但在垂直于波导的方向上衰减13.1-13.3诸节中所研究的场为加强准静态的概念提供了机会。第5章和第8章中分别研究的EQS和MQS场和与它们相应的电动力学场的联系将在13.1-13.4节中进行讨论。13.1TEM波简介横电磁波的E场及H场与传播方向相垂直。在14.2节中将要证明，这样的TEM波可沿着具有任意截面的一对完纯导体结构传播，图13.1.1所示的平行板是这种双导体的一个特例，传播方向沿！轴。当源在左侧激励导体时，导体可被用来向接在右侧边缘之间的负载传递电能，于是它ESYH们将起到平行板传输线的作用。yi我们假定平板在方向的宽度比间距α大，yio且施加于=0和=6两平面的条件也与无图13.1.1平行平板传输线关，以使场也与无关。这一节限于讨论=0端“开路”或“短路”的情况。处理接有任意终端负载的传输线的方法将在第14章中介绍。“开路”诚“短路"的终端导效驻波的产生，它可说明简单的电动力学场与EQS和MQS极限之问的关系。这些场将在下两节中加以普遍化，我们将看到TEM波只是板间沿y轴传播的无数个模式波的一种。①正如12.7节所指出的，实际上达就是利川能象法满足速界条件所做的。-450

如果平板在右端开路，如图13.1.1所示，电压加作左端9=--6处，且场为EQS,则所得的E是方向的。（两平板形成一平行板电容器。）如果两平板在右端“短路”且场为MQS，那么在左端施加电流源所产生的H场为2向的。（平板形成一个单匝电感器。）我们现在寻求麦克斯韦方程组(12. 0. 7)一(12. 0. 10)的解,它们同样垂直于 轴。E-Ei;H-Hi.(1)这种形式的场自动满足边界条作，即在完纯导体表面，切向E及法向H(法向B)都为零。这些场的散度为零，因此E和H的散疫定律[(12.0.7)及(12.0.10)式】自动满足，于是剩下的安培定律(12. 0. 8)和法拉弟定律(12. 0.9)可完全描述 TEM场。通过观察，aEB./at激励安培定律的分量,3H,/3是法拉弟定律的分最的源项(2)(3)我们选出这些定律中仅有的不能自动满足的分盘。如果假定场与横坐标无关，即只与！有关，那么这些定律中的其他分量都自动满足E图13.1.2（a）终止图 13. 1. 1的电极间TEM场的E的表附也荷密度；（b）终止H的表面电演密平板的作用是终止场线，使外部人域不存在场。将高斯连续性条件应用于各个板上，E,终止干相应电极上相反极性的面电荷密度处，(4)-EE.as(=0)=eEr;Gg(r=a)--这些关系示于图13.1.2a.磁场通过表面电流密度终止于平板上，将安培连续作条件应用于各上，(5)K(r=a)=H.K,(r=0) =-H;这些关系在图13.1.2b中表系。我们将主要关心正弦愁态情况。在平板之间，场受常系数微分方程支配，因此我们可假定场响应取下列形式(6)Ha- ReH.(y)eal;E-- Reb, (g)eet其中，の可认为取决丁在：个边界1激励系统的源。将这些解答代入(2)和(3)，可得描述，和II 随 3 变化的一对常系数微分方程。 这些方程不难写1，我们知道它们还将是 3 的指数函数。于足我们着于子求方器的解，其中(6)式g的闲数取exp（-jy）形式451*

E,=Reexeicot-,n)(7)H,Rehel(ot-);我们再次假设解为乘积形式。把它们代入(2)得到e,=-kit.(8)将上式代人(3),给出色散方程(9)P=OVe-ky=±的;对一个给定频率,存在两个,值,因此,取(7)式形式的解的线性组合为(10)H,-Re[Ate-n+A-eipJeiot利用一±β，根据（8)式分别计算正，反方向的波得到相关的电场为(11)E,--Revμ/e[A*e-in"-A-eije~t波的幅度A和A决定于施加布垂直于轴的平面上的边界条件。下面的例子说明所施加的这些纵向边界条件如何决定场，它也为我们正确地观察EQS和MQS近似法提供了第机会。例13.1.1短路的平行板传输线上的驻波图13.1.3a中,平行板在y=0处终接一完纯导电板，在3啦一b处由分布在宽度上的电流源la激励。于。在本例中我们还要假设在平面上利是，在6处，有面电流密度，=Ia/w=K。施加在下底板上。用源的分布，使激励的面电流密度在整个平面上均勾。总之，纵向边界条件为(12)E.(0,t)=0(13)H,(b,t) -RekeoBIOTHOETOO(b)(c)图13.1.3(a）受分布电流激激励的短路传输线。(6）时间上相差90°的E和H的驻液场(c）波长大于系统长度的极限下的 MQS 场。为使(11)式给出的E,满足第一个边界条件,必须使两个行波的幅度相等,(14)A=A应用这一关系消去(10)式中的A，根据(13)式可得A'--2okp(15)我们看出平板间的场取驻波形式(16)H,--Rek cos BlerpyejaB,--RejkVule-(17)eos注意到E和H的时间相位差为90°,当一个处于蜂值时，另一个为学,因此，图13.1.3b所示的E和IⅡI的分①取在，为实激，对这个以及后面的推导是有帮助的·452

布是不同时刻的。距短路处每隔半个波长元/β处，E又为零，如图13.1.3b 所示。从距短路处四分之一波长处起，每隔半个波长，磁场也都为零。在一给定场中,相邻波峰的时间相位差为180%。MQS极限如果激励颊率很低，以致波长远大于长度b，我们有2h=βb<1(18)在这一极限条件下，场为单函电感器的场。即当 sin(βy)β及cos(βy)~1时，(16)和(17)两式变为(19)H.→-ReR.cinE,- Rekjouyeln.(20)藏场强度处处均勺且面电流密度沿单质线圈均匀地环流，电场线性地由短路处的零值增加到源所在处的最大值。源电压为(-,R job(21)为清楚地表明这是单既线圈的场(（例8.4.4),可把磁通链入表示为A-L i-ReRoueint Labu(22)共中L是电感。MQS近似，在笃章中，如果我们一开始就假定位移电流，期(2)式的右端项可以忽略不计，那么就可以导用相同的极限场。因此,这个安培定锋的一维形式及(1)式要求VxH~0-0H,=H.()=-Rek,e(23)如果我们现在把这个结果用于法拉第定律，即(3)式，那么对积分并应用（12)式的边界条件，将给出与取低频极限所得到的E相同的结果，即(20)式。在上述例子中，仅用TEM模式就可使纵向边界条件（加在恒值平面上的条件)完全满足。右端短路与左端的分布电流源各强加了一个和TEM场一样与拘向坐标无关的条件。在绝大多数实际情况中，与横向坐标无关的纵向边界条件（用于描述传输线）都是近似的。图13.1.4中所示0处的开路终端就是这种情况，其中源不是方向分布的。如果纵向边界条件与≥无关，那么原则上场仍是二维的。因此，在两平板之间，我们可以考虑用下一节将导出的模式的叠加来满足纵向边界条件。 这些模式不仅包括这里所讨论的 TEM模式，而且包括随：变化的模式。与横向坐标有关的纵向边界条件所引入的确定离次模式幅度的系数的详细计算将在13.3节中举例说男。我们将会发现，在低频区，高次模式由拉普拉斯方程支配，它们仅在纵向边界附近区域内对场有资献。当频率升高超过其相应的截止频率时，高次模式开始沿9轴传播，并对远离纵向边界的区域产生影响。这里我们希望将问题限于能完全用TEM模式描述的情况，我们把所关心的频率范围限制在最低高次模式的最低截止频率之下。给定了这释的条件，“端部效应”被限制在纵向边界附近。于是，近似边界条件确定TEM场分布，它在大部分长度上起支配作用。在图13.1.4a的开路例子中，对于图13.1,5所示包围块板的终端的体积应用积分的电符守机定律，可以证明，在”0处K，必须为零。对于TEM453 :

8a图13.1.4（a）电压源激题的开路传输线，（b）时间上相老90°的E和H(e）波长大于b的极限情况下的EQS场。图 13.1.5在开路终端K近，我电流带宽以及H，都越向于等。场，这隐含着边界条件①H.(0,t)=0(24)在左端，把电压源连接到平行板上的完纯导休的垂直部分要求其上的E，为零。我们在后面将证明，高次模式对平板间E的线积分没有负献。因此，就TEM场面言，要求有Va()-[B(-b,t)dr-B(-b,0)-a(25)例13.1.2开路的平行板传输线上的驻滤考虑平行板在=0处“开路”且在=处受电乐源激动，则边界条件为(26)H:(0,6)-0;B,(-b,t)-ReVaeist/a计算(10)及(11)式中的系数使满足边界条件(26)式，可给出(27)EVELLReost由此可得平板间的TEM场（10)及（11)式为H-RejraVan(28)cosptB,=RePe cusBse(29) 相位相差90°的不同时刻H和E的分布示于图13.1.4。驻波与前例所描述的相似，不同的是现在开路端的波峰是E而不是H。EQS极限在纸频极限下，波长比平板的长度要人得多，使得防≤1，由（28)及(29)式给出的场变火①存外部区域，场不受板的限制，肾此，在传输线的开路终端实际上有输射，丑这也不是由(24)式表示。如果板的闻距北波长小这种影顾是小的-+54

H,-Rej.aoge!(30)2ekd(31)在低赖区，场为电容器的场。电场是均勺的Ⅱ等于外加电压除以间隔长。磁场以线性变化的方式由开路端的零值增大到电源端的峰值。计算 z一b处的一H，给出面电流密度，从而得到由电压源所提供的电流。i-Reja,ebVaeiol(32)注意，这个表达式隐含着-CCbu(33)结果是极限特性的确为平行板电容器的特性EQS近似如何根据TEM场预测准静态场！如果是准静态的，我们希望系统是EQS。于是，电磁感应可忽骼不计，使得(3)式的右端近似等于零。(34)YR将该式积分,并利用式(26b)的边界条件,可得准静态 E(35)EL-这一结果本身又提供了安培定律中的位移电流密度，职(2)式的存端项。()(36)荧光灯短路器图13.1.6（a）1.75m长的平行平面金属板在左端由200MHZ的源微助因此，有灯光显示E2的时间平均值，（b）终端开路时（e)终端短路时。455

这一表这式的右端项与无是，对求积分并利用（26a）的达界条件计算积分常数”，给出H-esvat(37)对于开始在TEM波的描述中所果用的正弦电压激励，这一表达式与来用准静态近似斯得到的（30）式相一致演示13.1.1 驻波的形象化前面两个例子所描达的场的演示在图13.1.6中给出。一对薄金属板电极左端由振荡露激励，置于两电极之间的荧光灯用来显示均方根电场强度的分布。管中的气体被振荡的电场电离。气体中的电子通过场引起加速,达到足够大的速度以至相互的撞能导致电离及相应的光辐射。眼远不能跟上电场的迅速振萄所看到的是电场的时间平均响应F电场的量值，所以，观察到的零点之间的距离0.75m为平波长。可以推算出振荔器的颊率为为光正比f=0//=3×10/1.5=200MHz,因此，这一额率是较低的VHF电视频道的典型。将传输线右端短路，荧光灯靠近该端的部分证明电场确实且有图13.1.3b所预期的分布，即在短路端为零。类似琅，将右端开路，出现亮度的最大值表叫乾近该端电场最大，这与图13.1.4b所示的结果一致。从开路到短路状态，光强度峰值的位置，亦即电场强度的峰值位置，移动了入/413.2平行板间的二维模式本节论述求解如图13.2.1a所示的完纯导电平行板间的场的边值方法。来自对某一方向均勾的完纯导电结构（如平行线、同轴传输线以及空心完纯导体波导)中模式研究的大部分数学思想和物理内涵，都将用这个例子加此说明。在上一节中我们已经看到，平行板可用作支持 TEM波的传输线，在这节和下一节中，我们将看到平行板也能够志持其他模式的电磁波。因为结构是向均匀的，所以可施加激励使，场与无关。使结构在向近似均勾的一种途径在图13.2.1b中说明，其中平板间的区域变为具有相近半径的同轴导体构成的环形域。于是，径之差实质上成为间隙α并且：坐标变换为坐标，另一种途径是使平板宽度（方向的）远大子间隙a。那么平板的边缘场可忽略不计。不论哪种情况下，都可理解为场的激励在方向上均匀分图13.2.1(a)平行平面的完纯导电板。(b)在其中(a)的与布，现在可以假定场与无关。有关的场可以近似获得，，而无边综影响的同轴几何结构。因为场是二维的，所以我们可从12.6节给出的分类与关系式以及表12.8.3中的总结出发。由于平板位千坐标平面内，我们采用笛卡儿坐标系是合适的。场或者具有垂直于-平面的H和平行于2-y平面的E(TM)，或者具有平行子-平面的H而E垂直于α-平面(TE)。在这些情况下，可取H，和E，为函数，其他场分量均可由它们导出。我们考虑正弦稳态解，因此场可取如下形式H,-Re.(a,y)eio(1)E,--Reb,(r,)eio(2)· 456°

这些场分量分别满足表12.8.3中的亥姆覆茨方程(12.6.9)和(12.6.33)式，相关的场根据这些分量由表中的其他关系式给出。我们再次求亥姆霍茨方程的乘积解，假定其中H，和E,取X(t)Y(g)的形式。对于亥姆霍茨方程，这种将偏微分方程化为常微分方程的系统方法已在12.6节说明。这一次基于支配方程的系数与无关（为常数），我们采用更为成熟的方法。结果，Y()由常系数微分方程决定，这个方程将有指数解。因此，在，是一个尚待确定的常数（结果将有两个值)的条件下，我们假定解取特定的乘积形式H,-h(r)e-,(3) B,=e(r)e-ik)(4)下是表12.8.3中的场关系式变为TM场:2 +0.=-0(5) 其中=wue-碗esw-oth.(6)tn-素器(7)TE场:+0,=0(8)其中g(9)ha-le.南南浆(10)现在，边值问题具有我们所熟悉的5.5节中的典型形式。什么样的P和9值能使得与平板相切的电场为零呢?对 TM 场,平板上的e,=0,而根据(7)式,它是H.的导数,在板上必须为零,对于 TE场，E，在板上必须为零。因此，边界条件为TM场: (0)=0; d (a) =0 !(11)TE场:e,(0) = 0; e,(a) =0(12)为了检验所有的条件在边界上是否确实得到满足，要注意，如果(11)式满足，对 TM场,在边界上既无切向E又无法问H，（无论边界条件是否满足，均无法向H.）对于TE场，电场只有E，在边界上使E,=0确能保证 H0,正如(9)式中所能看到的。 457

要表示TM模式，式(5)的解应是sin(pa)和 cos(px)的线性组合，为满足z=0处的边界系件(11)式，我们必须选择cos(pr)。因此，要满足=a处的条件，应有p=Pa=n元/a,n=0,1,2,(13)h,cc coapar(14)Pa=RZ,n=0, 1,2,这些函数以及相关的p值分别称为本征函数和本征值，所得的解与r的关系，如图13.2.2a所示。根据式(5)给出的p的定义，对给定的频率の(出激励外加的)，可得与n次模式相关的波数h,为JVo'ue-(nx/a)"; μe>(nn/a)?(15)k,=±βaiβ,=(-jV(nila)"-o'μe;wμe(nx/a)2hym±B;B.=(18)(-jV(nt/a)-w'ue; 0'μe<(nn/a)s一-股地，平板间的场是所有模式的线性组合。任模式稳加中，我们认为,=士β%。于是，引入将由恒定9值平面中的边界条件确定的系数，我们有如下的解。TM模①对达里断著虑的转殊几何形状，已证明本征值 2 和 4和向(除=0 外)。 当进界具有其他形状时,这种一数性不会出现。· 458