《电磁场与电磁能》课程教学课件（MIT，[美]H·A·豪斯J·R·梅尔彻，中译本）第10章 磁准静态弛豫和扩散

第10章磁准静态弛豫和扩散10.0引言在MQS近似中，安培定律把磁场强度H和电流密度相联系VxH-J(1)再加上H没有散度的要求，这个定律是第8章的主题。两种类型的物理情况已被考虑过，或者是强加了电流密度，或者是它存在于完纯导体中。在这两种情况中，我们不需要考虑电场分布的详情就可以确定H。在第9章中，磁化材料的影响是用磁化强度M米描述的，我们已经发现定义为B=μ(H+M)的磁通密度没有做度。v.B=0(2)假设M或是给定的或是瞬闻地由H确定（这是第9章人部情况），而J或是给定的或被归入完纯导体I:的边界条件中，划这两个磁准静态定律可确定整个体积中的H。在这一章中，我们的第一个目标将是确定完纯导体周围E的分布。然后，我们将放宽实际范围到包括有限电导率的导体，特别是在其中电流是由B的时间变化率感应的E所引起的情况。在两种情形中，我们将明确地利用法拉第定律。中子x --(3)在第4-7章中所考虑的EQS系统中，由电位移通景密度的时间变化率产生的H的旋度是不重要的，安培定律通过连续性定律适当地结合进去。然而，在MQS系统中，由（3)式右边的电磁感应产生的E的旋度常常具有十分重要的意义。我们在第7章中已有过依赖于时间变化率的场在8.4节中我们已经看到了法拉第定律的重要性，其中考虑了MQS的完纯导体系统。完纯导体内部的电场强度E必须为零，因此如果B随时间变化，则在完纯导体中B必须为零。这导致在完纯导体的表面.h.n·B=0。感应在完纯导体表面上的电流保证了n×H的适当的不连续性，从外部的有限值到内部的零值。法拉第定律在8.4节中和在解释完纯导体相瓦连接的端钮间的电压中是显而易见的。法拉第定律使通过一完纯的“短路器”相互连接的端钮有电成为可能。一个简单的实验说明了在MQS系统中电压定义的难以理解性。紧跟若对它的描述，是本章的综迹。-313

演示1001MQS系统中电压的多值性图 10. 0.1 所示镯环磁心中的磁通是由正弦电流激励线圈产生的。由于磁心的高导磁性(一种铁氧体)，磁心导引的磁通密度B远大于周围空气中的磁通密度。两个阻值不同的电阻器，B1+B，以串联方式环绕着铁心。于是，这些电阻器的端钮分别被连在一起，构成了一对“节点”。其中一个节点接地，另一节点通过两条沿着图10.0.1所示不同路径的导线接向一-高阻抗电压表。为了显示电压波形，利用双线示波器是方便的。用两根导线接向同一节点所观察到的电压，不仅屋值不同，而且相位相差180。a所示实验的电路图图10.0.1一对阻值不同的电阻器以串联方式环出了利用法拉第定律预测不同的电压 和 D2磁路。两个电阳添端钮上测得的电压通过两个节点与的回路。双线示波器连接。如图所示，它们的量值不相等，而且相位根送180°法拉第积分定律可以解释所观察到的事实。显示一对电限器和电压表引线的铁心的截面示于图10.0.2中示被器的电阻远火于 R，和 R2，因此电压表引线中流过的电流可以忽略。这意味着，如果流过中联电阻器中某一个的电流为，它必然与流过另一电阻器中的电流相同周线C。沿着由串联电阻器构成的闭合回路。现在把法拉第积分定律应用干这个周线上。把穿过由C。所包围的表面S。的磁通定义为Φ。于是 E.ds-- d0 -i(R,+R)(4)式中(5) @,=f, B.da给定磁通中，则从（4)式可以解出必须在串联电阻器构成的同路中环行的电流。为了确定测得的电压值，把法拉第积分定律应用于图 10.0.2中的周线C，和C。跨接在这两个周线上;的表面交链着可以忽略的磁通，因此电场强度沿这些周线的环最必定为零。(6)fE.ds=p+iR,=0(7)S E.ds--o+iRi-0把从(4)式解得的i代人(6)和(7)式,可求出测得的电压为(8)-ATx 49: 314

-"RPA a(9)从这一-结巢可2一元(10)的确，电压和不仅量值各异而且有相反的符号。假设将电压表的某一根引线从有边节点断开，而绕过磁心直接地连接到同-电压表的接地端。这种情况是更值得注意的，因为观在我们在一个“短路”了的端钮间有一个电压。然而，这也是较常见的。我们在8.4节中已经认识到电压测量值很简单为d入/di。在这种情况下式中的磁通链是中。在10.1节中，我们从研究完纯导体系统在自出空间区域内的电场开始。这里，8.4节中所采用的观点已经使任过程中不必先确定E而确定B的分布成为可能。因此，法拉第定律（3)式右边出现的电磁感应是已知的，从而这个定律规定了E的旋度。从第8章的引言，我们知道这还不足以唯一地确定电场。有关E的度的信息也必须给出，这就是让填充在完纯导体间区域内的材料的电气特性起作用。第8和9两章的分析确定了两种特定情况下的H。一种情况是电流的分布已给定；另一种情况是电流沿完纯导体表面流动。为了正确地了解更一般的情况，我们不妨把MQS系统看作是类似于图10.0.3所示的由电感器和电阻器构成的网络。在电源是时问的迅变函数的极端情况下，电感器只确定电流。。在这种“高频极限下寻求电流的分布类似丁求8.4节中所考虑的完纯导体系图10.0.3含有欧姆导体的磁准静态系统是电感器统中的H场，即面电流的分布。同理，本章10.1电阻器网络的推广形式。稳态的电流分布出电阻器决定，而高频响应刺出电感器控制。节中对完纯导体系统电场的寻求，类似于在电感占支配地位的极限下确定电路中的电压分布。在另极端，如果激励电压缓慢变化，电感器的作用就如同短路，并月电流分布由电阻网络单独决定，用场的术语来说，对于缓变电流源的响应基本上为第7章前半部分所描述的稳定电流分布。一HJ的这个分布得到确定，则利用第8章的重登积分就可求得相关的磁场在10.2-10.4节中，当这两种极限都不占支配地位时，为了描述J和H的演变，我们将使第8章的MQS定律与法拉第定律、欧姆定律相结合。我们将看到场对阶跃激励的响应过程为当阶跃激励刚加上后，场分布受完纯导电性模型的控制（相应于电路受电感器支配)；经过一段较长时间后，场受J的稳定传导定律和H的毕奥-沙伐定律所挖制（类似于电路受电阻器的支配，此时可从入=Li求出磁通链）。在什么条件下采用完纯导电模型合适呢？磁场扩散过程的特征时间将提供答案。10.1完纯导体系统中的磁准静态的电场MQS系统中导休周困E的分布有着重要的工程意义。例如，变压器中的导电部件间所需315

要的绝缘强度是有赖于电场的在出完纯导体和自由空间构成的系统中，磁场强度的分布是通过要求在完纯导体的边界上n·B=0来确定的。尽管这一条件是为了使完纯导体上切向电场为零而要求的，像在8.4节中我们看到的，求解H时并不必求出E。因此,在法拉第电磁感应定律(10.0.3)式中，其右边项是已知的。 curlE 的源同样也是已知的。为了确定 divE 的源,还需要另外的信息。其中的E是待求的完纯导体的外部区域，一般被相对绝缘的材料所填满。为了给出确定E必需的附加信息，必须清楚地了解这些绝缘材料的特性。有下列三种可能性：·虽然这种材料较邻近的“完纯“导体的导电性差得多，但电荷弛豫时间仍远比关心的时间短。这样,在电荷守恒方程中 ap/at 是可以忽略的,因此,电流密度J 是无散的。注意这正是MQs近似中的情况，在以下的讨论中，我们将认为如果这种情况存在的话，区域内是由均匀电导率材料所填充，此时，材料体积内的E是无散的。（当然可能在边界上存在面电荷。）(1)V.E-·当“完”导体被通常用来使导线绝缘的材料所包围时，第二种情况是典型的。电荷弛像时间一般比所关心的时闻间隔要长。因此，不成对电荷不能流入这些“绝缘体"”，并且它们维持为无出荷区域。假设它们有均勾的介电常数，则这些材料内的E场仍是无散的。·如果电荷弛豫时间与表征导体中电流的时间尺度有相同的数量级，那末不成对电荷的分布由7.7节中讨论过的姆定律、电裕守低原理和高斯定律联合支配。如果材料不仅有均勾的电导率，而且也有均勾的介电系数，则这一电荷密度在材料体积内应为零。由高斯定律可再一次导得在材料体积内电场E是无散的。然而，面电荷可能存在于材料的交界面上。把电场强度分解成特解和齐次解两部分E=E,+Es(2)式中，根据法拉第定律(10.0.3)式和(1)式，有O×E,-=B/at(4)V·E,=0和(5)V×Eh=0(6)7.E,=0我们的方法使人想起第8章中采用的方法，其中E和3B/at分别由H和一J所代替。实际上，如果别的方法都失效，利川毕奥-沙伐定律(8.2.7)式的改进形式就可构成一个特解aB(r2xi.(7)E,=-r-r给定方程(3)和(4)的一个特解，则完纯导体表面上无切向E的边界条件可由求出(5)和(6)的一个解得到满足，使在这些表面上(8) nxE=0->nxEr=-nxE,.316

给定了特解，边值问题已简化为在第5章中所热悉的边值问题。为了满足（5)式，我们令E—V@。那末由方程（6)可导得Φ满足拉普拉斯方程。例10.1.1长直线图周圈的电场个标准电感器内部和周图围区威中的电场分布是什么呢?通过对一个多顾线圈的近似分析就说明为仆么变压器和发电机的设计者们常案提划绝缘体必领承受的"每压伏特”。这个分析也说明了把解分成一个特定的有旋场和一齐次守慎场的概念考虑图10.1.1中的理想化线圈。它是由绕成半径为9、长度为d的螺族线的完纯导电细线构成。如果取其≥轴与线圈的轴线相重合的阈柱坐标系，则可通过将电流近似为圈绕由沿中方间的密度为K的面电流来来得磁场。对于一个N重线图,这个面电流密度是KN /d。 如果线圖非常长,即 d>a,线围内部的础场是近似地均勾的。(9)H,=Ni/d2TON图10.1.2如果把图10.1.1中电感器的导线展开关图 10.1.1半径和长度分别为a和d一直线，很明显，电感器中导线的斜率近似等于线圖的长直电感器的侧视图的总长度d除以导线的总长度 2元a-。而外部磁场近似为零(见例8.2.1)。注意根据安培连续性条件，这个而电流密度正好是终止H所必需的对干如此简单的微场，特解是容易求得的。我们石到完纯导心线围是与圆耗坐标系的自然能标面相吻合的。因此,我们写出(3)式在圆柱标系中的 2 分量,并求得与中无关的 E的解。通过对 积分得4%ra因为线圈外不存在场，所以E，的外部解是无旋的如果我们借助于将导线理想化为倾斜的电流片，则在电流片中沿着导线的电场必须是零。解不满足这个条件。因此，我们现在必须找出一个既无旋义无散的电场E，用它来抵消E，与导线相切的分量。导线的一段示于图10.1.2中。为了使净电场E垂直于导线，应有什么样的轴向场B，加到(10)式给出的也场上呢？如巢E,和 E。是重直于导线的某一矢域的分显，那末它们的比率必须与导线的总长度对线围的长茂的比率相同。B-2gN(11)T-在r=a处,利用(9)和(10)两式,我们有EHon'Ndi(12)齐次解在半径为α和长度为α的圈性面上拥有这一B，场。这个场决定了这个表面上的电位(可相差一任意· 317

常数)。由于在空间中各点有 *Φ=0 和切向场给定了柱上的Φ，则在附加的常数范围内各点的Φ被唯地确定。因此，场的守恒部分到处得到确定。线圈两端钮间的电压可由E·ds 在端钮间的线积分确定。特解的场是沿中方向的且对积分没有贡献。对线积分的全部贡献来自于齐次解（12)式，且为--Ed-HNnd di(13)注意这个表达式取 L形式,式中的自感是与应用与导线相吻合的路径求得的值(8.4.18)式相一致的。我们可以把端电压看成是N个“每匝电压”E,a/N之和。如果我们承认导线的有限尺寸，则导线之间的电场当近似地等于这个“每匝电压除以导线间的距离下一个例子将以更正规的形式说明特解和齐次解。例10.1.2单而烁管线圜的电场单匾螺管线留的截面示于图10.1.3中。它由一其有远小于其沿2方向长度的内半径4的圆柱导体构成。它受通过柱体左边的两平行板中的分布电流源K()激励。电流从上导体板进人，沿中方向绕行一成后从下导体板流出。这两块导体板的问隔小于半径。与在前一例题中·一样，螺线管内部的场是均勾的，沿轴向且等于面电流密度H-i,K(t)(14)特解(10)可通过把法拉第积分定律应用于一柱意半径rh=E+(22-1)(16)输入电极的边缘之间的电场可被近似为均勺的，一直到与螺管线圈根接触处。现在，我们寻求满足关于E的切向分量边界条件的拉普拉斯方程的解。因为B。是中的偶函数，所以取@是一个奇函数。又因所研究的区域中包含原点,因此,极坐标解(表5.7.1)取如下形式@-A.r"sins(17)由此得出E-→4,- on(18)+ 318

像在5.5节中一样，上式两边来以0m非从中元积分到中一元，即可计算出系数4.Enrtvedp+Jt E.(f-1)oosmpds(19)-Boptos mpdp=-mAma-1 因此，用于计算(17)式电位所需的系数是4Bop(r=a)sinma(20)最后,所求的电场强度是特解(15)式,与齐次解(17)式的梯度之和。sinusndiO4UR(21)innot图10.1,5中用图形表示这个解中描述的各个场的叠加情况。一个守恒场被加于-有旋场。前者在T=α处有一个是输入电极间的中的线性增长函数的电位，它从6-5/2处的下电极的负值线性地赔加在中向平面处通过零值，在/2处的上电极达一个相等的正值。随者中的继续增加，电位从这个最大值以线性方式减小，在中=180°处再次通过等，当返回到下电极时，恢复到原来的负值。因此等位线可把螺管边缘上的点与输人电极间相同电位的点连接起来。注意与这个位相关的电场的确拥有所需抵消来自有旋电场切线分量的相应图10.1.5图10.1.3所示构型中对电场变分量，其证明见上面曲线的最后一部分。度解的图形表示。通常矢量位可以方便地提供一个特解。如果用V×A 代替B,则vx(E+验)=0(22)假设A已经确定，那末上式括号中的量必须等于位Φ的梯度使A-v0E-—(23)在所研究的例题中，这个表达式的第一项就是特解，而第二项则是齐次解。10.2有限电导率导体系统中感应场的特性如果导体位于一时变磁场中，感应的电场会产生电流。从8.4节中，我们已经证明了这些电流将阻止磁场透入完纯导体。α为多大时才可以把导体看作是完纯的呢:在下面两节中，我们应用特定的解析模型来回答这个问题。现在我们从用来确定有限电导率导体中电流的分布、持续时间和量值的法拉第、安培和欧姆定律之间的相互影响的讨论来作为开端。应用于图10.2.1中所示的回路C,和表面8上的法拉第定律的积分形式是.319

f E-ds=--j. Bda(1)把欧姆定律J=αE代人（1)式，使沿回路C.的管子中环行的电流密度与被包围的磁通联系起来,有图10.2.1按照法拉第定单所感应的电流沿剧线C二-ds=-%[, Bda(2)环行。通过安培定律，它产生沿履线C的磁场这个表达式适用于导体中的每，一个环行的电流“软管”。让我们把注意力集中于这样一个软管上。电流平行于软管流动,因此,J.ds=Jds。假设这个软管的截面积是 A(s)，则 JA(s)=i,i是软管中的总电流，且40)ds=R(3)是软管的电阻。因此iR--(4) 方程（2）描写了时变磁通怎样引起环行电流。而安培定律陈述了电流怎样依次又产生磁场。 H.ds-f. J.da(5)典型地说，场沿图10.2.1中所示回路C,闭合，它是被J穿过的。对于B的高斯定律，安培定律提供了J与它所产生的H的关系。这个信息可用“集总电路”关系来概括成a-I.(6)(4)和(6)两式相结合可提供对电路中电流i（(t)的一个微分方程，这个微分方程的等效电路是图10.2.1所示的一个电阻器R和电感器L的串联电路。它的解是时间常数为L/B的随时间作指数衰减的函数(2)和(5)两式即法拉第定律、安培和欧姆定律相结合可确定】和H。这个场的问题对应干“电路”的连续集。我们将发现场对时间的依从关系受具有 R/Z性质的时间常数所支配。这个时间常数将有如下形式菜十五Tm=μGlil2(7)与EQS的电荷弛像时间相反，这个磁扩散时间依赖于这里用1，和12表示的两个特征长度的乘积。对于给定的时间变率和电导率,系统越大,其特性越类似完纯导体。21虽然我们将不再应用积分定律来确定下一节中有限电导率导体系统中的场，但它们还常常被用于作工程近似。下面的演示应用粗略近似定量化来作为通常如何应用场的理论来解决实际问题的典型方式。演示 10. 2. 埃杰顿低音扬适器图10.2.2中C=25uF的电容器起初被充电列=4kV。。然后接解时放电开关，使电容器能够·320

图10.2.2当接通瞬时放电开关时，电容器对线圖图10.2.8置于图10.2.2所示电。周线C、用于估计放电电流产生的平均磁场强度。线圈上边的金属园盘。对50匝线圈放电，许多去过麻省班工学院（M.I.T)的埃杰颤教授的Strobe实验室的奏观者都已看到了这演示cm，且线圈商度与α其有同样的数显级，粗地说，将产生什么样的磁场合定线图绕纽的平均半径为了得到我们把它称为H，的平均儿滋场与线圈电流，之间能近似关系式，可把安培积分定律(5)式应用于图中周线C，有i~?为了确定让，我们需要知道线摄的自感Lo为此，把线料的磁通链近似为N，乘以线圖平均数面积与平均磁通密度的乘积(9)AN(ra)H)从这后两个方程，可得入L,式中自感是LuagN.(10)计算给出Ln~0.1mH如果假设线圖、开关和连接线的总电阻很小，足以使电容器两端的电压和电感器中的电流以如下频率振荡(nO=VLIC我们可通过承认初始储存在电容器中的电能CV等于于周期后储存在电感器中的磁能，面确定电流的峰值1u=E(12)于是，线圈中的峰值电流是1，=2000A。我们已知电容和电感之值，因此我门也可确定出电流振诺的频书，计算给出 0=20×10%g-1(f=3kHz)。H场也以这个频率振荡，且有道过计算(8)式给出的峰值。我们求得峰值场强H,=2.3×10 A/m，斤以蜂值磁通密度是0.3 T(3000 Gs)现在假设把导电圆盘暨于图10.2.3所示激励线圈的正上方，圆盘中的感应电流是什么呢？选取一包围表面S，的周线，S，交链着激励线圈中心处产生的向上指的磁通。如果把E定义为圆盘中方位角方向的平均电场，把法拉第定律应用于限定表面8，的周线上，给出2 waB,--j. Bda-(μ)(13)由欧姆定律可给出在圆盘中环行的平均电滤密度.321

J,=aE,=H"dH(14)如果行人用他的于去代替这个圆裁，他将感觉列多大的电流密度呢？为了确死婚俏电流，用のl，代替导数。对于人手来说，gα1S/m，可由(14)式给出电流缩度为20mA/cm。这已超过对人身提供一次"电击的值铝盘的电导率是非带大的，约为3.5×10 S/m。根据<14)式，其中的电流密度应比人手中的电流案度大3500方倍。然而应注意在应用安培定律来确定激励场时，我们已经忽略了同盘中感应电淡的责献。安培积分定律也能应用于近似分析圆愈中电流所感应的磁场。把安培定律应用于与阅盘中环流相交链的周线:面不是与激励线圈电流相交链的回路1，则(2)式要求Hu~(15)这里，感应电流在其中环行的阅殖的截面积可近似为圆就厚度1和乎均半径α的乘积。由(14)和(15)式可导得感应场亏外随场在相同的数量级，如与r(16)式中(17)三uoA往意m取式(7)的形式，共中l=△和1,=。一个原度A=2mm,4=7cm,tm=6ms的铝盘来说,0t.,4~10，与感应电流相关的磁场是可以与激励线圈施加的磁场相比较的。圆盘表面因此是个其上各点n·B~0的表面。当它们沿径向向外转时，尚上穿过激励线图中心的磁通密度线被收集在激励线圈和铝盘之间。这些磁通密度线画于图 10. 2.4中。用例 9.7. 4 中引人的术语来说，国盘就是变压器的次级尧组。事上,ta是次级绕组的时间常数 Las/ R.其中 R，和 La。是措述圆盘的电路的电阻和电感。实际上，作为理想变压器运行的条件(9. 7.26)式相觉于有关系@T㎡/4元》1。电力变压器中的绕组受到我们现在演示的这些力的作用fitJXE 图10.2.4感成在金属盘中的电流焰于产生一个附图10.2.5因为作用在盘上的磁力总是正的，且止由激励线圈所施加的磁场。这些电流导致一个力作延续叶间T比把盘拉离线图邻近所需的时间用于圆盘上。此力趋于将金属盘推向上方。短，因此可把它用·录值为了T的冲激求摘n如果将“个铝盘置于线图上片闭合开关，将会出现一系列应用。首先，将在一·冲击，正确绝启示可把圆盘用作声学传感器。深海声音测深即是其典型应用。由洛仑兹定律（见11.9书)可给出产生此声音的力密度F(N/msF=JXμ.H(18)注意无论激励电流的极性如何，也即无论平均磁场的方向如何，此力密度总是向上作用的。它是一个准床力。如果将盘中的电流分布用面电流密度K描述，并把B取作它的平均值的半（例11.9.3中将解释因子1/2)，则作用在这个盘上的向上的总力是①正如我们将在下节中肴到的，因为计算不是自洽的，不等式 T》1表明感度场可以与外施场相比较，但不能超过外施场。· 322