《电路》课程教学资源（练习题）ch10 具有耦合电感的正弦稳态电路（含解答）

例题10-1两个具有耦合的线圈如图10-1所示，试根据在K闭合或打开时，mv表的偏转方向来判定同名端。KM2mV2'1'例10-1图解：假设1和2端为同名端，则 ut=M=（些(i~0),K开关闭合时,i>0且M兰>0,dtdt因此 u=M兰>0， 即 u 的实际极性与图 10-1 所示的参考极性相同，则 mv 表正dt向偏转，则1与2为同名端。参照以上分析方法，K开关打开时M兰<0，若mv表反向偏转，则1与2dt为同名端：若mV表正向偏转，则1与2为同名端。例题10-2列写图10-2所示电路ul、uz的伏安关系式。MiKR1TAR2*QOO++uiu2例10-2图di,因M兰的参考极性在“.”侧。解： u=Ri-MdiLidtdtdt=-Rih +Meidi,因M=的参考极性在“*”侧。dtdtdt

例题 10-1 两个具有耦合的线圈如图 10-1 所示，试根据在 K 闭合或打开时，mv 表的偏转方向来判定同名端。 1' 2' M K 1 2 + - 例10-1图 mV u2 解：假设 1 和 2 端为同名端，则 u2=M 1 d d i t ( i2≈0°)。K 开关闭合时，i1>0 且 M 1 d d i t >0， 因此 u2=M 1 d d i t >0，即 u2 的实际极性与图 10-1 所示的参考极性相同，则 mv 表正 向偏转，则 1 与 2’为同名端。 参照以上分析方法，K 开关打开时 M 1 d d i t <0，若 mv 表反向偏转，则 1 与 2 为同名端；若 mv 表正向偏转，则 1 与 2’为同名端。 例题 10-2 列写图 10-2 所示电路 u1、u2 的伏安关系式。 例10-2图 + . u1 - * R2 i2 - + M u2 R1 . i1 * 解：u1=R1i1- M 2 d d i t + L1 1 d d i t ，因 M 2 d d i t 的参考极性在“·”侧。 u2= -R2i2 +M 1 d d i t - L1 2 d d i t ，因 M 1 d d i t 的参考极性在“*”侧

例题10-3图L10-3(a)所示的耦合线圈，若得i波形为图L10-3(b)。M=25Hi1,TilA250Et/s112323456-12.5(c)(a)(b)图L10-3（1）试绘出u的波形；（2）电压表的读数为多少（有效值）？解：因为i2=0u, =-M=-25H4所以dtdt在一个周期内-12.5VOs<t≤4s-u2=50V4s<t≤5s波形如图L10-3(c)。u2的有效值为/(12.5°×4 + 50°) V=25V(-12.5)° di + ["502d |v=1U,L

例题 10-3 图 L10-3(a)所示的耦合线圈，若得 i1 波形为图 L10-3(b)。 V i1 u2 M=25H . . (a) i1/A t/s 1 2 3 4 5 6 2 1 0 (b) u2/V t/s 1 2 3 4 5 6 -12.5 50 (c) 图L10-3 （1）试绘出 u1 的波形； （2）电压表的读数为多少（有效值）？ 解：因为 i2 =0 所以 dt di dt di u M 1 1 2 = − = −25Η 在一个周期内 -12.5V 0s < t ≤ 4s u2 = 50V 4s < t ≤ 5s 波形如图 L10-3(c)。 u2 的有效值为     = − + ∫ ∫ 4 0 5 4 2 2 2 ( 12.5) 50 5 1 U dt dt V= (12.5 4 50 ) 5 1 2 2 × + V=25V

例题10-4图L10-4(a)所示电路，L=0.01H，L=0.02H，Ri=R2=10Q，M=0.01H，C=20uF，0=1000rad/s，U=6V，求i及U,、U,。AVR2R2RiRiLI-ML2-M+U,U0000(a)(b)图L10-4解：图L10-4(a)中耦合线圈为反接串联，其去耦合等效电路应如图L10-4(b)所示。该电路的等效复阻抗为Z =(R, +R,)+jo(L, - M +L, -M)-(10+10)2+j10(0.010.01+0.020.01)103×20x10-(20- j40)Q=44.7/-63.4°设U=620°u6200iss则A=0.134Z63.4°AZ44.7Z-63.4°U, =[R, + jo(L, -M)]/=[10 + j10 (0.01-0.01)2×0.134Z63.4°A =1.34Z63.4°AU, =[R, + jo(L, M)]i -[10+ j103(0.020.01)b×0.134Z63.4°A =1.90Z108.4°A

例题 10-4 图 L10-4(a)所示电路，L1=0.01H，L2=0.02H，R1=R2=10Ω，M=0.01H， C=20μF，ω=1000 rad/s，U=6V，求 I  及U1  、U2  。 R1 L1 L2 R2 . . M I  U U2  U1  C R1 L1-M L2-M R2 I  U U2  U1  C (a) (b) 图L10-4 解：图 L10-4(a)中耦合线圈为反接串联，其去耦合等效电路应如图 L10-4(b)所示。 该电路的等效复阻抗为 ( )       = + + − + − − C Z R R j L M L M ω ω 1 ( ) 1 2 1 2 = Ω =       × × + Ω + − + − − 3 −6 3 10 20 10 1 (10 10) j 10 (0.01 0.01 0.02 0.01) (20 − j40)Ω = 44.7∠ − 63.4°Ω 设 U = 6∠0°  则 Α = ∠ °Α ∠ − ° ∠ ° = = 0.134 63.4 44.7 63.4 6 0 Z U I   = [ + ( − )] = [10 + 10 (0.01− 0.01)]Ω× 0.134∠63.4°Α = 1.34∠63.4°Α 3 1 1 1 U R j L M I j  ω  = [ + ( − )] = [10 + 10 (0.02 − 0.01)]Ω× 0.134∠63.4°Α = 1.90∠108.4°Α 3 2 2 2 U R j L M I j  ω 

例题10-5用去耦法求图L10-5(a)、(b)所示电路的输入阻抗Z㎡（电源的角频率为)。MVLZinZinZ222oO(b)(a)L-ML2-M-M333??3ML,+MLi+MZinZinZ22OO(c)(d)图L10-5解：电路L10-5(a)、(b)去耦后等效电路如图L10-5(c)、(d)所示。由图（c)、（d)可得Zm = jo(L - M)+ jo(L, - M)(Z, + joM)图(c):Z,+ joL,Z. =-joM+ jo(Li +Mlio(L, +M)+z.]图(d):Z, + jo(L, + L, + M)

例题 10-5 用去耦法求图 L10-5(a)、(b)所示电路的输入阻抗 Zin（电源的角频率 为 ω）。 . . M L1 L2 Z2 Zin Z2 L2 L1 . . M Zin Z2 L1-M L2-M M Zin （a） （b） （c） Z2 -M L2+M L1+M Zin （d） 图L10-5 解：电路 L10-5(a)、(b)去耦后等效电路如图 L10-5(c)、(d)所示。由图（c）、（d） 可得 图（c）： 2 2 2 2 1 ( )( ) ( ) Z j L j L M Z j M Zin j L M ω ω ω ω + − + = − + 图（d）： [ ( ) ] ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 Z j L L M j L M j L M Z Zin j M + + + + + + = − + ω ω ω ω

例题10-6在途L10-6(a)所示的正弦稳态电路中，Li=L2=L3=0.1H，M-0.04H,Ri=R2=320Q，C=5μF，U=10Z0°V，电源的角频率0=2×10°rad/s，试求使C一L4发生谐振的L4之值，并计算UED=？及电路的平均功率。R2RRR+10.aMLOL2-M 3M300DD(b)(a)图L10-6解：使C一L4发生谐振的L4为11LH=0.05H(2×10)×5×10-6o'℃消除互感后等效电路如图L10-5(b)所示，当C一L4谐振时有i，为零，所以UAB10Z0°I. =A=0.025Z-36.87°AR + jo(L, - M+ L, - M)(320+j240)UeD= jo(L,-M)i, = j120Q×0.025-36.87°A=3Z53.13°电路的平均功率：P=R,I2=320×0.0252W=0.2W

例题 10-6 在途 L10-6(a)所示的正弦稳态电路中，L1=L2=L3=0.1H，M=0.04H， R1=R2=320Ω，C=5μF， = 10∠0° U AB  V，电源的角频率 ω= 3 2×10 rad/s，试求使 C—L4 发生谐振的 L4 之值，并计算UED  =？及电路的平均功率。 M C R1 L R2 3 L2 L1 * * . . Δ Δ M M L4 UAB  E D C R1 L1-M R2 L4 UAB  E D L2-M L3-M 1I  （a） 图L10-6 （b） 解：使 C—L4 发生谐振的 L4 为 Η = Η × × × = = − 0.05 (2 10 ) 5 10 1 1 4 2 3 2 6 C L ω 消除互感后等效电路如图 L10-5(b)所示，当 C—L4 谐振时有 2 I  为零，所以 Α = ∠ − °Α + ∠ ° = + − + − = 0.025 36.87 (320 240) 10 0 ( ) 1 1 2 1 R j L M L M j U I AB ω   = ( − ) = 120Ω× 0.025∠ − 36.87°Α = 3∠53.13° 2 1 U j L M I j ED  ω  电路的平均功率： 2 2 P = R1I1 = 320× 0.025 W=0.2W

例题10-7由图L10-7(a)所示电路，试列写求解电路所必需的回路电压方程式。RiR2RR-ML,+MLi+M3333图L10-7(a)(b)解：把互感线圈画成T型等效电路，并设网孔电流i。、i，、i。，如图L10-7(b)所示。网孔I(R, + joL,)i. + joMi, -jo(L, +M)i。=-U网孔IIjoMi. +(R, + joL,)i,- jo(L, +M)i, =-ki网孔III- jo(L, + M)i, - jo(L, + M)i, +jo(L, + L, + 2M)- j

例题 10-7 由图 L10-7(a)所示电路，试列写求解电路所必需的回路电压方程式。 R1 R2 Us  1 kI  L1 L2 1I  C M . . R1 R2 Us  1 kI  1I  C L1+M L2+M -M a I  c I  b I  （a） 图L10-7 （b） 解：把互感线圈画成 T 型等效电路，并设网孔电流 a I  、 b I  、 c I  ，如图 L10-7(b) 所示。 网孔Ⅰ a b c Us R j L I j MI j L M I +  +  − +  = −  ( ) ( ) 1 ω 1 ω ω 1 网孔Ⅱ 2 2 2 1 j MI (R j L )I j (L M )I kI a b c ω  + + ω  − ω +  = −  网孔Ⅲ 0 1 ( ) ( ) ( 2 ) 1 2 1 2 =       − + a − + b + + + − c I C j L M I j L M I j L L M j    ω ω ω ω

例题10-8图L10-8(a)所示电路，已知u.(t)=5/2cos(10°t)V，R=500Q，L,=L,=2H，M=1H，C,=C=0.5uF，问负载为何值时，可以获得最大功率？最大功率为多少？MMR1Rio+U.LCi0(b)(a)RiZrnViXRi-ix图L10-8(d)(c)解：首先计算电抗值：X,1= 0L, =(103×2)2= 2kQX 12= Xi=2k1-Q=-2kQXc=Xc2 =10×0.5×10-6oC1令X,=XI+Xcl= (2-2) kQ=0X, = X12 + Xc2= (2-2) kQ=0初级回路阻抗为Zu=R + jX,=R, =5002次级回路阻抗为Z22 = R, + jX, =R,互感电抗为XM =0M =(103×1)Q=1 kQ断开次级回路中的RL和C2，如图L10-8(b)所示，求该二端口网络的戴维南等效电路。U..= joMi,由图可知

例题 10-8 图 L10-8(a)所示电路，已知 ( ) 5 2 cos(10 ) 3 u t t s = V，R1=500Ω， L1=L2=2H，M=1H，C1=C2=0.5μF，问负载为何值时，可以获得最大功率？最大 功率为多少？ R1 L1 u (t) s C2 C1 L2 RL R1 L1 C1 L2 M . . M . . R1 L1 C2 C1 L2 M . . Us  Uoc  1I  （a） （b） 1I  （c） Uoc  RL Zrf2 jXL2 -jXC2 图L10-8 (d) U 解：首先计算电抗值： X L = L = (10 × 2)Ω = 2kΩ 3 1 ω 1 X L2 = X L1=2kΩ X C1 = Ω = × × = − = − 3 −6 1 2 10 0.5 10 1 1 C X C ω -2kΩ 令 X1= X L1+ X C1 =（2-2）kΩ=0 X 2 = X L2 + X C2 =（2-2）kΩ=0 初级回路阻抗为 Z11 = R1 + jX1 = R1 = 500Ω 次级回路阻抗为 L RL Z22 = R + jX 2 = 互感电抗为 = = (10 ×1)Ω 3 X M ωM =1 kΩ 断开次级回路中的 RL和 C2，如图 L10-8(b)所示，求该二端口网络的戴维南等效 电路。 由图可知 1 U j MI oc  = ω 

U.5Z00其中1A=10Z0°mA500R, + jX,U=jXMi,=jl×10°Q×10×10-A=10Z90°A为了求等效电源内阻抗Z。，把亡，短路，并在开路端接电压源U，搁L10-8(c)所示。这时，源次级回路变成了初级回路，而原初级回路变成次级回路，其反映阻抗为(oM)2_10°×103Q=2kQZf2Z1500画出戴维南等效电路如图L10-8(d)所示。由于X,=0,故当负载R,=Z+2=2kQ时，才能获得最大功率。最大功率为U.10×10PLmaxW=12.5mW4×2×1034Z.例题10-9列出L10-9所示电路的回路店里有方程式。M2MyR1R2VYo+3℃Li3L2LL4uD3℃1o图L10-9解：设各回路电流分别为1、1，、13，方向均为顺时针方向，则回路电流方程式为(R, + joL,)i,- jOMi, =U-joM,i, +(R, + joL,+ joL,)i,-joM,i,=0- joM,i, +(z+ joL)i, = 0

其中 Α = ∠ ° Α ∠ ° = + = m R jX U I s 10 0 500 5 0 1 1 1   = = × Ω× × Α = ∠ °Α − 1 10 10 10 10 90 3 3 1 U jX I j oc M   为了求等效电源内阻抗 Z0，把Us  短路，并在开路端接电压源U ，如图 L10-8(c) 所示。这时，源次级回路变成了初级回路，而原初级回路变成次级回路，其反映 阻抗为 ( ) Ω = × = = 500 10 10 3 3 11 2 2 Z M Zrf ω 2kΩ 画出戴维南等效电路如图 L10-8(d)所示。由于 X 2 =0，故当负载 RL = Zrf 2 = 2kΩ 时，才能获得最大功率。最大功率为 3 11 2 max 4 2 10 10 10 4 × × × = = Z U P oc L W=12.5mW 例题 10-9 列出 L10-9 所示电路的回路店里有方程式。 U R1 L1 . L2 R2 L3 . L4 . . M1 M2 Z 图L10-9 解：设各回路电流分别为 1 I  、 2 I  、 3 I  ，方向均为顺时针方向，则回路电流方程式 为 (R + j L )I  − j M I  = U 1 ω 1 1 ω 1 2 − j M1I1 + (R2 + j L1 + j L3 )I 2 − j M 2 I 3 = 0 ω  ω ω  ω  − j M 2 I 2 + (Z + j L4 )I 3 = 0 ω  ω 

例题10-10在图L10-10(a)电路中，已知i(t)=100costA，R=100Q2，L=1H,C=1F，RL=1Q，求初级电压u,(t)。10:1熊1ki(a)(b)图L10-10解：先求次级负载阻抗（下标L均指此量为负载阻抗）Y, =1+ joC - j-=(1+jl-jl)S=1sOL1=1QZ, =Y,初级输入阻抗为Zm=n2Z,=102×1Q=1002画出等效电路如图L10-10(b)所示，由图可得R,Zm100×100Um=imR+Zm=100AXQ=5000V100+100故u,(t)=5000costV

例题 10-10 在图 L10-10(a)电路中，已知is (t) = 100costΑ，R1=100Ω，L= 1H， C=1F，RL=1Ω，求初级电压 ( ) 1 u t 。 . R1 C RL 10:1 u1 is (a) Ism R1  U1m  Zin (b) 图L10-10 解：先求次级负载阻抗（下标 L 均指此量为负载阻抗） (1 1 1) 1 1 j j L Y j C j L = + − = + − ω ω S=1S = = 1Ω 1 L L Y Z 初级输入阻抗为 = = 10 ×1Ω = 100Ω 2 2 Zin n ZL 画出等效电路如图 L10-10(b)所示，由图可得 5000 100 100 100 100 100 1 1 1 Ω = + × = Α × + = in in m sm R Z R Z U I   V 故 u (t) 5000cost 1 = V

例题10-11在图L10-11（a）中，ab间的等效电阻为0.25Q，图中g=3S，求理想变压器的变压比n。RRn:1no1.521.592n?RlRVsu?C109bob(a)(b)图L10-11解：作出等效电路如图L10-11(b)所示，其中虚线框中的n2R,是变压器的输入端等效阻抗（折合阻抗），U,是变压器的原边电压，则①U, =-nU,u②i=gu,+由KCL得R+n'R,n?R,UU, =?由分压公式得R+n'R,由上述三式解出i-I-gnRLuR+n'R,U_R+n'R,④所以ZabT-1-gnR,已知Z%=0.25Q代入式④，并代入元件数值得0.25= 1.5+10n2?1-30n由式③解得n, =-1/4n; = -1/2变比n为负值，说明实际上U，、U，的极性关系与图上标注的同名端相反。若要使n为正，将U,的参考极性改为上“一”下“+”即可

例题 10-11 在图 L10-11（a）中，ab 间的等效电阻为 0.25Ω，图中 g=3S，求理 想变压器的变压比 n。 . R gmU2  RL n:1 . 1.5Ω 10Ω U2  (a) b a R gmU2  1.5Ω b a n2RL U U1  (b) 图L10-11 解：作出等效电路如图 L10-11(b)所示，其中虚线框中的n RL 2 是变压器的输入端 等效阻抗（折合阻抗），U1  是变压器的原边电压，则 U1 nU2  = −  ① 由 KCL 得 RL R n U I gU2 2 + = +    ② 由分压公式得 U R n R n R U L  L  2 2 1 + = ③ 由上述三式解出 U R n R gnR I L  L  2 1 + − = 所以 L L ab gnR R n R I U Z − + = = 1 2   ④ 已知 Zab = 0.25Ω代入式④，并代入元件数值得 n n 1 30 1.5 10 0.25 2 − + = ⑤ 由式⑤解得 n1 = −1 2 n2 = −1 4 变比 n 为负值，说明实际上U1  、U2  的极性关系与图上标注的同名端相反。 若要使 n 为正，将U2  的参考极性改为上“－”下“+”即可