《理论力学》课程教学资源（讲稿）第四章 平面任意力系（4.5）物体系统的平衡

第五节物体系统的平衡 静定与静不定问题的概念 1.物体系统的平衡 物体系统是指由几个物体通过约束组成的系统。其特点 有: (1)整体系统平衡,每个物体也平衡。可取整体或部 分系统或单个物体为研究对象 (2)分清内力和外力。在受力图上不考虑内力。 (3)灵活选取平衡对象和列写平衡方程。尽量减少方 程中的未知量,简捷求解。 (4)如系统由n个物体组成,而每个物体在平面力系作 用下平衡,则有3n个独立的平衡方程,可解3n个未知量。 可用不独立的方程校核计算结果

第五节 物体系统的平衡 静定与静不定问题的概念 1．物体系统的平衡 物体系统是指由几个物体通过约束组成的系统。其特点 有： （1）整体系统平衡，每个物体也平衡。可取整体或部 分系统或单个物体为研究对象。 （2）分清内力和外力。在受力图上不考虑内力。 （3）灵活选取平衡对象和列写平衡方程。尽量减少方 程中的未知量，简捷求解。 （4）如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作 用下平衡，则有3n个独立的平衡方程，可解3n个未知量。 可用不独立的方程校核计算结果

R A B DMN 米 N B E R R B D B D C

NB ND RA C B P NB E RC A C RC´ D ND F RA

物系平衡 整体平衡局部必然平衡 D Dy B B

整 体 平 衡 局 部 必 然 平 衡 物 系 平 衡 A B C D E q 2 q1 FE FAx FAy FBx FBy E q1 FE FDx FDy D D A FAx FAy q 2 C FCx FCy F'Dx F'Dy B q 2 FBx FBy F'Cx F'Cy C A D E q 2 q1 FE FAx FAy FCx FCy A B C D q 2 FAx FAy FBx FBy F'Dx F'Dy

刚体系统平衡问题的特点是:仅 仅考察系统整体平衡,无法求得全 部未知力

刚体系统平衡问题的特点是：仅 刚体系统平衡问题的特点是：仅 仅考察系统整体平衡，无法求得全 仅考察系统整体平衡，无法求得全 部未知力。 A B C M q D FAx FAy FD FC

求解物系平衡问题可选取单个刚体某 个局部(系统内几个相互连接的刚体或整个 系统作为研究对象列出平衡方程求解

求解物系平衡问题,可选取单个刚体 可选取单个刚体,某 个局部(系统内几个相互连接的刚体 系统内几个相互连接的刚体)或整个 系统作为研究对象 系统作为研究对象,列出平衡方程求解。 列出平衡方程求解。 A B C M q D

对于由个刚体组成的受平面力系作用的 系统其独立平衡方程数≤

A B C M q D 对于由n个刚体组成的受平面力系作用的 个刚体组成的受平面力系作用的 系统,其独立平衡方程数 其独立平衡方程数≤ 3n

2、静定与静不定问题的概念 静定问题:未知量的数目不多余独立平衡方程的数目,全 部未知量均可由平衡方程求出。 静不定问题:未知量的数目多余平衡方程的数目,由平衡 方程解不出全部未知量。 F 学半 B P E F A (a) F1∠F F C B A (f)

2、静定与静不定问题的概念 静定问题：未知量的数目不多余独立平衡方程的数目，全 部未知量均可由平衡方程求出。 静不定问题：未知量的数目多余平衡方程的数目，由平衡 方程解不出全部未知量

例1、已知梁AB和BC在B M Me 端铰接,C为固定端。若 M=20KN- m, =15kN/m, it ELIm-b2m 2m 求A、B、C三处的约束力。 M FB M 解:由整体受力图a)可知: B F E 取梁AB为研究对象,受力如 图(b),F=2q。由平衡方程M(F)=02F+M+M=0 ∑MA(F)=03F8-2F=0 解得 解得 F==F=20KN M=-2F-M=-60KN,m ∑Ma(F)=0-3F4+F=0 ΣM2(F)=02F+M+MC=0 解得 =10kN 解得F M-M =20kN 再取梁BC,受力如图(c)。由平 衡方程

例 1、已知梁AB 和BC 在 B 端铰接， C为固定端。若 M=20kN·m，q=15kN/m，试 求A 、 B 、 C三处的约束力。 解：由整体受力图(a)可知： FCx=0 。 取梁AB为研究对象，受力如 图(b)，F=2q。由平衡方程 2 ′ + + = 0 FB M M C ∑ ( F ) = 0 M C ∑ M A ( F ) = 0 3 F − 2 F = 0 B 20 3 2 FB = F = kN ∑ ( F ) = 0 M B − 3 F + F = 0 A 10 3 = = F FA 解得 解得 M C = − 2 FB ′ − M = −60KN.m 2 + + = 0 0 FCy M M C ∑ M B ( F ) = 解得 kN 20 2 = − − = M M F C Cy 解得 kN 再取梁BC，受力如图(c)。由平 衡方程

此题也可在求得FA和F后,再取整体为研究对象, 求FC和M

此题也可在求得FA和FB后，再取整体为研究对象， 求FCy和MC

如图所示组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插入 墙内,B处铰接一二力杆。已知:F=20kN,均布载荷q=10 kN/m,M20kNm,F1m。试求插入端A及B处的约束力。 10解:1以整体为研究对 M F象,受力分析如图所示。 A BN60D∑F=0 B FAr- FB cos 60-Fsin 30 =0 F.=0 FAu+ FB sin 60-2gl-F COS 30=0 ∑M()=0M4-M-2q1×2+Fsin60×31-Fcos30×41=0 Cy 2.取梁CD,受力分析如图所示 F∑M!(P)=0 B D F sin60×1-q1x-Fcos30×2/=0

如图所示组合梁由 如图所示组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插入 墙内，B处铰接一二力杆。已知： 处铰接一二力杆。已知：F=20 kN，均布载荷q=10 kN/m，M=20 kN•m，l=1 m。试求插入端A及B处的约束力。 A C B D q l l l l F 30D M 60D MA FAy FB FAx 解： 1. 以整体为研究对 以整体为研究对 象，受力分析如图所示。 象，受力分析如图所示。 ∑ = 0 Fx ∑ = 0 Fx − cos 60 − sin 30 = 0 D D FAx− FB cos 60 − Fsin 30 = 0 D D FAx FB F ∑ = 0 Fy ∑ = 0 Fy + sin 60 − 2 − cos 30 = 0 D D FAy + FB sin 60 − 2 ql − Fcos 30 = 0 D D FAy FB ql F ∑M ( ) F = 0 A ∑M ( ) F = 0 A MA − M −2ql×2l + FB sin 60 ×3l − F cos 30 ×4l = 0 D D MA − M −2ql×2l + FB sin 60 ×3l − F cos 30 ×4l = 0 D D C B D q F 30D 60D FB 2. 取梁CD，受力分析如图所示 受力分析如图所示 ∑MMCC((FF))==00 cos 30 2 0 2 sin 60 × − × −F × l = l F l ql B D D cos 30 2 0 2 sin 60 × − × −F × l = l F l ql B D D FCy FCx