《理论力学》课程教学资源（讲稿）第六章 空间力系（6.4）力对点之矩和力对轴之矩

§6-4力对点之矩和力对轴之矩 1、力对点之矩 B 在空间力系中,力对点之矩可用一个 矢量表示,记为M(。如图所示。 M。(F 力F对O点之矩可表示为 YA(x,y, z) M0(F)=r×F 由上式及右图可知 (1)力对点之矩依赖于矩心的位置, 是定位矢量。 (2)力矩的大小 M0(F=Fh=2△OAB (3)力对点之矩的解析式为 j k MO(F)=r×F (yF-EFVi(=F-xF) j+(xF-yFr)k

§6-4 力对点之矩和力对轴之矩 1、力对点之矩 在空间力系中，力对点之矩可用一个 矢量表示，记为MO(F)。如图所示。 MO (F) = r × F 力F对O点之矩可表示为 由上式及右图可知 （1）力对点之矩依赖于矩心的位置， 是定位矢量。 （2）力矩的大小 MO (F) = F ⋅ h = 2∆OAB （3）力对点之矩的解析式为 MO (F) = r × F = Fx Fy Fz x y z i j k = ( yFz − zFy )i + (zFx − xFz ) j + (xFy − yFx )k

2、力对轴之矩 力对轴之矩是力使物体绕某轴转动效果的度量。 (1)定义 力对轴之矩等于该力在 与轴垂直的平面上的投影对 轴与平面交点之矩。如图所 M F=MO(F) ±F·h=±2△OAb 力对轴之矩是代数量,表示力矩的大小和转向,并按右手规 则确定其正负号,拇指指向与轴一致为正,反之为负。 力与轴平行或相交时,力对该轴之矩等于零

2、力对轴之矩 力对轴之矩是力使物体绕某轴转动效果的度量。 （1）定义 力对轴之矩等于该力在 力对轴之矩 与轴垂直的平面上的投影对 轴与平面交点之矩。如图所 示。 ( ) ( ) M z F = M O Fxy = ±Fxy ⋅ h = ±2∆OAb 力对轴之矩是代数量，表示力矩的大小和转向，并按右手规 则确定其正负号，拇指指向与轴一致为正，反之为负。 力与轴平行或相交时，力对该轴之矩等于零

(2)力对轴之矩的解析式 如图所示F、F、F2和x、yz分别为力在坐标轴上投 影和力作用点的巫标。由合力矩定理得到 F F \A(x, y, M(F=yF -zF M(F)=ZF -xF. M(F=XF,-yF F Fxy b 式中各量均为代数量

（2）力对轴之矩的解析式 ）力对轴之矩的解析式 如图所示Fx、Fy、Fz 和x、y、z 分别为力在坐标轴上投 影和力作用点的坐标。由合力矩定理得到   = − = − = − z y x y x z x z y M F xF yF M F zF xF M F yF zF ( ) ( ) ( ) 式中各量均为代数量

3、力对点之矩与力对轴之矩的关系 MO(F=(F--2FDi+(=)j+(xF,-yF)k 将上式投影到三个巫标轴上,得 M(F=VF-EF MMo(FJ=yF -zF M(F)=EF-xF MMo(FL=2F-xF M(F)=xFY-yF MMo(FL=xFv-yF 力对点之矩在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之 矩。上式可表为 MO(F)=M(F)i+M(F)J+M(Fk

3、力对点之矩与力对轴之矩的关系 、力对点之矩与力对轴之矩的关系 M (F) i j k O ( ) ( ) ( ) z y x z y x = yF − zF + zF − xF + xF − yF   = − = − = − z y x y x z x z y M F xF yF M F zF xF M F yF zF ( ) ( ) 将上式投影到三个坐标轴上，得 ( )   = − = − = − z y x y x z x z y xF yF zF xF yF zF [ ] [ ] [ ] M (F) M (F) M (F) O O O 力对点之矩在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之 矩。上式可表为 M (F) (F)i (F) j (F)k O = M x + M y + M z

例手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F,如图所 示,它在垂直于y轴的平面内,偏离铅直线的角度为a。如CD=a, 杆BC平行于x轴,杆CD平行于y轴,AB和BC的长度都等于l。试 求力F对x、y和轴之矩 解:将力F沿坐标轴分解为F和 C D E F两个分力,其中F= sina, F= Cosa。由合力矩定理,有 Fx M (F=M(F)=-F(AB+CD) B Fx F(+acos M,(F=M(F)=-F BC=-Fl cos a M(F)=M(F)=-F(AB+CD)=-F(+asina 下面再用力对轴之矩的解析式计算。力在x、y、z轴上的投影为 F= Fsin a F.=0 F=-Fcos a 力作用点的坐标为x=-l,y=l+a,2=0 由公式得M(F)=yF-zF.=(+aX- Fcos a)-0=-F(+a)eosa M(F=2F -xF=0-D(Fcos a)=-Fl cos a M(F=xF-yF=0-(+a(Sina)=-F(+a)sina

例 手 柄ABCE在平面Axy内，在 D处作用一个力 F，如图所 示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为 α。如CD=a， 杆BC平行于 x轴，杆CD平行于y轴，AB 和BC的长度都等于 l。试 求力F 对x 、 y 和 z轴之矩。 解：将力F 沿坐标轴分解为 Fx 和 Fz两个分力，其中 Fx=Fsin α， Fz=Fcos α。由合力矩定理,有 M ( ) M ( ) F (AB CD ) x F = x Fz = − z + = − F ( l + α ) cos α M y ( F ) = M y ( Fz ) = − FzBC = −Fl cos α M ( F ) M ( F ) F (AB CD ) z = z x = − x + 下面再用力对轴之矩的解析式计算。力在 x 、 y 、z 轴上的投影为 Fx = F sin α, Fy = 0, Fz = − F cos α 力作用点的坐标为 x = − l, y = l + a,z = 0 由公式得 M x ( F ) = yFz − zFy = ( l + a)( − F cos α ) − 0 = − F ( l + a ) cos α M y ( F ) = zFx − xFz = 0 − ( − l)( − F cos α ) = −Fl cos α M z ( F ) = xFy − yFx = 0 − ( l + a)( F sin α) = − F ( l + a )sin α = − F ( l + a )sin α