《理论力学》课程教学资源（讲稿）第十三章 动量矩定理（13.3）刚体对轴的转动惯量

§13-3刚体对轴的转动惯量 转动惯量是刚体转动惯性的度量,其 表达式为 J2=∑m1r 如果刚体的质量是连续分布的,则上 式可写为积分形式 J 转动惯量为一恒正标量,其值决定于轴的位 置、刚体的质量及其分布而与运动状态无关

§13-3 刚体对轴的转动惯量 转动惯量是刚体转动惯性的度量，其 表达式为 2 z i i J = ∑ m r 如果刚体的质量是连续分布的，则上 式可写为积分形式 ∫ = m J z r dm 2 转动惯量为一恒正标量，其值决定于轴的位 置、刚体的质量及其分布而与运动状态无关

1.简单形状的均质刚体转动惯量的计算 A d B B 2 (1)长为,质量为m的均质细长杆,如上图a所示,对于 过质心C且与杆的轴线相垂直的轴的转动惯量为 m 中x 如上图b所示,对于过杆端4且与轴平行的轴的转动惯量为 J x dx==ml 0

1．简单形状的均质刚体转动惯量的计算 （1）长为l，质量为m的均质细长杆，如上图a所示，对于 过质心C且与杆的轴线相垂直的z轴的转动惯量为 ∫− = = 22 2 2 12 l 1 l z x dx ml lm Jdx lm 2 dx x lm ⋅ 如上图b所示，对于过杆端A且与z轴平行的z1轴的转动惯量为 ∫ = = l z x dx ml lm J 0 2 2 1 31

(2)均质矩形薄板的边长为a与b,质量为M(如下图所示), 对于y轴的转动惯量 J:=∑Mm2=a2∑m=Ma 同理可得矩形薄板对x轴的转动惯量 J=-M6 (3)均质细圆环的半径为R,质量为M(如下图所示),对 于垂直于圆环平面过中心O的z轴的转动惯量 J=∑△mR2=R2∑△m=MR2 O(z)

（2）均质矩形薄板的边长为a与b，质量为M（如下图所示）， 对于y轴的转动惯量 2 2 2 3 1 3 1 3 1 J ma a m Ma z = ∑ ∆ = ∑ = b O x y 同理可得矩形薄板对x轴的转动惯量 2 3 1 J z = Mb a （3）均质细圆环的半径为R，质量为M（如下图所示），对 于垂直于圆环平面过中心O的z轴的转动惯量 2 2 2 J z = ∑ ∆mR = R ∑ ∆m = MR R x y O(z)

(4)半径为R,质量为m的均质薄圆盘,如下图所示,对于 过中心O与圆盘平面相垂直的轴的转动惯量 图中所示圆环的质量为 m-2rardr 2m rdr R R 此圆环对于z轴的转动惯量为 2 r dm=rdr R R 于是整个圆盘对于z轴的转动惯量为 R 2m R 2r dr=-mR

（4）半径为R，质量为m的均质薄圆盘，如下图所示，对于 过中心O与圆盘平面相垂直的z轴的转动惯量。 图中所示圆环的质量为 rdr R m dm π π 2 2 = rdr Rm2 2 = 此圆环对于z轴的转动惯量为 r dr R m r dm 3 2 2 2 = 于是整个圆盘对于z轴的转动惯量为 ∫ = = R z r dr mR Rm J 0 3 2 2 2 2 1

2.转动惯量的平行轴定理 定理:刚体对于任一轴的转动惯 量等于刚体对于通过质心、并与该轴 平行的轴的转动惯量,加上刚体的质 量与两轴间距离平方的乘积。即 J tmd 证明:如图所示,设C为刚体的x 质心,刚体对于过质心的轴z的转动 惯量为 C=2mr2=m1(x2+y2) 对于与轴平行的另一轴的转动惯量为 J:=∑mr2=∑m(x2+y2) 由于x Vi=y +d 于是上式变为 ∑m2+(+4∑m2+2+2+2 ∑m(x2+y2)+2my2+d∑m

2．转动惯量的平行轴定理 定理：刚体对于任一轴的转动惯 量等于刚体对于通过质心、并与该轴 平行的轴的转动惯量，加上刚体的质 量与两轴间距离平方的乘积。即 2 J z′ = J zC + md 证明：如图所示，设C为刚体的 质心，刚体对于过质心的轴z的转动 惯量为 ( ) 2 2 2 zC i i i i i J = ∑m r = ∑m x + y 对于与z轴平行的另一轴的转动惯量为 ( ' ) 2 2 2 z i i i i i J = ∑m r′ = ∑m x +y′ ′ 由于 xi′ = xi , yi′ = yi + d 于是上式变为 [ ] [ ] m x y d m y d m J m x y d m x y dy d i i i i i i z i i i i i i i =∑ + + ∑ + ∑ ′ =∑ + + =∑ + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2

J=∑mx2+(y+d)=∑mx2+y2+2m+d =∑m(x2+y2)+2d∑my2+d2∑m1 式中 ∑m1y1=mc=0 于是得 tmd 在应用时注意以下几点: (1)两轴互相平行; (2)其中一轴过质心; (3)过质心的轴的转动惯量最小

[ ] [ ] i i i i i i z i i i i i i i m x y d m y d m J m x y d m x y dy d = ∑ + + ∑ + ∑ ′ = ∑ + + = ∑ + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 式中 ∑ mi yi = myC = 0 于是得 2 J z′ = J zC + md 在应用时注意以下几点： （1）两轴互相平行； （2）其中一轴过质心； （3）过质心的轴的转动惯量最小

例1、均质杆AB长l,质量为 M,B端焊接圆盘。圆盘质量为m,A 半径为r,视为均质。计算系统对 轴A、轴D的转动惯量JAJ 解: M2+|mr2+m(7+r) 2 M2+M(=+2r)2|+my2+mr 12

例1、均质杆AB长l，质量为 M，B端焊接圆盘。圆盘质量为m， 半径为r，视为均质。计算系统对 轴A、轴D的转动惯量JA、JD。 解：   = + + + 2 2 2 ( ) 21 31 J Ml mr m l r A   + +   = + + 2 2 2 2 21 2 ) 2( 121 r mr mr l J D Ml M

例2、均质杆AB长l,质量为M, 与轴的夹角为a,计算其对轴的转 动惯量。 解:设杆的线密度为p,微段ds 对轴z的转动惯量为 d.=(pds )(ssin a) 杆AB对轴的转动惯量为 B J,=psin alds -.l sin a==msin a

A s ds 2 dJ (ρds)(ssinα) z = J s ds l z ∫ = 0 2 2 ρ sin α α α 3 2 2 2 sin 3 1 sin 3 1 l Ml l M = ⋅ = 例2、均质杆AB长l，质量为M， 与轴z的夹角为α，计算其对轴z的转 动惯量Jz。 解：设杆的线密度为ρ，微段ds 对轴z的转动惯量为 α 杆AB对轴z的转动惯量为 B z

例3、角钢每肢长b,质量为M。计 算角钢对轴O的转动惯量J。 解: b Jo=Mb+Mb+M(62+=) -M62

例3、角钢每肢长b，质量为M。计 算角钢对轴O的转动惯量JO。 解：   = + + + ) 4 ( 121 31 2 2 2 2 b JO Mb Mb M b 2 3 5 = Mb

课后作业: 13-1、13-3、13-7、13-9、13-11

课后作业： 13-1、13-3、13-7、13-9、13-11