《理论力学》课程教学资源（讲稿）第十一章 动量定理

动力学普遍定理 动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理 和动能定理。这些定理使某些与运动有关的物理 量,如动量、动量矩和动能,和某些与作用力有 关的物理量,如冲量、力矩和功等联系起来,建 立它们之间数量上的普遍关系。应用这些定理求 解质点和质点系的动力学问题,不但数学运算得 到简化,而且会使我们更深入地了解机械运动的 性质

动力学普遍定理 动力学普遍定理包括动量定理 、动量矩定理 和动能定理。这些定理使某些与运动有关的物理 量，如动量 、动量矩 和动能，和某些与作用力有 关的物理量，如冲量 、力矩 和 功等联系起来，建 立它们之间数量上的普遍关系。应用这些定理求 解质点和质点系的动力学问题，不但数学运算得 到简化，而且会使我们更深入地了解机械运动的 性质

第十二章动量定理 动量定理建立了质系动量的变化率 与作用于质系上外力系的主矢量之间的 关系。质系动量定理和质心运动定理也 是流体动力学及变质量质系动力学的理 论基础

第十二章 动量定理 动量定理建立了质系动量的变化率 与作用于质系上外力系的主矢量之间的 关系。质系动量定理和质心运动定理也 是流体动力学及变质量质系动力学的理 论基础

§12-1质系动量定理 ■质点及质点系的动量 动量是度量物体机槭运动强度的一个物 理量。质点的动量定义为它的质量与速度 的乘积,即 p=mv 动量是矢量,其方向与质点的速度方向相同。 动量在坐标轴上的投影是代数量

§12-1 质系动量定理 ■ 质点及质点系的动量 动量是度量物体机械运动强度的一个物 理量。质点的动量定义为它的质量与速度 的乘积, 即 p = m v • 动量是矢量, 其方向与质点的速度方向相同。 • 动量在坐标轴上的投影是代数量

质点系内所有质点的动量的矢量和称为质点 系的动量,即 p=∑p=∑m1v1 质点系内所有质点的动量构成一个动量系,质 点系的动量即是这个动量系的主矢量。质点系的 动量是度量质点系整体运动的基本特征量之 ■质点系的动量定理 考虑由n个质点组成的质点系,对其第个质点应 用牛顿第二定律得 d (m, v=F+F dt

质点系内所有质点的动量的矢量和称为质点 系的动量, 即 p = ∑ pi = ∑ m i v i 质点系内所有质点的动量构成一个动量系, 质 点系的动量即是这个动量系的主矢量 。质点系的 动量是度量质点系整体运动的基本特征量之一。 ■ 质点系的动量定理 考虑由 n个质点组成的质点系,对其第 i个质点应 用牛顿第二定律得 d e i ( ) d m i i i i t v F= + F

(m, v, )=F+F dt 式中m,v第个质点的动量,F是作用于该质点的 外力的合力,F是作用于该质点的内力的合力 上式对和得 d ∑;(m)=∑F+∑ dt d ∑(m)=∑F

d e i ( ) d mi i i i t v F= + F 式中mivi第i个质点的动量, Fie是作用于该质点的 外力 的合力, Fii是作用于该质点的内力的合力。 上式对i求和得 d e i ( ) d mi i i i t ∑ ∑ v F = +∑F d e ( ) d mi i i t ∑ v F = ∑

∑ 上式表明,质点系的动量对时间的导数等于作用 于质点系的外力系的主矢。这一结论称为质点系 的动量定理。在实际应用中常用其投影形式 Dt)y d ∑F dt ∑(mn)=∑F ip dt ∑F或 dt ∑(mn)=∑F d ∑Fe dt ∑(mn)=∑F dt

( ) = ∑ e i t F d dp 上式表明, 质点系的动量对时间的导数等于作用 于质点系的外力系的主矢。这一结论称为质点系 的动量定理。在实际应用中常用其投影形式:          = = = ∑ ∑ ∑ e iz z e iy y e ix x F t p F t p F t p d d d d d d          = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ e i iz iz e i iy iy e i ix ix m v F t m v F t m v F t ( ) d d ( ) d d ( ) d d 或

d=a2(m)=2F分 dp d t 2 令 refEed I称为力F在时间间隔(2-1)内的冲量, 则上式可写为: p2=

( ) ( ) = ∑ = ∑ e mi i i dtd t v F ddp ( ) ∑ ∑ ∑∫ − = − = 21tt p p mv mv F dt e 2 1 i i2 i i1 i 积分 ( ) ∫ = 21tt I F dt e i e 令 i Iie称为力Fi(e)在时间间隔（t2 – t1）内的冲量， 则上式可写为： − =∑ ei p p I 2 1

乃2-n=∑ 上式表明,质点系的动量在任一时间内的变化, 等于同一时间内作用在该质点系上所有外力的冲 量的主矢。这一结论称为质点系的冲量定理。在 实际应用中常用其投影形式: popi P2=-B12=21

− =∑ ei p p I 2 1 上式表明, 质点系的动量在任一时间内的变化， 等于同一时间内作用在该质点系上所有外力的 冲 量的主矢。这一结论称为质点系的冲量定理。在 实际应用中常用其投影形式:   − = − = − = ∑ ∑ ∑ e z z z e y y y e x x x p p I p p I p p I 2 1 2 1 2 1

由质点系的动量定理可知系统动量的改变只 与外力有关,而与内力无关。内力只能改变系统 内部的相对运动,在系统内部作动量的转移和传 递而不能改变整个系统的动量。 质点系的动量守恒 dp ∑F ∑F三0→ dt dt P=∑m=常矢量 若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零,则该 质点系的动量保持不变质点系的动量守恒

由质点系的动量定理可知,系统动量的改变只 系统动量的改变只 与外力有关,而与内力无关 。内力只能改变系统 内部的相对运动,在系统内部作动量的转移和传 递,而不能改变整个系统的动量。 ■ 质点系的动量守恒 ∑ Fi e ≡ 0 0 d d = t p = ∑ e Fi d t dp p = ∑ m i v i = 常矢量 若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零 若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零 ,则该 质点系的动量保持不变 质点系的动量保持不变——质点系的动量守恒 质点系的动量守恒

ip dt ∑F ∑Fe≡0 0 dt p2=∑mnx=常数 若作用于质点系的外力系的主矢在某坐标轴上 的投影恒等于零,则该质点系的动量在同一轴上 的投影保持不变质点系的动量在该坐标轴方 向守恒

= ∑ eix x F tpdd 0 d d = t p ∑ x Fixe≡ 0 px =∑mivix = 常数 若作用于质点系的外力系的主矢在某坐标轴上 的投影恒等于零, 则该质点系的动量在同一轴上 的投影保持不变——质点系的动量在该坐标轴方 向守恒