《理论力学》课程教学资源（讲稿）第十四章 动能定理（14.2）质系和刚体的动能

§14-2质系和刚体的动能 1.质系的动能 设质系由n个质点组成,任一质点M,在某瞬时 的动能为 质系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该 瞬时质系的动能,即 T=4m2 2 动能是描述质系运动强度的一个物理量。动能 的单位与功的单位相同

§14-2 质系和刚体的动能 1. 质系的动能 设质系由n个质点组成，任一质点Mi 在某瞬时 的动能为 2 2 1 i i i T = m v 质系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该 瞬时质系的动能，即 2 2 1 T = ∑ mv 动能是描述质系运动强度的一个物理量。动能 的单位与功的单位相同

2.平动刚体的动能 当刚体平动时,刚体上各点速度相同,于是平 动刚体的动能为 7=∑m2=2∑m=ma

2．平动刚体的动能 当刚体平动时，刚体上各点速度相同，于是平 动刚体的动能为 2 2 1 T = ∑ mv = v ∑m 2 21 2 21 = mvC

3.定轴转动刚体的动能 当刚体绕固定轴转动时 如图示,其上任一点的速度 r 为 -r:O 于是绕定轴转动刚体的动能 为 T 2 ∑ m; Mi ∑m2=J为刚体对轴的转动惯量,所以得

3．定轴转动刚体的动能 当刚体绕固定轴转动时， 如图示，其上任一点的速度 为 vi = ri ω 于是绕定轴转动刚体的动能 为 2 2 1 i i T = ∑ m v i i z ∑ m r = J 2 为刚体对 z轴的转动惯量，所以得 2 2 1 T = J z ω 2 2 1 T = mv C ∑       = 2 2 2 1 mi ri ω 2 2 2 1 i i = ω ⋅∑ m r

平面运动刚体的动能 T=-J C 根据转动惯量的平行轴定 理有 J,=j+ md 代入上式得 (c+md)o=Jco+md a 而d=vc,因此 2 上式表明,平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的 动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和

4．平面运动刚体的动能 2 2 1 T = J C′ω 根据转动惯量的平行轴定 理有 2 J J md C′ = C + 代入上式得 2 2 2 ( ) 21 21 T = JC′ω = JC + md ω C dω = v 2 2 2 1 2 1 T = mvC + J Cω ，因此 2 2 2 2 1 2 1 = JCω + md ω 而 上式表明，平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的 动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和

R R R C 7777 (a):T=2J mR R 22 mRoz 2 2mR+mr'le33 (c):T mR2+mP2∥)3 2(2 R)4

R C ω (b) O R C ω (a) C R v (c) O 2 2 1 T = JCω 2 2 21 21 = ⋅ mR ⋅ω 2 2 41 (a): = mR ω 2 2 1 T = JOω 2 2 2 21 21 ω  = mR + mR 2 2 43 (b): = mR ω 2 2 1 T = JOω 2 2 2 21 21    = + Rv mR mR 2 43 (c): = mv

c A (d) T=-Jo T 2 1、mNn) -m0 -ml o sin a

O α O ω ω A A (d) (e) 2 2 1 T = JOω 2 2 1 T = JOω ( )2 2 sin 31 21 2 2 = ⋅ m l α ⋅ω 31 21 = ⋅ ml ⋅ω ω α 2 2 2 sin 6 1 = ml 2 2 6 1 = ml ω

例2均质杆AB靠在光滑墙面上,已知杆的质量为m,杆长l。图 示瞬时B点的速度为vg,p=60°。设地面光滑。求此时杆的动能。 A 解:杆AB作平面运动,点D是 D 速度瞬心,质心速度 V=CD.0==.B=-B 2 Isin 2sin o C T=mvc +Jca B B 22sin60212(lsin60° 动能也可用下法求得 7=1no2=- 2c+m: CD222 -ml+ml B 2 2)人lsin60

例2 均质杆AB靠在光滑墙面上，已知杆的质量为m，杆长l。图 示瞬时B点的速度为vB，ϕ =60°。设地面光滑。求此时杆的动能。 解：杆AB作平面运动，点D是 速度瞬心，质心速度 vC = CD ⋅ω 2 lsinϕ l vB = ⋅ 2sinϕ B v = ϕ vA vC C A D 2 2 2 1 2 1 T = mvC + JCω 2 0 2 2 0 2 12 sin 60 1 2 2sin 60 1    + ⋅ ⋅   = l v ml v m B B B vB 2 9 2 = mvB 动能也可用下法求得 ( ) 2 2 2 21 21 T = J Dω = J C + m ⋅CD ω 2 2 0 2 2 9 2 12 2 sin 60 1 2 1 B B mv l l v ml m  =      = +

例3.质量为m的均质杆与相 同质量的均质小球固结,以角 速度o绕轴O转动,如图示。已 知杆长为l小球半径为r,求组 合体的动能(小球对直径轴的 转动惯量为2mr2/5) =m/+=mr+m(l+r) 2012+2lr2+301 15 T=Jo2_m 2012+21r2+30l 30

O C ω 例3. 质量为m的均质杆与相 同质量的均质小球固结, 以角 速度ω绕轴O转动,如图示。已 知杆长为l,小球半径为r, 求组 合体的动能 (小球对直径轴的 转动惯量为2mr2/5 )。 ( ) l r lr m J ml mr m l r O 20 21 30 15 ( ) 52 31 2 2 2 2 2 = + + = + + + ( ) 2 2 2 2 20 21 30 2 30 1 ω l r lr ω m T J = O = + +

例4.已知长的杆和半径为r的均质圆盘质量均为m, 均质圆盘沿水平面纯滚,质心速度为,试求图示位 置时系统的动能 T=m2+,2/) =-m B 2u TAB=m(2u =2mu C T=T+t=-mu

例4. 己知长l的杆和半径为r的均质圆盘质量均为m, 均质圆盘沿水平面纯滚,质心速度为u，试求图示位 置时系统的动能。 A B C u O 2u 2 2 (2 ) 2 21 T m u mu AB = = 2 2 2 2 4 3 2 1 2 1 2 1 mu r u T mu mr C  =   = + ⋅ ⋅ 2 4 11 T T T mu = C + AB =

例5.己知m、l,a=45°,杆重不计均质圆盘沿斜面 纯滚,试求系统的动能

例5. 己知m、u, α = 45°, 杆重不计,均质圆盘沿斜面 纯滚,试求系统的动能。 m m u α O u u C 2 2 3 T = mu