《理论力学》课程教学资源（讲稿）动力学综合

普遍定理的综合应用 质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定 理和动能定理统称为动力学普遍定理。动力学普 遍定理给出了描述质点系整体运动特征的物理量 (动量、动量矩和动能)与度量力对系统的作用效 应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和力的 功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式,而动能定理为标量形式。 动力学普遍定理的优越性主要体现在研究比较 复杂的系统动力学问题

普遍定理的综合应用 质点系的动量定理 (质心运动定理 )、动量矩定 理和动能定理统称为动力学普遍定理。动力学普 遍定理给出了描述质点系整体运动特征的物理量 (动量、动量矩和动能 )与度量力对系统的作用效 应的物理量 (力系的主矢和主矩、力的冲量和力的 功 )之间的定量关系。动量定理 (质心运动定理 ) 和 动量矩定理为矢量形式,而动能定理为标量形式。 动力学普遍定理的优越性主要体现在研究比较 复杂的系统动力学问题

在求解比较复杂的动力学问题时,往往不可能 仅用一个定理解决全部问题,需要综合应用几个 定理来求解。而且这种应用,并不存在一个固定 的模式,必须具体问题具体分析,综合考虑,灵活 应用。但是一般说来,下列原则仍有一定的参考 价值。 (1)求解速度、角速度问题往往首先考虑应用 动能定理的积分形式,且尽可能以整个系统为研 究对象,避免拆开系统 (2)应用动能定理的积分形式,如果末位置的 速度或角速度是任意位置的函数,则可求时间导 数来得到加速度或角加速度。仅求加速度(角加 速度)的问题,应用动能定理的微分形式也很方便

在求解比较复杂的动力学问题时,往往不可能 仅用一个定理解决全部问题, 需要综合应用几个 定理来求解。而且这种应用, 并不存在一个固定 的模式, 必须具体问题具体分析, 综合考虑, 灵活 应用。但是一般说来, 下列原则仍有一定的参考 价值。 (1) 求解速度、角速度问题往往首先考虑应用 动能定理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研 究对象, 避免拆开系统。 (2) 应用动能定理的积分形式 , 如果末位置的 速度或角速度是任意位置的函数, 则可求时间导 数来得到加速度或角加速度。仅求加速度 (角加 速度 )的问题 ,应用动能定理的微分形式也很方便

(3)对于既要求运动又要求约束力的问题,因 为应用动能定理不能求出无功约束力,此时往往 先求运动然后再应用质心运动定理或动量矩定 理来求约束力。 4)当系统由作平动、定轴转动、平面运动的 刚体组合而成时,一种比较直观的求解办法就是 将系统拆开成单个刚体分别列出相应的动力学 微分方程,然后联立求解。 (5)注意动量、动量矩守恒问题特别是仅在某 方向上的守恒

(3) 对于既要求运动又要求约束力的问题, 因 为应用动能定理不能求出无功约束力,此时往往 先求运动,然后再应用质心运动定理或动量矩定 理来求约束力。 (4) 当系统由作平动、定轴转动、平面运动的 刚体组合而成时,一种比较直观的求解办法就是 将系统拆开成单个刚体,分别列出相应的动力学 微分方程,然后联立求解。 (5) 注意动量、动量矩守恒问题,特别是仅在某 一方向上的守恒

动力学普遍定理 dp dt ∑ mn=∑Fe dl d2=2M(F") dT=∑δW;T-T1=∑W 牛顿第二定律 ma=∑F 刚体定轴转动微分方程 J6=J0=∑M(F)

动力学普遍定理 ( ) = ∑ e i t F d dp m a C = ∑ Fi e ( ) d d O e O i t = ∑ M F L dT = ∑ δ Wi T2 － T1 = ∑ Wi 牛顿第二定律 ma = ∑ F 刚体定轴转动微分方程 Jz ε = Jz φ = ∑ Mz ( Fi ) • •

例1、滑轮重Q,半径为R,对转轴O的回 转半径为o在滑轮上施加恒力偶,其矩为 M,以提升重为P的物体A,试求物A上升的 加速度。 解:取整个系统为研究对象。 设滑轮角速度为o,系统对轴O的动量矩为 Go=poa+-RoR=(PO+-RDo g 由动量矩定理M=∑M(F 得 (po+-R)a=M-PR g g M-PR 解得滑轮的角加速为a g Opo +pr 所以物上升的加速为a=R=M=PRR Opo +ep28

例 1、滑轮重 Q，半径为 R，对转轴 O的回 转半径为 ρO。在滑轮上施加恒力偶，其矩为 M，以提升重为 P的物体 A，试求物 A上升的 加速度。 FOx FOy Q 解：取整个系统为研究对象。 设滑轮角速度为 ω，系统对轴 O的动量矩为 ρ ω ω ( ρ ) ω 2 2 2 R g P g Q R R g P g Q G O = O + ⋅ = O + P M (F) dt dG O O = ∑ R M PR g P g Q ( ρ O + ) α = − 2 2 g Q PR M PR O 2 2 + − = ρ α ( ) g Q PR M PR R a R O 2 2 + − = = ρ α 由动量矩定理 得 解得滑轮的角加速为 所以物 A上升的加速为

应用动能定理求解: 设任意时刻物A的速度为v,则滑轮的角 速度为 R 系统动能及元功为 T=-J.0+-my 2 R)2 Q +p lv g R ∑W=M0-Pd P lds R dT=>8W 8(+Ph= R (M-PRR 0n+P8

应用动能定理求解： 设任意时刻物 A的速度为 v，则滑轮的角 速度为 R v ω = 系统动能及元功为 2 2 2 1 2 1 T J mv = O ω + 2 2 2 2 1 2 1 v g P R v g Q O  +      = ρ 2 2 2 2 1 P v R Q g O         = + ρ P ds R M P vdv R Q g O       = −         + 2 2 1 ρ ∑ δ W = Md ϕ − Pds P ds R M       = − dT = ∑ δ W v P ( ) g Q PR M PR R a O 2 2 + − = ρ

例2、卷扬机如图所示。鼓轮 M 在常力偶矩M作用下将圆柱体沿 B foy 斜面上拉。已知鼓轮的半径为R, F 质量为m,质量分布在轮缘上; 圆柱体的半径为R2,质量为m, C n g 质量均匀分布。设斜面的倾角为 圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从 mg↑ 静止开始运动,求(1)圆柱体上 F 升路程为s时,其中心C的速度及 加速度;(2)绳索BC段的拉力; (3)轴承O的反力。 解:(1)取整个系统为研究对象,主动力的功为 ∑W=M-m2gies 设圆柱体中心的速度为vc,则系统的动能 T=-J,o2+-J 2c02+m2n2

例2、卷扬机如图所示。鼓轮 在常力偶矩M作用下将圆柱体沿 斜面上拉。已知鼓轮的半径为R1, 质量为m1，质量分布在轮缘上； 圆柱体的半径为R2 ，质量为m2 ， 质量均匀分布。设斜面的倾角为θ， 圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从 静止开始运动，求（1）圆柱体上 升路程为s时，其中心C的速度及 加速度；（2）绳索BC段的拉力； （3）轴承O的反力。 解： （1）取整个系统为研究对象，主动力的功为 ∑W = Mϕ − m g ⋅sinθ ⋅s 2 B 设圆柱体中心的速度为vC，则系统的动能 2 2 2 2 2 1 1 0 2 1 2 1 2 1 0 C C T J J m v T = + + = ω ω

7=J101+JCc02+m2v 式中 R2 R1 R R 代入后得 T=(2m1+3m,)2 应用动能定理7-70=∑W 得 (2m1+3m2)v2-0=(M R 2g·Sn6)s 所以,得 NCS/(M-m2 8R, sin O)s R1(2m1+3m2) 式(1)两边求导,(2m+3m)eac=(Mp-m28SinO)nc 解得 2(M-m,gR sin 0 R1(2m1+3m2)

式中 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 C C T = J ω + J ω + m v 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 J = m R , J = m R 2 1 2 1 1 , , R s R v R v C C ，ω = ω = ϕ = 代入后得 2 1 2 ( 2 3 ) 4 1 C T = m + m v 应用动能定理 T − T0 = ∑ W m g s R m m v C M sin ) 1 ( 2 3 ) 0 ( 4 1 2 1 2 得 1 + 2 − = − ⋅ θ (1) ( 2 3 ) ( sin ) 2 1 1 2 2 1 R m m M m gR s v C + − = θ C C C m g v R m m v a M sin ) 1 ( 2 3 ) ( 2 1 2 1 1 + 2 ⋅ = − ⋅ θ ( 2 3 ) 2 ( sin ) 1 1 2 2 1 R m m M m gR a C + − = θ 所以，得 式(1)两边求导 解得

(2)取圆柱体C为研究对象,其受力如图示。 以瞬心D为矩轴应用动量矩定理,有 F(F-mgsin)R,Jpa=5 m, R2 R m2gsin6+-m,a 28 2m,gr sin (+3M (2m2+3m2)R1 (也可应用动能定理求T)

（2）取圆柱体C为研究对象，其受力如图示。 α a m2g F FN θ C D FT 以瞬心D为矩轴应用动量矩定理，有 ( ) 2 T 2 2 D 2 2 2 3 a F m gsin R J m R 2 R − θ α = = ⋅ 2 2 3 sin 2 FT = + m g θ m a 1 1 2 1 2 1 2 sin 3 (2 3 ) T m gR M F m m m R θ + = + （也可应用动能定理求T。）

(3)取滑轮B为研究对象,其受力如图示。 Oy 由质心运动定理可得轴承的反力 Ox O f-Fr cos0=m,a Ox g 2m,gr, sing+3M f=F COSO= n.cos 2m2+3m2/R FOw -F sin -m,g=m aov=0 F.= Fr sing+m,g

（3）取滑轮B为研究对象，其受力如图示。 FT' m1g O M FOy 由质心运动定理可得轴承的反力 FOx F F Ox T 1 Ox − ′cosθ = = m a 0 1 1 Ox T 2 1 2 1 2m gR sinθ 3M F F cosθ m cosθ (2m 3m )R + = = ′ + F F Oy T 1 1 Oy − = ′sinθ - m g m a = 0 F F Oy T 1 = + ′sinθ m g