《理论力学》课程教学资源（讲稿）第十三章 动量矩定理（13.1-13.2）质点系的动量矩定理、刚体的定轴转动微分方程

第十三章动量矩定理 质系动量矩定理建立了质系动量矩的 变化率与作用于质系上外力系的主矩之间 的关系

第十三章 动量矩定理 质系动量矩定理建立了质系动量矩的 变化率与作用于质系上外力系的主矩之间 的关系

§13-1质点系的动量矩定理 质点及质点系的动量矩 质点的动量m对固定点O之矩称为质点的动 量矩或角动量,记为 Lo=MO(mv)=r×m 式中r是质点m相对于矩心O的矢径。质点相对 固定点的动量矩L通常看成是位于矩心O处的 定位矢量。 单位:千克米2/秒(kgm2/s)

§13-1 质点系的动量矩定理 ■ 质点及质点系的动量矩 质点的动量mv对固定点O之矩称为质点的动 量矩或角动量, 记为 LO = MO(mv) = r×mv 式中r是质点m相对于矩心O的矢径。 质点相对 固定点的动量矩LO通常看成是位于矩心O处的 定位矢量。 单位：千克⋅米2/秒(kg ⋅m2/s)

Lo=M0(m)r×mm 0 h Plane determined by o and my 质点相对固定点的动量矩

r O h Plane determined by O and mv mv m LO=MO(mv)=r×mv 质点相对固定点的动量矩 质点相对固定点的动量矩

Lo=MO(m)=r×m 式中 r=xi+yj+zk my=mv.i+mv.i+mv. k 所以 Mo(my)=romy= x mmy mlyv-zv )i+m(zvr -xv)j+m(xv -yvr)k 因此,动量矩在坐标轴上的投影,即对坐标轴之矩为 dz di M(mv)=mlyv-zv,)=m(y-z dx dz M,(mv) =m(zv -xv)=m(2-x dy dx M(mv)=m(lxv,-y)=m(x-y

LO = MO(mv) = r×mv r = xi + yj + zk mv = mvxi + mvy j + mvzk M (mv ) r mv O = × mvx mvy mvz x y z i j k = m(yv zv )i m(zv xv )j m(xv yv )k = z − y + x − z + y − x 式中 所以 因此，动量矩在坐标轴上的投影，即对坐标轴之矩为   = − = − = − = − = − = − ) dt dx y dt dy M (m ) m(xv yv ) m(x ) dt dz x dt dx M (m ) m(zv xv ) m(z ) dt dy z dt dz M (m ) m(yv zv ) m(y z y x y x z x z y v v v

质点系内所有质点对O点的动量矩的矢量和 称为质点系对O点的动量矩,即 Lo=∑Lo=∑r1×m 质点系对某固定点的动量矩即是质点系的动量 系对该点的主矩。质点系的动量矩也是量度质点 系整体运动的基本特征量之一。 质系动量矩在坐标轴上的投影,即对坐标轴之矩为 L.=∑Mmy L,=∑M,m L==∑Mmv

质点系内所有质点对 O点的动量矩的矢量和 称为质点系对 O点的动量矩, 即 L O = ∑ LOi = ∑ r i × m i v i 质点系对某固定点的动量矩即是质点系的动量 系对该点的主矩。质点系的动量矩也是量度质点 系整体运动的基本特征量之一。 质系动量矩在坐标轴上的投影，即对坐标轴之矩 为 ∑ ∑ ∑ = = = L M (mv) L M (mv) L M (mv) z z y y x x

■质点系的动量矩定理 考虑由n个质点组成的质点系,其中第个质点 对固定点O的动量矩为 Oi 上式两边对时间求导数得 dl.d =,×m21+r×,(m1u) dt dt d (m, v, )=F+F dt dL dt XFe+rxF=M(F)+M(f) 式中F是作用于第个质点的外力的合力,F是作 用于该质点的内力的合力

■ 质点系的动量矩定理 考虑由n个质点组成的质点系, 其中第i个质点 对固定点O的动量矩为 LOi = ri×mivi 式中 Fie是作用于第i个质点的外力 的合力, Fii是作 用于该质点的内力的合力。 d d d d d d ( ) Oi i m m i i i i i t t t L r = × v r + × v d e i d ( ) mi i i i t v F= + F d e i d Oi i i i i t L = × r F + r F× e i ( ) ( ) = + M F O i M F O i 上式两边对时间求导数得

Oi=rXF+rXF=M(F)+M(E) 上式对和得 dl ∑ dt =∑M0(F)+∑M0(F dlo ∑M0(F) 即质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数, 等于作用于质点系的所有外力对同一点的矩的矢 量和。这就是质点系(对固定点)的动量矩定理

d e i d ( ) ( ) Oi O i O i t L ∑ ∑= + M F ∑ M F d e i d Oi i i i i t L = × r F + r F× e i ( ) ( ) = + MO i F MO i F 上式对i求和得 d e d ( ) O O i tL = ∑ M F 即质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数, 等于作用于质点系的所有外力对同一点的矩的矢 量和。这就是质点系(对固定点)的动量矩定理

dl ∑M(F) 动量矩定理的投影形式 dt dt ∑M(F) dL d 2y, (e) a=∑M(F) 即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导 数,等于作用于质点系的所有外力对同一轴的矩 的代数和

d e d ( ) O O i tL = ∑ M F 动量矩定理的投影形式: e e e d d d d d d ( ) ( ) ( ) x x y y z i i z i L M t L M t L M t F F F = = = ∑ ∑ ∑ 即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导 数,等于作用于质点系的所有外力对同一轴的矩 的代数和

dl 质点系的动量矩守恒dt =∑M(F) (1)∑M(F)=0 L=常矢量 (2)∑M(F)=0L=常数 若作用于质点系的外力对某一固定点(固定轴) 的矩的矢量和(代数和恒等于零则该质点系对同 点(同一轴)的动量矩保持不变—质点系的动 量矩守恒。 质点系动量矩的变化仅仅决定于外力系的主 矩,而与内力无关

d e d ( ) O O i tL ■ 质点系的动量矩守恒 = ∑ M F (1) ∑MO(Fie )≡ 0 LO= 常矢量 (2) ∑Mz(Fie )≡ 0 Lz= 常数 若作用于质点系的外力对某一固定点 若作用于质点系的外力对某一固定点(固定轴) 的矩的矢量和(代数和)恒等于零,则该质点系对同 则该质点系对同 一点(同一轴)的动量矩保持不变 的动量矩保持不变——质点系的动 量矩守恒。 质点系动量矩的变化仅仅决定于外力系的主 矩,而与内力无关

例1、水平杆AB长为2a,可绕铅垂轴转动,其两 端各用铰链与长为)的杆AC及BD相连,杆端各联结重 为P的小球C和D。起初两小球用细线相连,使杆AC与 BD均为铅垂,系统绕轴的角速度为o。如某瞬时此细 线拉断后,杆AC与BD各与铅垂线成a角,如图所示。 不计各杆重量,求这时系统的角速度。 北 A a。B a a C -OD C D

例1、水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两 端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结重 为P的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与 BD均为铅垂，系统绕z轴的角速度为ω。如某瞬时此细 线拉断后，杆AC与BD各与铅垂线成α角，如图所示。 不计各杆重量，求这时系统的角速度