《理论力学》课程教学资源（讲稿）第四章 平面任意力系（4.3-4.4）简化结果的分析合力矩定理、平面力系的平衡条件与平衡方程

第三节简化结果的分析合力矩定理 1.平面力系的简化结果 将平面力系向作用面内一点简化,有三种可能结果:合力、合力偶和平衡。 力系向任一点O简化 说明 主矢 主矩 简化结果 M=0 平衡 平衡力系 F=0 M≠0 合力偶 主矩与简化中心位置无关 M=0 合力作用线通过简化中心 合力 合力作用线离简化中心距离 FR≠0 M≠0

第三节 简化结果的分析 合力矩定理 1.平面力系的简化结果 将平面力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：合力、合力偶和平衡。 力系向任一点O简化 主矢 主矩 简化结果 说明 = 0 MO 平衡 平衡力系 0 ' FR = ≠ 0 MO 合力偶 主矩与简化中心位置无关 MO = 0 合力作用线通过简化中心 0 ' FR ≠ MO ≠ 0 合力 合力作用线离简化中心距离 ' R O F M d =

力线平移定理

' F M d =

2、合力矩定理 F O o FR (a) OR )=FRd=M O=∑M0(F M0(F)=∑M0(F) 合力对某一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和

2、合力矩定理 ( ) MO R F FR O = d = M (F) MO = ∑ MO ( ) ( ) M M O R F = ∑ O F 合力对某一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和

在长方形平板的O,A,B,C点上分别作用着有四个力: F1=1kN,F2=2kN,F3=F4=3KN(如图),试求以上四个力构 成的力系对O点的简化结果,以及该力系的最后合成结果。 y 60 B L 3m

在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力： F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构 成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。 F1 O A B C x y 2 m 3m 30° 60° F2 F3 F4

F 解:求向点简化结果 B F 求主矢F。建立如图坐标系Oxy ∑ = -F cos 600+E,+E cos 300 3m =0.598kN =∑F=F Fsin60°+hsn30°=0.768kN 所以,主矢的大小FR=VF2+F3=0.794kN 主矢的方向:cos(F,i)==0.614∠(F,i)=521 cOS F,)==0.789∠(F,j=37° 國四

FR′x =∑ Fx FR′x = Fx = − cos 60° + + cos 30° F2 F3 F4 = − cos 60° + + cos 30° F2 F3 F4 == 00..598 598 kNkN 建立如图坐标系 建立如图坐标系Oxy。 F1 F2 F3 F4 O A B C x y 2 m 3m 30° 60° 1.求主矢 FR′ 。 解： 求向O点简化结果 FR′y =∑ Fy FR′y = Fy = − sin 60° + sin 30° F1 F2 F4 = − sin 60° + sin 30° F1 F2 F4 == 00..768 768 kNkN 0.794 kN 2 R 2 FR′ = FR′x + F′y = 0.794 kN 2 R 2 所以，主矢的大小 所以，主矢的大小 FR′ = FR′x + F′y = cos( ) 0.614 R R R = ′ ′ ′ = F F x cos( ) F , i 0.614 R R R = ′ ′ ′ = F F x F , i cos( ) , 0.789 R R R = ′ ′ ′ = F F y cos( ) F , j 0.789 R R R = ′ ′ ′ = F F y F j 主矢的方向： ∠( ′ ) = 52.1° R ∠(F′ , i) = 52.1° R F , i ∠(F′ , j) = 37.9° R ∠(F′ , j) = 37.9° R

F A60° 2求主矩M ∑M(F) 月 2F COS 60%-2F+3f sin 300 0.5kN·m 03m y 最后合成结果 A 由于主矢和主矩都不为零,所以最后合 成结果是一个合力FR。如右图所示 M R R 合力F到O点的距离4Mo0.51m R

F1 F2 F3 F4 O A B C x y 2 m 3m 30° 60° 2. 求主矩MO = ∑ (F) MO MO = ∑ (F) MO MO = 2 cos 60° − 2 + 3 sin 30° F2 F3 F4 = 2 cos 60° − 2 + 3 sin 30° F2 F3 F4 == 00..55 kNkN⋅⋅mm FR d O A B C x y MO FR′R 最后合成结果 由于主矢和主矩都不为零，所以 由于主矢和主矩都不为零，所以最后合 成结果是一个合力 成结果是一个合力FR。如右图所示。 FR FR = ′ FR FR = ′ 0.51 m R = ′ = F M d O 0.51 m R = ′ = F M d 合力 O FR到O点的距离

第四节平面力系的平衡条件与平衡方程 1.平面力系的平衡条件 平面力系平衡的必要和充分条件是:力系的主矢和主矩 都等于零 F 2.平面力系的平衡方程 ∑F=0 ∑ F.=0 ∑MOF=0

第四节 平面力系的平衡条件与平衡方程 1．平面力系的平衡条件 平面力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩 都等于零  == M O 0 F R 0 ' 2．平面力系的平衡方程   ∑ = ∑ = ∑ = 0 0 0 M (F) F F O y x

3.平衡方程的其它形式 (1)二力矩式 ∑M(F=0 F ∑MB(F)=0 ∑F=0 式中A,琏连线不能与x轴垂直。 (2)三力矩式 ∑MAF)=0 C F ∑MB(F)=0 B ∑MC(F)=0 A 式中A、BC三点不能共线

3．平衡方程的其它形式 （1）二力矩式   ∑ = ∑ = ∑ = 0 0 0 x B A F M (F) M (F) 式中A，B连线不能与x轴垂直。 （2）三力矩式   ∑ = ∑ = ∑ = M ( ) 0 M ( ) 0 M ( ) 0 C B A F F F 式中A、B、C三点不能共线

4.平面平行力系的平衡方程 ∑F.=0 ∑M(F=0 式中轴与各力平行,A为平面上任一点。 ∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0 式中A、B连线不能与各力平行

4．平面平行力系的平衡方程  ∑ = ∑ = 0 0 M (F) F Ay 式中轴与各力平行，A为平面上任一点。  ∑ = ∑ = M ( ) 0 M ( ) 0 BA FF 式中A、B连线不能与各力平行

例1、起重机重P2=10MkW,可绕铅直轴 转动,起吊P2=40kM重物,如图所示 尺寸如图所示。求止推轴承和轴承跳 的约束力。 解:取起重机为研究对象,作受力图 如图示。建立图示坐标系,由平衡方程 P 3.5m ∑MA(F)=0 Fn·5-P·1.5-P2·3.5=0 Fn=-0.3P-0.7P,=-31kN E ∑F=0 F,+F=0 F=-F=3lkN ∑F,=0 --P2=0 F=P+p=50kN FB为负值,说明它的方向与假设的相反

例1、 起重机重P1=10kN，可绕铅直轴 转动，起吊P2=40kN的重物，如图所示。 尺寸如图所示。求止推轴承A和轴承B处 的约束力。 解：取起重机为研究对象，作受力图 如图示。建立图示坐标系，由平衡方程 ∑ (F) = 0 M A FB = −0.3P1 − 0.7P2 = −31kN 5 1.5 3.5 0 − FB ⋅ − P1 ⋅ − P2 ⋅ = ∑ Fx = 0 FAx + FB = 0 FAx = −FB = 31kN 0 0 ∑ Fy = FAy − P1 − P2 = FAy = P1 + P2 = 50kN FB为负值，说明它的方向与假设的相反