《理论力学》课程教学资源（讲稿）第十四章 动能定理（14.1）力的功

第十四章动能定理 质系动能定理建立了质系动能的变化 率与作用于质系上的力所作的功之间的关 系,从而揭示了机械运动和其它形式运动 能量传递和转化的规律

第十四章 动能定理 质系动能定理建立了质系动能的变化 率与作用于质系上的力所作的功之间的关 系，从而揭示了机械运动和其它形式运动 能量传递和转化的规律

§14-1力的功 1.力的功的概念 力的功表示力在一段路程上对物体作用的累积 效应它包含力和路程两个因素。 在一无限小位移中 M dr m M,力所做的功称为元功, 以W表示 Mi F OW=F·dr Fcos0 ds= f ds 因F=F计+F计+Fkd=i+y+azk δW可写成直角坐标形式 SW=Fdx+f dy+ Fdz

§14-1 力的功 1．力的功的概念 力的功表示力在一段路程上对物体作用的累积 效应,它包含力和路程两个因素。 在一无限小位移中 力所做的功称为元功， 以δW表示。 Fcosθ ds F ds W d = = τ δ = F ⋅ r 因 F = + F F xi y j + Fzk dr = dxi + dyj + dzk δ W可写成直角坐标形式 W Fxyz δ = dx + + F dy F dz

力在有限路程上的功:力在有限路程上的功为 力在此路程上元功的定积分。 W="F.dr=「 Fcos eds="Fds S 或 (F dx+ f dy+ F dz) 功的单位为焦耳(D,J=1Nm=kg:m为2 合力的功:设作用于质点的合力FR=∑F,则 合力的功 M W R“d ∑F)dr ∑∫ M F·dr=∑ 即作用于质点的合力在某一段路程上所作的功等于 各分力在同一段路程上所作功的代数和

力在有限路程上的功：力在有限路程上的功为 力在此路程上元功的定积分。 W F ds F ds s s s s M ∫M ∫ ∫ = ⋅ = = 2 1 2 1 2 1 d cos 12 θ τ F r 2 1 12 ( ) M xyz M W F = + dx F dy + F dz ∫ 功的单位为焦耳 ( J),1J=1N·m=1kg · m²/s² 。 合力的功：设作用于质点的合力 FR = ∑ Fi, 则 合力的功 M M 或 ∑ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ i M M i M i M W W 2 1 2 1 2 1 d d ( ) d R F r F r F r 即作用于质点的合力在某一段路程上所作的功等于 各分力在同一段路程上所作功的代数和

2.常见力的功 (1)重力的功 ng M2 重力在直角坐标轴上的 z2l 投影为 Fx=0,F2,=0,F2=-mg 重力的功为 M 12 (Fdx+e dy+ F dz) mg=mg(x1-2)=土mgh 重力的功仅与质点运动起止位置的高度差有关, 而与运动轨迹无关

2．常见力的功 （1）重力的功 重力在直角坐标轴上的 投影为 0, 0, F F x y = = Fz = −mg 重力的功为 ( ) 1 2 2 1 mgdz mg z z z z = − = − ∫ = ±mgh 2 1 12 ( ) M x y z M W F = + dx F dy + F dz ∫ 重力的功仅与质点运动起止位置的高度差有关， 而与运动轨迹无关

对于质系,所有质点重力做功之和为 ∑W2=∑mg(=1-=2)=C∑m=1-∑m 由质心巫标公式,有 mz=> m, z 由此可得 >WI2=(mzcI-m=c2)g=mg(=cl-=c2) 即质系重力的功等于质点系的总重量与其重心高 度差之乘积,重心降低为正,重心升高为负。 重力的功与路径无关,仅取决于重心的始末位置

对于质系，所有质点重力做功之和为 W m g z z ( m z m z )g ∑ 12 = ∑ i i1 − i2 = ∑ i i1 − ∑ i i2 ( ) 由质心坐标公式，有 C i i mz = ∑ m z 由此可得 ( ) ( ) 12 C1 C 2 C1 C 2 ∑ W = mz − mz g = mg z − z 即质系重力的功等于质点系的总重量与其重心高 度差之乘积 ,重心降低为正 ,重心升高为负 。 重力的功与路径无关 ,仅取决于重心的始末位置

(2)弹性力的功 设弹簧刚性系数为c,弹簧变形为则弹力为 F=ch 弹性力的功为 2._Fd=<d=7(42-2) 弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及 终了位置的变形量,而与质点的运动路径无关

（2）弹性力的功 设弹簧刚性系数为c，弹簧变形为λ,则弹力为 F = cλ 弹性力的功为 ∫ = −21λλ cλdλ ( ) 2 22 2 = λ1 − λ c ∫ = −21λλ W Fdλ 弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及 终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关

(3)定轴转动刚体上作用力的功 作用于定轴转动刚体上的力 系的元功为 Sw ∑F4d=∑FR F 为A 而 ∑FR=∑m:(F)=M 于是 SW=Mdo 力系在有限转动中的功为 W 12 M de W12=M2(02-01)

（3）定轴转动刚体上作用力的功 作用于定轴转动刚体上的力 系的元功为 δW = ∑ F ⋅ dr 而 ∑ F R = ∑ m z F = M z ( ) τ 于是 δW = M z dϕ = ∑ F ds τ = ∑ FτRdϕ 力系在有限转动中的功为 ∫ = 2 1 12 ϕ ϕ W M z dϕ M z = C ( ) W12 = M z ϕ2 − ϕ1

(4)平面运动刚体上力系的功 oW=Rdr +mdo 其中R为力系的主矢量,MC为力系对质心C的主矩

（4）平面运动刚体上力系的功 δW = R⋅ drC + M C dϕ 其中 R为力系的主矢量， MC为力系对质心 C的主矩

3.质系内力的功 XFA SW= FAdr4 FB drB Ve B FAd(ra-rB) 因r4-B=rBA=BA所以W=-Fd(BA) 上式说明,当质系内质点间的距离可变化时,内 力的元功之和不为零。 如两质点之间的距离不变,例如刚体上或刚性杆 联结的两点,则内力的元功之和为零,因此刚体内力 的功之和恒等于零

3．质系内力的功 FA = −FB A A B B δW = F ⋅ dr + F ⋅ dr A A A B = F ⋅ dr − F ⋅ dr rA − rB = rBA = BA F (r r ) A A − B = ⋅ d W F d(BA) 因 所以 δ = − A 上式说明，当质系内质点间的距离可变化时，内 力的元功之和不为零。 如两质点之间的距离不变，例如刚体上或刚性杆 联结的两点，则内力的元功之和为零，因此刚体内力 的功之和恒等于零

4.理想约束 约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束, 即∑W=0。常见的理想约束有 (1)光滑固定面和辊轴约束 其约束力垂直于作用点的位移,约束力不做功。 (2)光滑铰链或轴承约束 由于约束力的方向恒 与位移的方向垂直,所以 b小 约束力的功为零。 (3)刚性连接的约束 d 这种约束和刚体的内 力一样,其元功之和恒等 dr1 于零。如图c示。 ∠A()

4．理想约束 约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束， 即ΣδW=0。常见的理想约束有: （1）光滑固定面和辊轴约束 其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。 （2）光滑铰链或轴承约束 由于约束力的方向恒 与位移的方向垂直，所以 约束力的功为零。 （3）刚性连接的约束 这种约束和刚体的内 力一样，其元功之和恒等 于零。如图c示