西安交通大学：《量子信息导论》研究生课程教学课件（PPT讲稿）第二讲 量子力学1.0

OUTLINEd.g．量子计算信息的物理本质量子关联分析a.d.1量子纠缠判断a.1信息和概率g.1量子逻辑门d.2非定域性和Be11不等式g.2量子算法a.2信息和熔d.3量子资源a.3经典通信理论b.量子力学1.0量子信息测度e.e.1 vonNeumannb.1QM基本公设（纯态）b.2复合量子系统e.2Trace距离和保真度e.3量子纠缠测度b.3混态和密度矩阵量子力学2.0f.量子测量C.C.1QM基本公设（混态）f.1量子光学器件和探测c.2量子比特f.2广义测量和POVMc.3量子纠缠

OUTLINE a. 信息的物理本质 a.1 信息和概率 a.2 信息和熵 a.3 经典通信理论 b. 量子力学1.0 b.1 QM基本公设（纯态） b.2 复合量子系统 b.3 混态和密度矩阵 c. 量子力学2.0 c.1 QM基本公设（混态） c.2 量子比特 c.3 量子纠缠 d. 量子关联分析 d.1 量子纠缠判断 d.2 非定域性和Bell不等式 d.3 量子资源 e. 量子信息测度 e.1 von Neumann熵 e.2 Trace距离和保真度 e.3 量子纠缠测度 f. 量子测量 f.1 量子光学器件和探测 f.2 广义测量和POVM g. 量子计算 g.1 量子逻辑门 g.2 量子算法

The word'classical' means only one thing in science: it's wrong!J.R.Oppenheimer (as paraphrased by B.R.Frieden in 1991)

The word ‘classical’ means only one thing in science: it’s wrong! ——J. R. Oppenheimer (as paraphrased by B. R. Frieden in 1991)

B.量子力学1.0b.1QM基本公设（纯态）态的线性叠加原理（superpositionprinciple）Hilbert空间中态矢量(右矢))完全刻画物理系统状态，称[)为系统的态。若[i)、[2)是系统的可能的态，则两者的线性叠加|）=α11十a22，a1,a2EC也是系统可能的态。Hilbert空中矢量的口左矢空间0，()=0[)=0;正交性《)=《)=0口归一化《|）=1，[)=|)//);Gram-Schmidt法从任意基(w,i=1,d)构造正交基[Wk+1) -Ek=1 (ui|Wk+1) [vi)[1)=[W1) /l /w1) ,[Uk+1)=I wk+1) -=1 (vi|wk+1) [i) Il

B.量子力学1.0 b.1 QM基本公设（纯态） 态的线性叠加原理（superposition principle） Hilbert空间中态矢量(右矢)|ψ⟩完全刻画物理系统状态，称|ψ⟩ 为系统的态。若|ψ1 ⟩、|ψ2 ⟩是系统 的可能的态，则两者的线性叠加 也是系统可能的态。  左矢空间 Hilbert 空间中矢量的 数学性质  内积 ；任何态的模非负 ； 正交性  归一化 ；Gram–Schmidt 法从任意基{wi |i=1,.,d}构造正交基

Cauchy-SchwarzinequalityA-B≤|A: Bl <u|w)|2≤u|u)(w|w)lan2=1,an=(nl)(b)=an|bn),态的展开T2其中an/2代表通过测量发现系统处于态|山n）的概率Hold your horses! Makingsense forphysics

 Cauchy–Schwarz inequality 态的展开 其中 𝑎𝑛 2 代表通过测量发现系统处于态 ȁ𝜓 ⟩ n 的概率 Hold your horses！Making sense for physics！

算符（operator）Hilbert空间中的算符A可以将系统从－态[)映射为另－个态A[)（通常不再是归一化的）A：[3）—→[")口厄米算符。要求可观测量对应的是厄米算符，即At=A，必然有实数的本征值（观测值）[ (Am|A[An) =m(入m[An)A|n)=入n/入n)=A(入m/At=(m/A=入m(Aml =→ (m -入n)(^m[^n)= 0(△m|A|>n)=入n(\mn)入-n=0,(m=n),real eigenvalues(入m/入n)= 0mn,(m +n), orthogonal basis谱分解（Spectraldecomnosition）定理失量空间V中的任意正规算符例：坐标算符&、动量算符P、哈密顿量H、角动量算符L、自旋算符S=（normaloperator）A可以在V的某2组正交基下对角化A-X(.Pauli矩阵oa=反之，任意可对角化算符部是正规算符。（证明见Nielsen&Chuangp72例：正规算符（厄米许实本征值），满足AA=AA+，可谱分解为对角形式。Box 2.2)

算符（operator） Hilbert 空间中的算符 A෡ 可以将系统从一态|ψ⟩映射为另一个态 A෡ |ψ⟩（通常不再是归一化的）  厄米算符。要求可观测量对应的是厄米算符，即 A෡† = A෡，必然有实数的本征值（观测值） 例：坐标算符 xො、动量算符 pො、哈密顿量 H෡、角动量算符 L෠、自旋算符 S෠ = ℏ 2 𝜎ො 例：正规算符（厄米 iff 实本征值），满足 A෡†A෡ = A෡A෡† ，可谱分解为对角形式。 Pauli 矩阵 谱分解 (Spectral decomposition) 定理 矢量空间 V 中的任意正规算符 （normal operator）A෡可以在V的某 组正交基下对角化 反之，任意可对角化算符都是正规算 符。（证明见Nielsen&Chuang p72 Box 2.2）

例：正定算符（positiveoperator）是一类重要的厄米算符，对任何矢量lu)，满足《ulAlu)>0（若《ulAlu）≥0称此算符为正算符（positiveoperator））。给定任意算符A，AA必然是正算符。即所有本征值为正数例：投影算符（projector）是另一类重要的厄米算符。设W是d维矢量空间V的一个k维子空间，利用Gram-Schmidt方法分别构造空间V的正交基底|1)，..，d）和空间W的正交基底|1)，...，k)，可以定义投影算符P=li)(il =→ p2=P and eigenvalues 0, 1将任意失量投影至子空间W。是厄米算符Pt=P，其补Q=I-P的作用是投影至|k+1)，...,d)张成的子空间。若【入）是厄米算符的正交完备基，则算符可以用投影算符展开注：任意算符均可表示为A=B+iC，其中B和C是厄米算符。Pn=An)(AnlA=AnPni=P口完备关系。令li）为矢量空间V的一组正交基，于是任意量可展开为[u)=vili），Ui=（ilu)ECli)(i) u)=li)(il0)=uili)=[u)→Zli)(il = I(completenessrelation)

例：正定算符（positive operator）是一类重要的厄米算符，对任何矢量ȁ𝑣⟩，满足 （若 称此算符为正算符（positive operator））。给定任意算符A෡， A෡†A෡ 必然是正算符。 注：任意算符均可表示为 ，其中B෡ 和C෠ 是厄米算符。 例：投影算符（projector）是另一类重要的厄米算符。设 W 是 d 维矢量空间 V 的一个 k 维子空间，利用Gram –Schmidt 方法分别构造空间 V 的正交基底 和空间 W 的正交基底 ， 可以定义投影算符 将任意矢量投影至子空间W。是厄米算符P෡† = P෡，其补Q෡ = መ𝐼 − 𝑃෠ 的作用是投影至 张成的子空间。  完备关系。令ȁ𝑖⟩ 为矢量空间 V 的一组正交基，于是任意矢量可展开为 （completeness relation） 若 是厄米算符的正交完备基， 则算符可以用投影算符展开 即所有本征值为正数

口幺正算符即+0=00+=1幺正算符是正规算符么正算符定义是双边的。命题5任意久正算符均可表示为U=exp（i），其中c是爬米算符例如谐振子升降算符proofE-21m)n+1ln=0U=A+iB[A,B]=0&A2+B2=iA=COsCUtU=A2+B2+iA,B=1Bt-Z/n+1)(nlLut=A-iB00t=A2+B2-[AB]-1B=sinCn=0Q.E.D显然只单边符合定义t) → 0(t)3b(0))=[30(t)例：U(t) = exp (EEt-1=0)(0》本征值：幺正算符的本征值可以写为eio，（θER）因此不是幺正算符。幺正算符幺正变换0-E[bn) (an/ = U [am)=[bn) (an[am) =[6n) 8nm = [6m)A[an) = an [an)0(am)=[bm)(bn/A[6m)=(bn0)0tA0(0bm))=(an0tA0|am)=UAUt[bn)=an[bn)B[bn) = bn [bn)

 幺正算符 即 U෡†U෡ = U෡U෡† = 1 幺正算符是正规算符 幺正算符定义是双边的。 例如谐振子升降算符 显然只单边符合定义 因此不是幺正算符。 命题5：任意幺正算符均可表示为 ，其中𝐶መ是厄米算符 proof Q.E.D 例： ➢ 本征值：幺正算符的本征值可以写为 𝑒 i𝜃，（𝜃 ∈ ℝ） ➢ 幺正算符 ⇨ 幺正变换

口张量积m维线性空间v的基底(li)[i=1,.,m)，n维线性空间W的基底(li)lj=1,.,n)，张量积空间vW是m×n维，基底为（li)=li)li)i=1,.,m；j=1,,n)。算符A作用于空间V，算符B作用于空间W，则复合空间上的算符作为VWVW2u) @ [w) = (AB)(u) 8 [w) = (A0) (B(w)例：复合Hilbert空间H=HiH2。矩阵张量积矩阵张量积AB的定义基矢 [lbmn, bm)= |bn)[bm)n=1,..m=1,..，dimH= (dimH1) (dimH2)aiBa12BaINB任意态1b)=cnmlbn,bm)，CnmECQ21Ba22Ba2NB：:aNiBaN2BaNNB?: Hi@H2→H1@H2,A: H1→H1,B: H2→H2算符类似地有失量的张量积。例如[3bn,3m)→2[3bn,m)=(A[3bn))(B[3bm)aib1aib2a2bi)，[1)=[ +)=(例：二元体系。单粒子自旋≥分量S，的本征态记为10)=1个)=a2b2双粒子系统的自旋本征态构成4维Hilbert空间的基底，有张量积形式0(0)00100[11) =[4)=[00)=[个个)三[01) 三[↑4) =[10)= |+↑) =00010010

 张量积 例：二元体系。单粒子自旋 z 分量𝑆መ 𝑧 的本征态记为 ， 双粒子系统的自旋本征态构成4维Hilbert空间的基底，有张量积形式 例：复合Hilbert空间 。 m 维线性空间V的基底 ȁ𝑖⟩ ȁ 𝑖 = 1, . , 𝑚 ，n 维线性空间W的基底 ȁ𝑗⟩ ȁ 𝑗 = 1, . , 𝑛 ，张量积空间𝑉⨂𝑊是 𝑚 × 𝑛 维，基底为 ห𝑖𝑗⟩ ≡ ȁ𝑖⟩⨂ȁ𝑗⟩ ȁ 𝑖 = 1, . , 𝑚; 𝑗 = 1, . , 𝑛 。算符A෡作用于空间V，算符B෡作用于空间W，则复合空间 上的算符作用为 ， 基矢 任意态 算符 矩阵张量积 矩阵张量积𝐴 ⊗ 𝐵 的定义 类似地有矢量的张量积。例如

口算符的函数厄米算符A的函数f(A)定义为谱分解为对角形式f(A) = Ef (an) An) (An/ - if(0) + Af(0) + A2 "(0)2!n!Q2Qexp(αA) =I+αA -对非厄米算符也成立2!n!exp(-iC)A exp(iC) = A - i[C, A] - [(C,[C, Al] + [C,[C,[C, AlI + tr(ABC) = tr(BCA)= tr(CAB), det (e4) = etr(A) , tr(Aβ B)= tr(A)tr(B), [tr(AB)*= tr[BtAt)重要的儿命题6：Pauli矩阵函数女(n)=expia(n·o))=Icosa+i(n·α)sina何意义(a.α)(b.) = (a.b)I+i(axb).onr-inynzEnoi=proofn.g=(n.)2=Ina+iny-nz[n| = 1i=a,y,z(ia)2(ia)nexp [ia(n ·0)] =I+ (ia)(n .0)2!n!Q5Q3a2a4=Icos a + i(n:o) sina Q.E.D= I(1inga十4!5!2!3!

谱分解为对角形式  算符的函数 厄米算符𝐴መ 的函数 𝑓(𝐴መ) 定义为 对非厄米算符也成立 proof Q.E.D 命题6：Pauli矩阵函数 重要的几 何意义

群的概念注：转动和幺正群所有幺正（变换）n×n矩阵构成一个群U（n）群G是定义了某种“乘法”规则的集合（a,b.c.），满足进一步要求矩阵行列式为1，关注(specialunitary）子群SU(n)，群元素U=eiH其1.封闭性：若a,bEG，则c=abEG中H是n×n无迹的厄米矩阵【1=detU=eitr(H)trH=d2. 结合性:a(bc)=(ab)cSU (2)3.单位元：对每一个aEG，存在(1). =(° ), 0=()=群元e，满足ea=ae=acos oisin号U=ei0-0/21024.逆元：对每一个aEG，存在群isincOs2za-iyH-rdet H = det H元a，满足aal=aa=ecos3a+iy-2sinUy=eioyb/2业2-sincOs=2+2+22=/2+y2+222H→H'-UHUe0U,=e10:0/2T'=RTe-0RTR=I1001Rr=eiJe0COS Φsin@U=eige/2R=eJe(UR)0-singcosd000cosbsinRy=eiJy0100SO (3)sincOs3维转动群（specialorthogonal)cOsGsing0JR=eiJ.ocos00sin代数生成元[ox,y,oz]、(xJy,Jz]，满足001[0x/2,0%/2]=ioz/2、VxJ]=iz

注：转动和幺正群 ⇨ 所有幺正（变换）𝑛 × 𝑛 矩阵构成一个群 U(n) 群的概念 群G是定义了某种“乘法”规则 的集合 (a, b, c, .)，满足 1.封闭性: 若a,b∈G，则c=ab∈G 2. 结合性: a(bc)=(ab)c 3. 单位元: 对每一个a∈G，存在 群元 e，满足ea = ae = a 4. 逆元: 对每一个a∈G，存在群 元 a −1，满足aa−1 = a−1a = e 进一步要求矩阵行列式为1，关注 (special unitary) 子群 SU(n)，群元素 ，其 中 H 是𝑛 × 𝑛 无迹的厄米矩阵 【 】 SU (2) SO (3) 3维转动群(special orthogonal) 代数生成元{𝜎𝑥, 𝜎𝑦,𝜎𝑧 }、 𝐽𝑥,𝐽𝑦,𝐽𝑧 ，满足 𝜎𝑥/2,𝜎𝑦/2 = 𝑖𝜎𝑧/2、 𝐽𝑥,𝐽𝑦 = 𝑖𝐽𝑧