《固体物理导论》课程教学资源（课件讲稿）第三章 晶体振动和晶体的热学性质 第二节 能量量子化、声子 第三节 晶体的比热

第二节 能量量子化、声子本节主要内容：3.2.1晶格振动模式及声子概念3.2.2声子的性质

第二节 能量量子化、声子 3.2.1 晶格振动模式及声子概念 本节主要内容: 3.2.2 声子的性质

3.2.1晶格振动模式及声子的基本概念1.振动模式（振动状态）晶格振动是晶体中所有原子（离子）集体在作振动，表现为晶体中的格波一般情况，格波不一定是简谐波，但可以展开为简谐平面波的叠加。当振动微弱时，即简谐近似下，格波直接就是简谐波。格波之间的相互作用可以忽略，可以认为格波之间的存在相互独立，称为独立的模式。每一个独立的模式对应一个振动态(q)。周期性边界条件（波恩卡门条件）又使得独立的振动态的波失、频率及能量是一系列分立值。一个振动模式由の，9，偏振态来决定，表征晶格整体的振动状态。偏振状态包括纵光学振动模式(LO)、横光学振动模式(TO)、纵声学振动模式(LA)、横声学振动模式(TA)。O:optic光学的L:longitude波的振动方向平行于波的传播方向：纵波A：acoustic声学的T:transverse波的振动方向垂直于波的传播方向：横波

晶格振动是晶体中所有原子（离子）集体在作振动，表现为晶体中的格波。 一般情况，格波不一定是简谐波，但可以展开为简谐平面波的叠加。 当振动微弱时，即简谐近似下，格波直接就是简谐波。 格波之间的相互作用可以忽略，可以认为格波之间的存在相互独立，称 为独立的模式。每一个独立的模式对应一个振动态(q)。 周期性边界条件（波恩卡门条件）又使得独立的振动态的波矢、频率及 能量是一系列分立值。 一个振动模式由 , q, 偏振态来决定，表征晶格整体的振动状态。 偏振状态包括纵光学振动模式(LO) 、横光学振动模式(TO)、纵声学振 动模式(LA)、横声学振动模式(TA)。 L:longitude 波的振动方向平行于波的传播方向：纵波 T:transverse 波的振动方向垂直于波的传播方向：横波 3.2.1 晶格振动模式及声子的基本概念 O: optic 光学的 A: acoustic 声学的 1. 振动模式（振动状态）

(b)(a)1D-case (chain)3D-case(cubiccrystal)OmaxranTT20000元/a元/a-元/a-元/aWavevectorqWavevectorq(a)一维单原子链(b)三维简单晶格的色散关系一维单原子链只有一支LA。三维简单晶格，共有3支色散关系，其中1支LA，2支TA三维双原子晶格，共有6支色散关系，其中3N个声学模式，3N个光学模式。一般情况，假设三维晶体包含N个原胞，每个原胞内有p个原子，则总共有3p支色散关系，3支声学波，3p-3支光学波，共3pN个可能振动频率

(a)一维单原子链 (b)三维简单晶格的色散关系 一维单原子链只有一支LA。 三维简单晶格，共有3 支色散关系，其中1 支LA，2 支TA 三维双原子晶格，共有6 支色散关系，其中3N 个声学模式，3N 个光学模 式。 一般情况，假设三维晶体包含N个原胞，每个原胞内有p个原子，则总共 有3p支色散关系，3支声学波，3p-3支光学波，共3pN个可能振动频率

rLMrA4rxR KF2sLOTOTO15.0X.125-DTOLO0TO出 12.5LOx1oegool[q00][qqq]1i[0qq]9LAA9Couear TA07.5LAe2LATATA5.0&0OXOTA62.5a00.20.40.60.81.01.00.80.60.40.2000.10.20.30.40.5Reduced (dimensionless)wavevectorqSi的色散关系曲线晶体结构对称性可能往往导致色散关系重合，称为简并

Si的色散关系曲线 晶体结构对称性可能往往导致色散关系重合，称为简并

2.声子晶格振动的能量量子格波独立而又分立的振动状态可以用独立简谐振子的振动来描述。据量子力学，对于一个角频率为の的振动模式（谐振子），当它被激发到量子数为n的状态时，该振动状态的能量为：E = (n+2)ha(n=0,1,2,3...)n对应振动能级，=h表示零点振动能量晶格振动的能量是以亢W为单位量子化的，通常把这个能量量子称为声子。格波（晶格振动）的能量量子一一声子

2. 声子 晶格振动的能量量子 据量子力学，对于一个角频率为的振动模式（谐振子），当它被激发到 量子数为n的状态时，该振动状态的能量为： 格波独立而又分立的振动状态可以用独立简谐振子的振动来描述。 n对应振动能级， 表示零点振动能量 (n=0,1,2,3.) 晶格振动的能量是以 为单位量子化的，通常把这个能量量子称为声子。 格波(晶格振动)的能量量子——声子

3.2.2声子的性质1.关于声子的几点说明1)声子是晶格振动的能量量子，其能量为hの，为一种“准粒子”，“准动量”为q。声子不是真实的粒子，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后就没有意义了。2)一个格波/一种振动模式，称为一种声子(一个（の，9)就是一种声子)，当这种振动模式处于(n+)hw本征态时，称为有n个声子，n为这种声子的声子数

3.2.2 声子的性质 声子不是真实的粒子，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。 声子只存在于晶体中，脱离晶体后就没有意义了。 1)声子是晶格振动的能量量子，其能量为 ，为一种“准粒子”，“准 动量”为 。  q 2) 一个格波/一种振动模式，称为一种声子(一个(，q)就是一种声子)，当 这种振动模式处于 本征态时，称为有n个声子，n为这种声子的 声子数。 1.关于声子的几点说明

3)由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻色型的准粒子，1遵循玻色统计。平均声子数n=haekgT _ 1表征频率为の的格波在温度为T时可以激发的声子数目，大小定量地表示出一个格波被激发的程度。T=0，n(の,T)=0，没有任何声子产生，也就没有任何格波激发。当声子能量hの=k.T时，π~0.6，认为格波已被激发，即温度为T时，只有ho≤kT的格波才被激发。4)当电子(或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以hの为单位，若电子从晶格获得hの能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格hの能量，称为发射一个声子。在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互作用。非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态

3) 由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻色型的准粒子， 遵循玻色统计。平均声子数 表征频率为的格波在温度为T时可以激发的声子数目，大小定量地表示 出一个格波被激发的程度。T = 0， ，没有任何声子产生，也 就没有任何格波激发。当声子能量h=kBT时， 0.6，认为格波已被激 发，即温度为T时，只有hkBT的格波才被激发。 4) 当电子(或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以 为单位，若电 子从晶格获得 能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格 能量，称 为发射一个声子。    在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互作用。 非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种非简谐作用保证了声 子气体能够达到热平衡状态

2.声子与光子的相似性及区别1）光子和声子都与场相关，光子是电磁场，声子是弹性力场；2)光子在真空和介质中均可存在，声子只能在晶体内部存在；3）光子的色散关系是线性的の=cq，声子的色散关系并非线性，只有当波矢非常小时，声学支的色散关系接近于线性；4)光子和声子的能量都是量子化的，可表达为5)光子和声子均为玻色子，遵循玻色一爱因斯坦统计规律，粒子数不守恒

2.声子与光子的相似性及区别 1) 光子和声子都与场相关，光子是电磁场，声子是弹性力场； 2) 光子在真空和介质中均可存在，声子只能在晶体内部存在； 3) 光子的色散关系是线性的=cq，声子的色散关系并非线性， 只有当波矢非常小时，声学支的色散关系接近于线性； 5)光子和声子均为玻色子，遵循玻色—爱因斯坦统计规律， 粒子数不守恒。 4) 光子和声子的能量都是量子化的，可表达为

第三节晶体的比热本节主要内容：3.3.1经典热容理论3.3.2热容的量子理论3.3.3模式密度的求法3.3.4爱因斯坦模型3.3.5德拜模型

第三节 晶体的比热 3.3.1 经典热容理论 本节主要内容： 3.3.2 热容的量子理论 3.3.3 模式密度的求法 3.3.4 爱因斯坦模型 3.3.5 德拜模型

3.3.1晶体比热的一般理论(a）热力学定容比热当温度发生变化时固体储存的内能将发生变化，其内能随温度变化快慢就是比热。通常用定容比热来进行描述，即，在体积不变的条件下，固体内能随温度变化的快慢：aECy=atE---晶体的平均内能Cy = CV+ Ce晶体电子比热晶格振动比热温度不太低时，C<<CV，本节只讨论晶格振动比热

(a)热力学定容比热 3.3.1 晶体比热的一般理论 Ē-晶体的平均内能 晶格振动比热 晶体电子比热 a CV  CV e 温度不太低时， ，本节只讨论晶格振动比热。 当温度发生变化时固体储存的内能将发生变化，其内能随温度变化快慢 就是比热。通常用定容比热来进行描述，即，在体积不变的条件下， 固体内能随温度变化的快慢：