《固体物理导论》课程教学资源（课件讲稿）第一章 晶体结构及X射线衍射 第三节 晶列和晶面的表示 第四节 倒格子

第三节晶列和晶面的表示1．晶列及特点通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列晶列的特点：(1)晶列上格点分布是周期性的;(2)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点；(3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等；(5)过一格点可以有无数晶列

1. 晶列及特点 通过晶格中任意两个格点连 一条直线称为晶列 第三节 晶列和晶面的表示 晶列的特点： (1)晶列上格点分布是周期性的； (2)平行晶列组成晶列族，晶列族 包含所有的格点； (3)晶列族中的每一晶列上，格点 分布都是相同的； (4)在同一平面内，相邻晶列间的 距离相等； (5)过一格点可以有无数晶列

2.晶向及晶向指数晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数（或晶列指数）。（1）用固体物理学原胞基矢表示：晶格中其他任意格点A的位失为：RR= liai +la2 +lsa30ai,az,a3为固体物理学原胞基矢其中12.13整数，将1,12,13互质的整数1,1,13可用来表征晶列OA方向，记为[I,l]，称为晶向指数如遇到负数，将该数的上面加一横线。如[121]表示[,=1,l,=-2,l;-1

晶格中其他任意格点A的位矢为： 如[121]表示l1 =1,l2 =-2,l3 =1 如遇到负数，将该数的上面加一横线。 其中 为整数，将 化为互质的整数 l1 ,l2 ,l3 ,可用来表征晶 列OA方向，记为[l1 l2 l3 ]，称为晶向指数。 晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为 晶向指数(或晶列指数)。 2.晶向及晶向指数 (1)用固体物理学原胞基矢表示: A O a2 a3 a1 为固体物理学原胞基矢

(2)以结晶学原胞基矢表示R晶格中其他任意格点A的位矢为：CbAR=m'a+n'b+p'caa,b,c.为结晶学原胞基矢m'n'p'记为质的整数其中mnp有理数,将m,n,p,[mnp]，即为OA晶列的晶向指数晶列的指数总是三个互质的整数

(2)以结晶学原胞基矢表示 晶格中其他任意格点A的位矢为： A O 晶列的指数总是三个互质的整数 为结晶学原胞基矢 其中 为有理数,将 化为互质的整数 m,n,p, 记为 [mnp]，即为OA晶列的晶向指数

例1：如图在立方体中,a=i,b=i,c=kFED是BC的中点，求BE，AD的晶列指数AOB=i. OE=i+j+k解:CcBE=OE-OB=i+k5D晶列BE的晶列指数为:[011]0t=B求AD的晶列指数。OA-k, OD=i+Ij2AD-OD-OA-i+Ij-k2AD的晶列指数为：[212]

例1：如图在立方体中， D是BC的中点，求BE, AD的晶列指数。 a = i,b = j,c = k OB = i, OE = i + j + k, BE = OE − OB = j + k 解： 晶列BE的晶列指数为：[011] a b c O A B C D E 求AD的晶列指数。 OA = k , OD i j, 2 1 = + AD = OD −OA = i + j − k 2 1 AD的晶列指数为: [212] F

注意：晶列(11-1)(1)晶列指数一定是一组互质的整数；晶列XI-1]1;(2)晶列指数用方括号表示[晶列(11)(3)遇到负数在该数上方加一横线；晶列[111]1(4)等效晶向。[001]在立方体中有，沿立方边的晶列[010]一共有6个不同的晶向，由于晶格的对称性，这6个晶向并没有什么[100][100]区别，晶体在这些方向上的性质是完全相同的，统称这些方向为等效晶向，写成。[010][001]

注意: (1)晶列指数一定是一组互质的整数； (2)晶列指数用方括号表示[ ]； (3)遇到负数在该数上方加一横线； 晶列(11-1) 晶列[11-1] 晶列(111) 晶列[111]  (4)等效晶向。 在立方体中有，沿立方边的晶列 一共有6个不同的晶向，由于晶格 的对称性，这6个晶向并没有什么 区别，晶体在这些方向上的性质 是完全相同的，统称这些方向为 等效晶向，写成。 [100] [001] [010] [100] [010] [001]

3.晶面及密勒指数在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数晶面的特点：（1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点(2)晶面上格点分布具有周期性：(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布（情况)相同；(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等晶面指数晶面的法线方向（法线方向与三个坐标轴夹角）晶面方位晶面在三个坐标轴上的截距

(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。 (2)晶面上格点分布具有周期性； 晶面指数 晶面方位 晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角) 晶面在三个坐标轴上的截距 3. 晶面及密勒指数 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称 为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。 晶面的特点：

(1)以固体物理学原胞基矢表示A如图取一格点为顶点，原胞的三个基Lud矢al,az为坐标系的三个轴，设某一晶Aa面与三个坐标轴分别交A,A2A3A100设晶面的法线ON交晶面A,A,A,于N，ON长度为ud,d为该晶面的面间距，u为整数,该晶面法线方向的单位矢量用n表示，X为晶面上任意的位矢，则晶面A,A,A,的晶面方程为：x.n = μ d

如图取一格点为顶点，原胞的三个基 矢 为坐标系的三个轴，设某一晶 面与三个坐标轴分别交A1A2A3 a1 ,a2 ,a3 X  n =  d A2 A3 O a2 a3 a1 A1 d N (1)以固体物理学原胞基矢表示 设晶面的法线ON交晶面A1A2A3于N，ON长度为μd, d为该晶 面的面间距, μ为整数,该晶面法线方向的单位矢量用 n 表示, X为晶面上任意的位矢，则晶面A1A2A3的晶面方程为：

X.n=μd设0Ai =ra1.0Az = sa2,0A3 =ta3ra,cos(ai,n)= μdrain=μdANsaz·n=udsazcos(a2,n)= u dtasn=udta,cos(a3,n)= μudLO034取a,为自然长度单位，则得：A10cos(a1,n): cos(a2,n): cos(as,n)=等于晶面的法线方向与三个坐标轴（基失）的夹角的余弦之比晶面在三个轴上的截距的倒数之比

( ) ( ) t a (a ,n) d s a a ,n d r a a ,n d    = = = 3 3 2 2 1 1 cos cos cos 取 1 2 为自然长度单位，则得： 3 a ,a ,a X  n =  d 设OA1 = ra1 ,OA2 = sa2 ,OA3 = ta3 ta n d sa n d ra n d     =  =  = 3 2 1 ( ) ( ) ( ) r s t a n a n a n 1 : 1 : 1 cos 1 , : cos 2 , : cos 3 , = 晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢)的夹角的余弦之比，等于 晶面在三个轴上的截距的倒数之比。 A2 A3 O a2 a3 a1 A1 N d

cos(a1,n): cos(a2,n): cos(as,n)- 1:1:1可以证明：r,s,t必是一组有理数阿羽依的有理数定律，设ai,a的末端上的格点分别在距离原点距离hd、hzd、h3d的晶面上，这里h/、hz、h，为整数（1）所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必有一个l末端上的格点也一定落在在基失晶面通过坐标系的原点；该晶面族的晶面上；（2）同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等，故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面

可以证明：r,s,t必是一组有理数——阿羽依的有理数定律。 ( ) ( ) ( ) r s t a n a n a n 1 : 1 : 1 cos 1 , : cos 2 , : cos 3 , = 设 的末端上的格点分别在距离原点距离h1d、h2d、h3d的晶 面上，这里 h1、h2、h3为整数。 a 1 , a 2 , a 3 (2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原点与 基矢的末端间一定只有整数个晶面。 (1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必有一个 晶面通过坐标系的原点；在基矢 末端上的格点也一定落在 该晶面族的晶面上； a 1 , a 2 , a 3

X.n=μd?Na, cosai,nai·n=hda, cos(az,n)= h,da·n=Ah.da, cos(a3,n三a3·n=h,dA10取ai,a为自然长度单位得：cos(a,n): cos(a,,n): cos(a,,n)= h, : h, : h晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比又 cos(a,n): cos(a,,n): cos(a,,n)= =h,:h,:h

a n h d a n h d a n h d 3 3 2 2 1 1  =  =  = 取 1 2 为自然长度单位得： a3 a ,a , ( ) ( ) a (a n) h d a a n h d a a n h d 3 3 3 2 2 2 1 1 1 cos , cos , cos , = = = ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 cos a ,n : cos a ,n : cos a ,n = h : h : h ( ) ( ) ( ) r s t a n a n a n 1 : 1 : 1 cos , : cos , : cos , 又 1 2 3 = 晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。 X  n =  d A2 A3 O a2 a3 a1 A1 N d r s t h h h 1 : 1 : 1 : : 1 2 3 =