西安交通大学：《量子信息导论》研究生课程教学课件（PPT讲稿）第三讲 量子力学2.0

OUTLINEd.g．量子计算信息的物理本质量子关联分析a.d.1量子纠缠判断a.1信息和概率g.1量子逻辑门d.2非定域性和Be11不等式g.2量子算法a.2信息和熔d.3量子资源a.3经典通信理论量子力学1.0量子信息测度b.e.e.1 vonNeumannb.1QM基本公设（纯态）b.2复合量子系统e.2Trace距离和保真度e.3量子纠缠测度b.3混态和密度矩阵量子力学2.0f.量子测量C.C.1QM基本公设（混态）f.1量子光学器件和探测c.2 量子比特f.2广义测量和POVMc.3量子纠缠

OUTLINE a. 信息的物理本质 a.1 信息和概率 a.2 信息和熵 a.3 经典通信理论 b. 量子力学1.0 b.1 QM基本公设（纯态） b.2 复合量子系统 b.3 混态和密度矩阵 c. 量子力学2.0 c.1 QM基本公设（混态） c.2 量子比特 c.3 量子纠缠 d. 量子关联分析 d.1 量子纠缠判断 d.2 非定域性和Bell不等式 d.3 量子资源 e. 量子信息测度 e.1 von Neumann熵 e.2 Trace距离和保真度 e.3 量子纠缠测度 f. 量子测量 f.1 量子光学器件和探测 f.2 广义测量和POVM g. 量子计算 g.1 量子逻辑门 g.2 量子算法

C.量子力学2.0c.1QM基本公设（混态）口MathFramework.在t时刻，量子系统的瞬时态用密度矩阵p(t)ERa描写。op(t)i[H,p(t)]口UnitaryTimeEvolution.封闭（closed）量子系统随时间演化由vonNeumann方程at方决定。引入幺正算符U(t)，vonNeumann方程的解可以写作p(t)=U(t)p(O)ut(t)口Observables.（和纯态一样）观测量是系统的可观测性质（如粒子的能量、动量等），用厄米算符At=A表示。测量得到的值总是A的本征值入m（:A|入n）=入n/入n））

C.量子力学2.0 c.1 QM基本公设（混态）  Observables.(和纯态一样) 观测量是系统的可观测性质(如粒子的能量、动量等)，用厄米算符 A෡† = A෡ 表示。 测量得到的值总是 A෡ 的本征值𝜆𝑛（∵ ）。  Math Framework.在 t 时刻，量子系统的瞬时态用密度矩阵 描写。  Unitary Time Evolution. 封闭（closed）量子系统随时间演化由 von Neumann 方程 决定。引入幺正算符𝑈෡(𝑡)，von Neumann 方程的解可以写作

M Collapse of Density Matrix.设 A-入mPm是本征值为入m的观测量，Pm=入m）<入ml是正交投影算符mN对给定量子态的系综=pnln）<nl测量力学量A，得到的新量子态的系综为n=lMp'=ZPmpPm(unconditionalpost-measurementstate)m=1对应特定的测量结果入，测量后得到的新密度矩阵为PpPpr:(post-measurement state conditioned on measurement result A,)tr(P)Pm lbn)Proof注意到系综β中每一个态|山），在测量力学量A后变为（见纯态情形）对应的概率是/(0n|Pmlbn)pm=<nlPmln）于是，整个系综在测量后变为NNM特定的测量结果Pml0n)(bnlPmMEromlEPnDp=Epnpn/bn)<nlm-《bn|Pm|bn)<n|Pm|bn)Q.E.D

 Collapse of Density Matrix. 设 是本征值为 𝜆𝑚的观测量， 是正交投影算符 对给定量子态的系综 测量力学量 A෡ ，得到的新量子态的系综为 对应特定的测量结果 𝜆𝑙 ，测量后得到的新密度矩阵为 Proof 注意到系综 𝜌ො 中每一个态|ψn ⟩，在测量力学量 A෡ 后变为（见纯态情形） ，对应的概率是 特定的测量结果 Q.E.D. 于是，整个系综在测量后变为

口Born'sRule.对给定系综p测量得到结果入,的概率为P =tr(pPNpn12bn）<nl，对每一个n）测量得到的概率为<m）Proof系综p=n=l所以对整个系综，测量得到入的概率为P=Epn(unAlbn)=tr(pp)Q.E.D

 Born’s Rule.对给定系综𝜌ො 测量得到结果 𝜆𝑙 的概率为 Proof 系综 ，对每一个ȁ𝜓 ⟩ 𝑛 测量得到 𝜆𝑙 的概率为 。 所以对整个系综 ，测量得到 𝜆𝑙 的概率为 Q.E.D

对纠缠纯态的部分子空间进行测量，从纯态到混态：约化密度矩阵（reduceddensitymatrix）会得到约化的混态Tro(lb)(bl)>两体量子态称为可分离的（separable)若满足-Trb(aman/m)8(om)(onl(Anl[3) = [) α [0)2,7EEaman/Am）8(0glom)(Am/8(on/0a)否则便是纠缠态（entangledstate），可以写作gm,nElanAn)(Am=Pa13b) =an [An) @ (0n)更一般的形式npa-E6(om lPabl pm)6=Tro(pab)若算符A只作用在第一空间上，则其期望值为(A) = (/Alb)-Zaman(om/(Am Ai an) [on)=aman (0mlon)(Am/AIAn2lanP (An/AIAn) = Tra [Apa约化密度矩阵Pa=lan”[An)《Anl(A) = Tr(A i)(l) =E(m (n(A1|b)(01)In)| m)= Tra [A Tr(l)(l)m

从纯态到混态：约化密度矩阵（reduced density matrix） ➢ 两体量子态称为可分离的(separable)若满足 否则便是纠缠态（entangled state），可以写作 ➢ 若算符 𝐴መ 只作用在第一空间上，则其期望值为 约化密度矩阵 对纠缠纯态的部分子空间进行测量， 会得到约化的混态 更一般的形式

例：约化密度矩阵a0oa01a02a03TrTaooa03ao1a02a10a11a13a12Tr2a10a11a12a13a/20a22a21a23a20a21a22a.23TrTra32a30a31a33a30a31a32a33aoo+a11a02+a13a20+a31a22+a33

例：约化密度矩阵

从混态到纯态：纯化（purification）通过将主量子系统和一辅助量子系统纠缠起来，可以将主量子系统的混态用整体纠缠系统的纯态表示。这种方法称为纯化（purification）。①将主量子系统的密度矩阵利用其本征值和本征态写成对角形式。于是算符A的期望值是(A)=pm<pm/Alpm)②引入辅助量子系统（ancillarysystem），使之和主量子系统纠缠起来[2b)=pm/pm)pm)(A)=(blA1l2b)=EEVpmPn(pmlAlpn)<pmlipnmm在添加了辅助态，原先的密度矩阵被纯化成1女）例如，纠缠态10)=Vpmei0mpm）[入m)测量算符A的期望值在纯化操作下是不变的1也可以具有和原先密度矩阵p=pmlpm）<pml相同的统计性质纯化形式并不惟一

从混态到纯态：纯化（purification） 通过将主量子系统和一辅助量子系统纠缠起来，可以将主量子系统的混态用整体纠缠系统的纯态表示。这 种方法称为纯化（purification）。 ① 将主量子系统的密度矩阵利用其本征值和本征态写成对角形式。于是算符𝐴መ 的期望值是 ②引入辅助量子系统（ancillary system），使之和主量子系统纠缠起来 ⚫ 在添加了辅助态，原先的密度矩阵被纯化成 |ψ⟩ ⚫ 测量算符 𝐴መ 的期望值在纯化操作下是不变的 ⚫ 纯化形式并不惟一 例如，纠缠态 也可以具有和原先密度矩阵 相同的统计性质

C.量子力学2.0c.2量子比特口经典比特（classicalbits）是物理系统取两种不同的状态：BitQubitvS01=10)= [0)一口量子比特（quantumbits）是具有两个正交量子态的量子系统，于是量子比特可以用正交态任意线性叠加出来：=[1)=[1)Co|0) + Ci/1),(Co, C1 E C)=?=C,l0) +C,/1)1qubit=无穷多经典比特信息！0b =ao[0) +a1/1)1=

C.量子力学2.0 c.2 量子比特  经典比特（classical bits）是物理系统取两种不同的状态:  量子比特（quantum bits）是具有两个正交量子态的量子 系统，于是量子比特可以用正交态任意线性叠加出来: 0 1 1 qubit = 无穷多经典比特信息！

±[0)ely口可以将量子比特（纯态）表示成Bloch球面上的点[0) + [1)V2球面上的点代表纯态[0) + [1)球直径两端的对拓点代表互相正交的一组态V2/1)H≥任意单量子比特态可以写为=COS0)+661y)=cos=10)+elsing11)口量子比特（纯态）的幺正变换【元0)=[1)6,0)=1)Bitflip Y-gate:Bit flip+phase tiX- gate:0元|1)=[0)（|1)=-0)Quantumcomputation【0)=+0)[initial)Z-gate:Phaseflip (phase+l)00,/1) =-[1)任意作用在单量子比特态上的幺正算符为U = expi(ai + βr .o)= eia(cos βi+isin β r .0)UMα=0绕r轴转2β角度040 = exp(0.) exp(0%)exp (0:大[target)绕x、y、=轴分别转v、μ、入角度（Euler角）

 可以将量子比特（纯态）表示成 Bloch 球面上的点 ➢ 球面上的点代表纯态 ➢ 球直径两端的对拓点代表互相正交的一组态 ➢ 任意单量子比特态可以写为 ➢ 任意作用在单量子比特态上的幺正算符为 绕 r 轴转2𝛽角度 绕 x、y、z 轴分别转𝜈、𝜇、𝜆角度（Euler角） 𝛼=0 𝑼෡ 𝟏 𝑼෡ 𝟐 𝑼෡ 𝟑 𝑼෡ 𝟒 ȁinitial⟩ ȁtarget⟩ Quantum computation  量子比特（纯态）的幺正变换 Bit flip Bit flip+phase ±i Phase flip (phase ±1)

口可以将量子比特（混态）表示成Bloch球内的点(i+o+o+o,保证tr(p)= 1u2+2+w2=1u,,wER①厄米性纯态，是算符uo+ou+woz本征值为1的本征态u? +? +w2<1②p是正算符2+2+w2<1混态，落在Bloch球内(00)wo)Proof对角化密度矩阵)p=[1+(u2+2+)/] 10+) (p+1+[1-(u2 + 2 + w2)/] 1e- (--ifu?+?+w?=1,thenp=[p+p+lwi)Q.E.D.101)

 可以将量子比特（混态）表示成 Bloch 球内的点 保证 𝑡𝑟 𝜌ො = 1 ① 厄米性 ② 𝜌ො 是正算符 纯态，是算符 本征值为1的本征态 混态，落在Bloch球内 Proof 对角化密度矩阵 Q.E.D