《固体物理导论》课程教学资源（课件讲稿）第四章 金属自由电子费米气体

第四章金属自由电子费米气体第一节金属自由电子的物理模型第二节自由电子气体的费米参数第三节自由电子气体的热学性质第四节电导率和欧姆定律

第四章 金属自由电子费米气体 第一节 金属自由电子的物理模型 第三节 自由电子气体的热学性质 第四节 电导率和欧姆定律 第二节 自由电子气体的费米参数

第一节金属自由电子的物理模型固体的近似固体是由很多原子组成的复杂体系原子核固体中离子实的原子(ion core)芯电子(core electron) 电子价电子(valence electron)在结合成固体时，离子实的变化可以忽略，只考虑价电子的变化

第一节 金属自由电子的物理模型 固体是由很多原子组成的复杂体系 固体中 的原子 原子核 电子 芯电子 (core electron） 价电子 (valence electron) 离子实 (ion core) 在结合成固体时，离子实的变化可以忽略，只考虑价电子的 变化。 固体的近似

一、经典自由电子气体模型（特鲁德模型）金属原子壳层的内层电子受原子核束缚作用，与原子核构成原子实；外层价电子受原子束缚较弱，能够在金属内部自由移动，称为传导电子，由大量传导电子构成的系统称为自由电子气系统金属自由电子气体模型将金属体内的高浓度电子气视为理想气体，并运用气体分子运动理论加以处理。1.两个基本近似：(1)自由电子近似：除碰撞外，忽略电子和离子实之间的相互作用，电子感受不到离子实所产生的的势场，将离子实系统看成保持体系电中性的均匀正电荷背景，电子在空间自由运动，电子的能量只有动能。(2)独立电子近似：忽略电子和电子之间的相互作用，电子彼此独立运动

一、经典自由电子气体模型（特鲁德模型） 1.两个基本近似： (1)自由电子近似：除碰撞外，忽略电子和离子实之间的相互作用，电子感 受不到离子实所产生的的势场，将离子实系统看成保持体系电中性的均匀 正电荷背景，电子在空间自由运动，电子的能量只有动能。 (2)独立电子近似：忽略电子和电子之间的相互作用，电子彼此独立运动。 金属原子壳层的内层电子受原子核束缚作用，与原子核构成原子实；外 层价电子受原子束缚较弱，能够在金属内部自由移动，称为传导电子， 由大量传导电子构成的系统称为自由电子气系统。 金属自由电子气体模型将金属体内的高浓度电子气视为理想气体，并运用 气体分子运动理论加以处理

2.成功之处将金属晶体内部的电子看成自由电子气体(1)能成功地定性说明金属的导电性质、Hall效应、磁阻等现象。在电场作用下自由电子的运动就产生了电流E按弛豫时间近似：mi, =-eEts（t是电子和晶格碰撞的弛豫时间，V是电子净漂移速度）Ee'ntE.=GEj=-envpmvt（J电流密度，n为电子密度，是电导率）m电阻率：欧姆定律微分形式p2ne't电流在磁场作用下发生偏转就产生了Hall效应，且产生附加的电阻，称之为磁阻。(2)能定性说明金属电子热导率与电导率的关系

2.成功之处 (1)能成功地定性说明金属的导电性质、Hall 效应、磁阻等现象。 mv eE d 按弛豫时间近似： = −  vt E s 电阻率： （J电流密度，n为电子密度， 是电导率） （是电子和晶格碰撞的弛豫时间，d是电子净漂移速度） 欧姆定律微分形式 将金属晶体内部的电子看成自由电子气体 在电场作用下自由电子的运动就产生了电流 电流在磁场作用下发生偏转就产生了Hall效应，且产生附加的电阻， 称之为磁阻。 (2) 能定性说明金属电子热导率与电导率的关系

3.经典理论的困难(1)无法解释电子热容的实验结果根据能量均分定理，每一个自由度的平均动能是kBTN个电子，则总自由度为：3N33E==Nk,TC.==NkB22常温下，电子热容C实验值只有这个数值的百分之一并且与温度有关，电子热容Ce随温度T的降低而趋于0。(2)不能区分固体材料的金属、半导体特性。(3)不能确定Hall效应的方向性

(1)无法解释电子热容的实验结果 常温下，电子热容Ce实验值只有这个数值的百分之一， 并且与温度有关，电子热容Ce随温度T的降低而趋于0。 3.经典理论的困难 根据能量均分定理，每一个自由度的平均动能是 N个电子，则总自由度为： 3N (2) 不能区分固体材料的金属、半导体特性。 (3) 不能确定Hall效应的方向性

（索莫菲）二、自由电子费米气体模型(A)基本内容(1)引入平均势能，即U(r)为一恒定的常数。对电子的作用力为0(2)电子填充能级满足泡利不相容原理：在费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。(3)电子是费米子，电子在能级上的分布遵循费米-狄拉克统计一Fermi-Dirac分布1f(E) =E-EFE,为费米能级ekT +1f(E)表示在温度T时，能量为E的能级被电子占据的几率

二、自由电子费米气体模型（索莫菲） (A) 基本内容 (2)电子填充能级满足泡利不相容原理：在费米子组成的系统 中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。 (3)电子是费米子，电子在能级上的分布遵循费米-狄拉克统计 f(E)表示在温度T时，能量为E的能级被电子占据的几率。 —Fermi- Dirac 分布 Ef 为费米能级 (1)引入平均势能，即U(r)为一恒定的常数。对电子的作用力为0

(B）费米-狄拉克分布函数的温度关系J(E)1f(E) =E-EFekBT + 11. T=0K时状态全空[E>E,: f(E)=0EELE>1, f(E)= 0(E比E大几个k.T）[e(E-Er)/kgTTOK(a)Y当E=E,时,f(E)=1/2EEfT+0,f(Er)=1/2,E电子态占据的概率为1/2,表示费米能级被电子填充和不被填充的几率相等

(B) 费米-狄拉克分布函数的温度关系 状态全空 状态全被占据 E f(E) 1 EF 1. T=0K时 : ( ) 0 : ( ) 1 F F E E f E E E f E  =  = T=0， EF为电子可填充的最高能级； 2. T 0K时 当E= EF时，f (E) = 1/2 T0, f(EF )=1/2, EF电子态占据的概率为1/2， 表示费米能级被电子填充和不被填充的几率相等

1f(E) = E-ErekBT +1若E-E,=3kβT，exp[(E-Ep)/kT]～20，f~0.05若E-Ep=-3kgT,exp[(E-Er)/kβT] ～ 0.05,f~ 1;T+OK时，费米分布函数与T=OK时的差别只在E,附近几个kpT范围内发生。Boltzmanapproximat温度上升，函数(E)发生大T2>Ti变化的能量范围变宽，但在任何情况，此能量范围约为TiE,附近几个±kgT0福2kT

若E-EF = 3kBT，exp[(E-EF )/kBT] ≈ 20，f ≈ 0.05 若E-EF = -3kBT，exp[(E -EF )/kBT] ≈ 0.05，f ≈ 1; 温度上升，函数 f(E)发生大 变化的能量范围变宽，但在 任何情况，此能量范围约为 EF附近几个kBT. T0K时，费米分布函数与T=0K时的差别只在EF附近几个kBT 范围内发生

BoltzmanapproximatT2> TiT+OK时，能量大于E的能级可能有电子，能量小于E的能级可能是空的。0~2kT一些填充在E<E以下，但非常接近E能级上的电子获得k,T的能量被激发到E能级上的量子态上，在E能级下的量子态上留下空态。只有能量在E附近的一小部分电子的能量状态会发生变化

T0K时，能量大于EF的能级 可能有电子，能量小于EF的 能级可能是空的。 一些填充在E EF以下，但非常接近EF能级上的电子获得kBT 的能量被激发到EF能级上的量子态上，在EF能级下的量子态 上留下空态。 只有能量在EF附近的一小部分电子的能量状态会发生变化

第二节自由电子气体的费米参数1、一维自由电子费米气体(a)一维薛定方程及其解一个质量为m的电子被囚禁在宽度为L的无限深势阱中，电子不能跳出一维势阱，满足的一维薛定方程为：#a2me +U(n) (t)=Eg(t)h2d22mdx2为动能算符，U(x)为势能算符。(x)为电子波函数，lW(x)2表示电子在空间的几率分布t? 'y(x)电子自由意味着在阱内电子是感受不= E(x)到势场作用，U(x)=0，被囚禁意味着or?2m外势场无限大。在阱内方程变为：hk?令h=2mE有E=a"y( +k'y(x)=0二阶微分方程22max2

第二节 自由电子气体的费米参数 1、一维自由电子费米气体 (a) 一维薛定谔方程及其解 一个质量为m 的电子被囚禁在宽度为L的无限深势阱中，电子不能跳出 一维势阱，满足的一维薛定谔方程为： 电子自由意味着在阱内电子是感受不 到势场作用，U(x)=0，被囚禁意味着 阱外势场无限大。在阱内方程变为： 二阶微分方程 为动能算符，U(x)为势能算符。 (x)为电子波函数，|(x)|2表示电子在空间的几率分布