西安交通大学：《量子信息导论》研究生课程教学课件（PPT讲稿）第四讲 量子关联分析

OUTLINEd.量子关联分析g.量子计算信息的物理本质a.d.1量子纠缠判断a.1信息和概率g.1量子逻辑门g.2量子算法a.2信息和熔d.2.非定域性和Bel1不等式d.3量子资源a.3经典通信理论量子力学1.0量子信息测度b.e.e.1 vonNeumannb.1QM基本公设（纯态）b.2复合量子系统e.2Trace距离和保真度e.3量子纠缠测度b.3混态和密度矩阵量子力学2.0f.量子测量C.C.1QM基本公设（混态）f.1量子光学器件和探测c.2量子比特f.2广义测量和POVMc.3量子纠缠

OUTLINE a. 信息的物理本质 a.1 信息和概率 a.2 信息和熵 a.3 经典通信理论 b. 量子力学1.0 b.1 QM基本公设（纯态） b.2 复合量子系统 b.3 混态和密度矩阵 c. 量子力学2.0 c.1 QM基本公设（混态） c.2 量子比特 c.3 量子纠缠 d. 量子关联分析 d.1 量子纠缠判断 d.2 非定域性和Bell不等式 d.3 量子资源 e. 量子信息测度 e.1 von Neumann熵 e.2 Trace距离和保真度 e.3 量子纠缠测度 f. 量子测量 f.1 量子光学器件和探测 f.2 广义测量和POVM g. 量子计算 g.1 量子逻辑门 g.2 量子算法

D.量子关联分析d.1量子纠缠判断Theseparabilityproblemoneofthebasicandemergentproblem inpresentandfuturequantuminformationprocessingEnvironment(decoherence)Isaquantumstateentangled?ABHowentangledisitstillafterinteractingwitha noisy environment?

D.量子关联分析 d.1 量子纠缠判断 The separability problem: one of the basic and emergent problem in present and future quantum information processing Is a quantum state entangled? How entangled is it still after interacting with a noisy environment? A B Environment (decoherence)

分离态和纠缠态的物理定义Def :A separable state is a quantumstatewhich canbe prepared ina local or classicalway(Local operationsandclassicalcommunications:LOcC),困难：从无穷多种PA..Z=EpipApB...pZ可能的分解中找到特定的一种Otherwise,itisentangledPA = TrB,C..,z (pAB...z)PB =TrA.C...z (PAB...z)..Pz=TrA,B.Y（pAB...z）各子系统约化密度矩阵LOCC操作"localoperationsandclassicalcommunication"局域操作：unitarydynamicactions，measurements，andallotherlocalmanipulations经典通信：exchangeinformationviaclassicalcommunication

分离态和纠缠态的物理定义 LOCC操作 “local operations and classical communication” 局域操作: unitary dynamic actions, measurements, and all other local manipulations 经典通信: exchange information via classical communication Def：A separable state is a quantum state which can be prepared in a local or classical way (Local operations and classical communications: LOCC), Otherwise, it is entangled. 困难：从无穷多种 可能的分解中找到 特定的一种 各子系统约化密度矩阵

Interlude:LocalOperationsandClassicalCommunication(LocC)Alice和Bob各自持有一个qubit，处于|0)A[0B=00)Alice和Bob各持有一个硬币，若其中一人投出正面（heads），则改变其手中态为[o）一→）若两人都投出正面，则分别改变手中态为|Φ)，[x)tails-heads :Job)tails-tails : [00),ClassicalLocal Operation heads-tailsI: [3b0),heads-heads Fsx)Communication(/00)(00|+[0b)(0 + b0)(b0| + [x)(xl)PAB=PROGRAM：K个结果，每个发生概率pk，Alice和Bob对应制备量子态ldk中k），即关于k的信息丢失(pkQkk），k））或者密度算符classical flagK存储程序运行结Zpk lakBx) (akBul[k)(kPABIK果的信息k=1givenk

Interlude：Local Operations and Classical Communication (LOCC) ⚫ Alice 和 Bob 各自持有一个qubit，处于 ⚫ Alice 和 Bob 各持有一个硬币，若其中一人投出正面（heads），则改变其手中态为 若两人都投出正面，则分别改变手中态为 Classical Communication Local Operation PROGRAM：K 个结果，每个发生概率 pk，Alice 和 Bob 对应制备量子态 ȁ𝜓 ۧ 𝑘𝜙𝑘 ，即 或者密度算符 classical flag： 存储程序运行结 果的信息 given k 关于k的信息丢失

Randomnumberk通过LOCC制备(0)AUkKPAB=pk [aβk)<akBe/ < SeparableSeparableVi[0) Bk分离态（Separablestates）（genuine quantuminteraction）10)AU通过global幺正变换制备Entangled[0) BKPABpklakBk)(akBk/Entangledk纠缠态（Entangledstates）

通过 LOCC 制备 通过 global 幺正变换制备 （genuine quantum interaction）

分离性、纠缠和经典关联可测量确定而不改变态量子系统PABPAB=pablab)(abl经典关联的系统（量子）态为正交基下对角展开形式经典关联的系统PababDef:A state is said to be classically correlated if and only if it canbefullydetermined withoutdisturbing it withthe aid of localmeasurements andclassicalcommunication(LocC）经典关联态PAB = lab) (ab |pABl ab) (ab| =pablab)(abl < classically correlatedab2分离态where(lab))formsanorthonormalbasis,i.e.,(abla'b)=Saa-0bb纠缠态Total Correlation I(A:B)-ClassicalCorrelationQuantumDiscord（量子失谐）

可测量确定而不改变态 分离性、纠缠和经典关联 纠缠态 分离态 经典关联态 量子系统 经典关联的系统 经典关联的系统（量子）态为正交基下对角展开形式 Def：A state is said to be classically correlated if and only if it can be fully determined without disturbing it with the aid of local measurements and classical communication （LOCC） where {|abۧ} forms an orthonormal basis, i.e., Total Correlation I(A:B) – Classical Correlation = Quantum Discord (量子失谐) ？

多体纯态的可分离判据（SeparabilityCriterion）对纯态系统来说，当且仅当其能写作各子系统约化密度矩阵直积形式时，是可分离的PAB...Z=PAPB·.·PZ其中PA=TrB.C..,Z(PAB...Z)PB =TrA,C....z (PAB...Z)..2体纯态纠缠判据PZ=TrA,B..,Y (PA...Z)（1）若子系统满足Tr(p)+1,i=A,B,*+,z是各子系统的量子态则整个纯态是纠缠的。（2）纠缠纯态的Schmidt分解[3b)=Ean[n)alon)6

多体纯态的可分离判据（Separability Criterion） 对纯态系统来说，当且仅当其能写作各子系统约化密度矩阵直积形式时，是可分离的 其中 是各子系统的量子态 2体纯态纠缠判据 （1）若子系统满足 则整个纯态是纠缠的。 （2）纠缠纯态的Schmidt分解

混态可分离的Peres判据（PeresPRL77，1413（1996））口密度矩阵的转置单qubit的转置p=Pmnlm)(nl一pT=pmn|n)(mlmnmn例：单qubit的密度矩阵在转置操作下仍保有密度矩阵的性质：000po1poo01010=PoP10P11Po1P11若P是量子系统可能的密度矩阵，则pT也是口多体密度矩阵的部分转置（partialtranspositions）分离态作PT后还是可能的密度矩阵=(a,b)ppT-(ai,bi)p例如对2体的分离态有订iiPilp1lP12P32P12P13P14P31例2×2态，对P21P22P23P24P22P41P42P21p:P33子系统α作PTp31p32p33p34P13P14p34P41p43p44P23P24P43P44P42

混态可分离的Peres判据（Peres PRL 77, 1413 (1996)）  密度矩阵的转置  多体密度矩阵的部分转置 (partial transpositions) ⚫ 单 qubit 的转置 ⚫ 单 qubit 的密度矩阵在转置操作下仍保有密度矩阵的性质： 若 𝜌ො 是量子系统可能的密度矩阵，则 𝜌ො 𝑇 也是 例： 例： 2×2态，对 子系统 a 作 PT 例如对2体的分离态有 分离态作PT后还是 可能的密度矩阵

2x2混态可分离的Peres判据口双qubit（2x2）可分离，当且仅当其具有正定部分转置（Positivepartialtranspositions：PPT）反之，若PPT判据违反pPT≥0pis separable则此2×2态是纠缠的Pii+(1-p)--例：两体Werner态pw=例：Bell 态[亚)=(10) [1) -[1) [0)4000PO0(1-(1-p)00002p)0O0s00P-)0100001-111P1OT120000002100100000C-10Ap00-(1-P)000(1-p)本征值：-（1/2),1/2,1/2,1/2)o000(1-p)00Ap-(1-p)PT后，出现负本征值，P不是量子态的密度矩阵P<2/3时，PPT有负本征值。P2/3时，PW是分离态

2×2 混态可分离的Peres判据  双qubit（2×2）可分离，当且仅当其具有正定部分转置 (Positive partial transpositions: PPT) 反之，若PPT判据违反， 则此2×2 态是纠缠的 例：Bell 态 PT后，出现负本征值， 𝜌ො PT不是量子态的密度矩阵 例：两体Werner 态 p < 2/3 时， 𝜌ො PT 有负本征值。 p ⩾ 2/3 时，𝜌ොW 是分离态 本征值：{-(1/2), 1/2, 1/2, 1/2}

22,2@3casesHorodeckietal.(PLA,223,1(1996))PPTTMSeparable部分转置的量子态可表为(ml<μlp|n)v)三《ml(ulpABln)|μ），对于可分离态，也应为一个密度矩阵，应有非负的本征谱Positive（P）映射：E将正算符A映射More general cases成正算符E（A）CompletelyPositive（CP)映射：任意正算符且非完全正算符A：B（HB）一→B（HA），作用在分离态上，不仅将正算符A映射成另一个正算符EA），且（IE)依然能将复合系统中的必然满足正算符A映射为新的正算符A (poo)A(podA-1)A (p10)A (p1dA-1)[IA AB] (PAB) =≥0,例：转置（映射）T将正算符（单qubit密度矩阵）映射成另一个正算符A(pdA-10)A(PdA-1dA-1)（单qubit密度矩阵）：但是部分转置PT=1T不是正映射。所以转置操作其中Pi三pABl）I是正映射而不是完全正映射

2 ⊗ 2, 2 ⊗ 3 cases Horodecki et al. (PLA, 223,1 (1996)) PPT  Separable 部分转置的量子态可表为 ，对于可分离态，也应为一个密度矩阵， 应有非负的本征谱 More general cases Positive (P) 映射：ℇ 将正算符 𝐴መ 映射 成正算符ℇ(𝐴መ) Completely Positive (CP) 映射：ℇ 不仅将正算符 𝐴መ 映射成另一个正算符 ℇ(𝐴መ)，且(𝐼⨂ℇ)依然能将复合系统中的 正算符𝐴መ′ 映射为新的正算符 例：转置（映射）T 将正算符（单 qubit密度矩阵）映射成另一个正算符 （单qubit密度矩阵）；但是部分转置 PT= 𝐼⨂𝑇不是正映射。所以转置操作 是正映射而不是完全正映射 任意正算符且非完全正算符 ，作用在分离态上， 必然满足 其中