《固体物理导论》课程教学资源（课件讲稿）第五章 固体电子能带理论 第二节 近自由电子近似（2/2）

2.简并微扰在简并微扰论中，波函数由简并波函数线性组合成考虑状态k=-n(1-△)其中△为小量；其主要的散射态2元n元(1 +△)k'=k+=n=aa零阶近似波函数是自由电子简并XCH004002E(k)态波函数的线性组合：k和k'的线性组合：p=ap+bp....1ik'xikxh=a0VLI元元（+）k0(1-4)aC

在简并微扰论中，波函数由简并波函数线性组合成 考虑状态 其中为小量；其主要的散射态 零阶近似波函数是自由电子简并 态波函数的线性组合： k和k’的线性组合： 2. 简并微扰

p=ap+bp将波函数代入薛定方程Hp(x)=(H。+ H)p(x)= Ep(x)(H。 + H'ap (x)+bp:(x)= E[ap (x)+bp:(x)H[ap (x)+bp(x)=(E -AV)la (x)+bp:(x)aEp (x)+bEp:(x)=(E -△V)[ap (x)+bp (x)a(E -E+△V)p(x)+b(E -E+△V)p:(x)=0a(E - E +△V)|k) +b(E% - E +AV)|k') = 0

将波函数代入薛定谔方程

a(E - E + △V)|k) + b(E%, - E +AV)/k') = 0分别用,g*从左边乘以上述方程，并对x积分a(k(E -E+△V)k)+b(k(E -E+△V)k")= 0a(k'(E -E+△V)k)+b(k'(E -E+△V)k")=0<k'|k)=Okk利用Hkk =(k'[Hik)=(k'[AV|k)=V,Sk,k+2元a(E -E)+b(k|△V|k')=0可得a(k'AVk)+b(E -E)=0

分别用 从左边乘以上述方程，并对x积分 利用 可得

a(E -E)+bV, =0线性方程组aV, +b(E -E)=0a.b要有非零解，则要求E-EV*1=0E-EV1(E -E)E -E)-V = 0± =[(g + g) ( -g) + 4iV/P]能量E+

线性方程组 a,b要有非零解，则要求 能量

（1)如果波矢k离n元/a较远（即△较大），k和k'态能量相差较大XCH004002E(k)121?n元Ao(1-△)2m2ma?k"2n2nE(o)(1+)12m2ma0#（I+A)k(1-A)[E - E:] >[V,]4V(E + E%)+/(E - E) + 4)E-E?2V(EI +E-E+2(E -E))IV/VE-E!E-E

(1)如果波矢k离nπ/a较远（即较大），k和k’态能量相差较大

[v,]2VEo电子能量E=EE-E!E!E!XCH004_002XCH004003E(k)E(k)EEOEA77717n7（1+）0(1-A)O-(+A)k(1-A)结果与非简并微扰计算的结果相似上式中只考虑相互作用强的k和k在微扰中的相互影响，而将其他影响小的散射波忽略不计影响的结果是使原来能量较高的k态能量升高，而能量较低的k态的能量降低，即微扰的结果使k态和k态的能量差进一步加大

电子能量 结果与非简并微扰计算的结果相似, 上式中只考虑相互作用强的k 和k'在微 扰中的相互影响, 而将其他影响小的散射波忽略不计. 影响的结果是使原来能量较高的k' 态能量升高, 而能量较低的k态的能量 降低, 即微扰的结果使k态和k' 态的能量差进一步加大

(2)如果波矢k非常接近n元/a（即△较小)，k和k'态能量相差较小[E -E:| <[V,](E + E)± /(E - E.) + 4V,14lV(E)-E)E+E2|V128Vh?k?h?n元E(1-) =T,(1-△)K=2m2mah?k"2h2n元E(1+) = T,(1+)k'=n元(1+△)2m2maa[E + E= 2(1+△")T,h?n元T电子动能2mE-E=4ATa

(2)如果波矢k非常接近nπ/a (即较小)，k和k’态能量相差较小 电子动能

XCH004003E(k)E2TE+= T, +V|+△T+127E_ =T,-V|-△’TV元元（1+）k0(1-△)这表明，两个相互影响的态k和k，微扰后的能量分别为E+和E当△>0时，k态的能量比k态高，微扰后使k态的能量升高，而k态的能量降低E+= T, +V,当△→>0时，E+分别以抛物线的方式趋于T,±Vnl。E_ = T, -V,其间能量差为禁带宽度E,= E+-E.= 2|Vnl对于△<0,k态的能量比k态高，微扰的结果使k态的能量升高，而k态的能量降低

这表明, 两个相互影响的态k和k’ ，微扰后的能量分别为E＋和E－。 当 > 0时, k’态的能量比k态高, 微扰后使k’态的能量升高, 而k态 的能量降低. 对于 < 0, k态的能量比k’态高, 微扰的结果使k态的能量升 高, 而k’态的能量降低. 当→0时, E分别以抛物线的方式趋于Tn|Vn |。 Eg= E+ -E-= 2|Vn 其间能量差为禁带宽度 |

2TXCH004004E(k)E = T, +V|+△"T,+1△>0A0由于周期势场的微扰，在布里渊区边界发生能量跳变，出现宽度为E。= E+-E= 2|V,|的禁带。禁带K0n元n元的出现是周期势场作用的结果。aO禁带对应的能量状态是晶体中电子不能占据的在能带底部，能量随波失k的变化关系是向上弯曲的抛物线；在能带顶部，则是向下弯曲的抛物线

由于周期势场的微扰，在布里渊 区边界发生能量跳变，出现宽度 为Eg = E+ -E-= 2|Vn |的禁带。禁带 的出现是周期势场作用的结果。 禁带对应的能量状态是晶体中电 子不能占据的 在能带底部，能量随波矢k的变化关系是向上弯曲的抛物线; 在能带顶部，则是向下弯曲的抛物线

T附近的能量-波失关系近自由电子近似下1k=-na[Va/2h2E=E!n元△较大+△较小±V.E, =T.ES-E!1土2mav,J2XCH004_004EE(k)EE.- E!4>0A01--..-....E-n元0n元n元n元0元n元(1-A)(1+A)kaaCaa

近自由电子近似下 附近的能量-波矢关系 较大 较小