《固体物理导论》课程教学资源（课件讲稿）第五章 固体电子能带理论 第一节 布洛赫定理 第二节 近自由电子近似（1/2）

第五章固体电子能带理论第一节布洛赫定理第二节近自由电子近似第三节紧束缚近似第四节克龙尼克一潘纳模型第五节晶体中电子的准经典运动第六节导体、半导体和绝缘体的能带论解释

第五章 固体电子能带理论 第一节 布洛赫定理 第二节 近自由电子近似 第三节 紧束缚近似 第四节 克龙尼克—潘纳模型 第五节 晶体中电子的准经典运动 第六节 导体、半导体和绝缘体的能带论解释

1.固体系统的哈密顿量考虑如下系统，有N个带正电荷Ze的原子核（离子实），相应有NZ个电子（价电子）；原子核和电子的位置矢量分别用R，和I表示；整个体系的哈密顿量：H =T, +V.,(R,R,)+T +Vee(r,r)+Ve(R,r)Nt21(Ze)2-272Z174元6。R, - R..2M7=Ze?NZVZ122Z2+4m月一司48。R,-T2m=1/=1i=1

1.固体系统的哈密顿量 考虑如下系统，有N个带正电荷Ze的原子核（离子实），相应有NZ个电 子（价电子）； 原子核和电子的位置矢量分别用Rn和ri表示； 整个体系的哈密顿量：

2.两个近似(1)绝热近似（（波恩-奥本海默Born-Oppenheimer）由于离子实的质量是电子的上千倍，所以离子实的运动速度要比电子慢很多，可以忽略离子实的运动，把问题简化为n个价电子在N个固定不动的周期性排列的离子实的势场中运动即把多种粒子多体问题简化为多电子问题。(2)单电子近似离子实势场中的n个电子之间存在相互作用（意味着看电子相互关联）考虑一个电子，将其他所有电子对它的作用用一个平均场来代替，因此晶体中的任一个电子都可视为是处在离子实周期势场和其它(n-1)个电子所产生的平均势场中的电子，即把多电子问题简化为单电子问题

2. 两个近似 (1)绝热近似（波恩-奥本海默Born-Oppenheimer） 由于离子实的质量是电子的上千倍,所以离子实的运动速度要比电子慢很 多, 可以忽略离子实的运动,把问题简化为n个价电子在N个固定不动的周期 性排列的离子实的势场中运动,即把多种粒子多体问题简化为多电子问题。 (2)单电子近似 离子实势场中的n个电子之间存在相互作用(意味着电子相互关联),考虑一 个电子,将其他所有电子对它的作用用一个平均场来代替,因此晶体中的任 一个电子都可视为是处在离子实周期势场和其它(n-1)个电子所产生的平均 势场中的电子，即把多电子问题简化为单电子问题

利用绝热近似忽略离子实的动能以及势能项电子体系的哈密顿量H,=T, +Ve(F,r,)+Vne(R,)Ze2o/+224元。-Ri=l n=利用单电子近似考虑一个电子将其它所有电子对它的作用用一个平均场来代替e元）=4一122）4元80-LNZ-2[2]=Zv(g)i=lNZe211ZVe(r) =124元斤-元j=1(j+i)

利用绝热近似,忽略离子实的动能以及势能项 电子体系的哈密顿量 利用单电子近似:考虑一个电子,将其它所有电子对它的作用用一个平均 场来代替

电子体系的哈密顿量H,=T,+Ve(F,r))+Vne(R.,r)NZh?NZNNZZe?1V?+Zv(1)-ZZ-R,2m4元80i=1i=li=ln=NZNZZe2-ZA,(G)-24m0、F-R.>-2mi=l1=整个电子体系的哈密顿量写成了各个电子哈密顿量总和：对应的整个电子体系的薛定方程可以分离变量成单电子薛定方程。H,P; = c;

电子体系的哈密顿量 整个电子体系的哈密顿量写成了各个电子哈密顿量总和； 对应的整个电子体系的薛定谔方程可以分离变量成单电 子薛定谔方程

3.晶格的周期性势场t2Ze?V?H.+v()-Z(令Z=1)2m4 元8。-R,7=h?et?1V? +V()V +ve(3)-Z4元8。2m2m-R,ReV()=v.()-Z-单电子势4元6。-R,R不管单电子势具体形式如何，假设它具有与晶格相同的平移对称性；V( + R,)= V()Rn=niai +n2a2+n3a3

3.晶格的周期性势场 不管单电子势具体形式如何，假设它具有与晶格相同的平 移对称性； (令Z=1) 单电子势

第一节布洛赫定理h?V2 +V() [0()= 80(元)单电子薛定方程2m其中单电子势V(r)是周期性势场,V(r)=V(r+Rn)布洛赫证明，上述方程的本征函数解具有如下性质p(+ R,)=eix·Rr p()上式表明当平移晶格矢量R,时，本征波函数只变化一个相位e沃·R，其中k为电子波矢,表征电子状态。因子上述波函数称为布洛赫(Bloch)波函数，用布洛赫波函数描述的电子称为布洛赫电子

单电子薛定谔方程 其中单电子势V(r)是周期性势场, V (r) = V(r+Rn ) 布洛赫证明，上述方程的本征函数解具有如下性质 上式表明当平移晶格矢量Rn时，本征波函数只变化一个相位 因子 其中k为电子波矢,表征电子状态。 上述波函数称为布洛赫(Bloch)波函数，用布洛赫波函数描 述的电子称为布洛赫电子。 第一节 布洛赫定理

p( + R, )=eix- Rn p()布洛赫定理第二种描述方法布洛赫波函数可以写成如下形式P()=eik-u()u (μ+R,)=u()证明Pe(+ R,)=eK(+R. (μ+ R,)=ekTeik.R us(+Rn)eik-R eikur()=ekR P (F)=e布洛赫波函数是按照晶格周期性调制的平面波

布洛赫定理第二种描述方法 布洛赫波函数可以写成如下形式 证明 布洛赫波函数是按照晶格周期性调制的平面波

布洛赫定理的证明势场的周期性反映了晶格的平移对称性，即晶格平移任意晶格矢量时，势场保持不变；Rn=niai+nzaz+n3a3引入描述平移对称操作的平移算符，T(分量Ti,T2,T3)对于任意晶格矢量Rn=niai+n2a2+n3a3(R,)=" (a)" (a)" (a)对应平移算符为平移算符T性质Tf(r)= f(r+a), α=1,2,3TV(r)=V(r+a~)=V()

布洛赫定理的证明 势场的周期性反映了晶格的平移对称性，即晶格平移任意 晶格矢量时，势场保持不变； 引入描述平移对称操作的平移算符，T(分量T1 , T2 , T3 ) 对于任意晶格矢量 对应平移算符为 平移算符Tα性质

各平移算符之间相互对易T,f() =If(+a) = f(+a+aT,af() =(+a) =f(+a+ap)→()=() =,=0平移算符和单电子哈密顿量对易2V?+v(+a) f(μ+aa)1.Hf(μ)T+aa2m122+V(a) [(+a)=f(+aa) =Hf()2m→=。→[,]=0

各平移算符之间相互对易 平移算符和单电子哈密顿量对易