西安交通大学：《量子信息导论》研究生课程教学课件（PPT讲稿）第五讲 量子信息测度

OUTLINEd.g．量子计算信息的物理本质量子关联分析a.d.1量子纠缠判断a.1信息和概率g.1量子逻辑门d.2非定域性和Be11不等式g.2量子算法a.2信息和熔d.3量子资源a.3经典通信理论量子力学1.0量子信息测度b.e.e.1 von Neumannb.1QM基本公设（纯态）b.2复合量子系统e.2Trace距离和保真度b.3混态和密度矩阵e.3量子纠缠测度量子力学2.0f.量子测量C.C.1QM基本公设（混态）f.1量子光学器件和探测c.2量子比特f.2广义测量和POVMc.3量子纠缠

OUTLINE a. 信息的物理本质 a.1 信息和概率 a.2 信息和熵 a.3 经典通信理论 b. 量子力学1.0 b.1 QM基本公设（纯态） b.2 复合量子系统 b.3 混态和密度矩阵 c. 量子力学2.0 c.1 QM基本公设（混态） c.2 量子比特 c.3 量子纠缠 d. 量子关联分析 d.1 量子纠缠判断 d.2 非定域性和Bell不等式 d.3 量子资源 e. 量子信息测度 e.1 von Neumann熵 e.2 Trace距离和保真度 e.3 量子纠缠测度 f. 量子测量 f.1 量子光学器件和探测 f.2 广义测量和POVM g. 量子计算 g.1 量子逻辑门 g.2 量子算法

E.量子信息测度e.1vonNeumann熵量子力学中的嫡：ameasureoftheuncertainty，orlackofknowledge,oftheform of the state vector本征失，正交基具有香农的形式，但不是香农①p=pmlpm)pml→S(p)=-Dpmlogpmm②=S()=0VonNeumannS(p)=-Tr(plogp)130=S(p）=logd混态具有最大vonNeumannLn④suput) = S(p)口密度矩阵p=P(ai)3b）《bil的含义：系统以概率P(ai)制备在态i)上，{l;>i=1,无需是正交的一般密度矩阵有非对角元Pnm=（入nlP/入m），因此PmEpmAnlem)12Epmn logPn≥S(p)m

本征矢，正交基 具有香农熵的形式，但不是香农熵 E.量子信息测度 e.1 von Neumann熵  量子力学中的熵：a measure of the uncertainty, or lack of knowledge, of the form of the state vector Von Neumann熵 ① ② ③ ④ 一般密度矩阵有非对角元 ，因此  密度矩阵 的含义：系统以概率𝑃 𝑎𝑖 制备在态ȁ𝜓 ۧ𝑖 上，{ȁ𝜓 ۧ𝑖 |i=1,.}无需是正交的 混态具有最大von Neumann熵

例：(+r.)，r=(u,u,w)6=S(P) = (1 + r) og ;(1 + r) - (1 - r) log ,(1 - r)只保留对角元的话Saiag =-(l) og([i) =(1+wl) og(1+ [wl)(1wl)log(1wl)i=0,10.80.6lwlS(p)0.40.20.51.01.00.5

例： 只保留对角元的话

口VonNeumann的凹性（concavity）p=pipi+p2p2, (pi+p2 =1)S(p) ≥piS(p1) +p2S(p2)当p1=0orp2=0orp1=p2时，左右相等证明：从密度矩阵的对角表示出发S(p)=-pmlog pm=s ((pmlplpm)),s(a)=-alog ar由于函数s(x）是凹函数，即s（《pmlplpm））≥P1s（《pmlpilpm））+p2s（《pm|p2lpm）因此S(p)≥ pi s(<pm/pil pm))+p2 s(<pm lp2/ pm))推广至多密度矩阵mm≥p1(pm|s(p1)/pm)+p2<pm|s(p2)/pm)VSpipipis(pi)= piS(p1) + p2S(p2)2eQ.E.D

 Von Neumann熵的凹性（concavity） 当 时，左右相等 证明：从密度矩阵的对角表示出发 由于函数 s(x) 是凹函数，即 因此 Q.E.D. 推广至多密度矩阵

事件A：从一此纯态中挑选若干制备，口VonNeumann和Shannon的区别若A的取值为a，则选择制备态i）Shannon煊H(A) =- P(ai)log P(ai)制备量子态为密度矩阵=P(ai）i）《bilVonNeumann）之间不一定正交，S(a) = - Tr(plog p) = -pm log Pm故一般P(a)≠PmmSH(A) ≥ S(P)P(ai)pi≤H(A)+P(ai)S(p)≤-log+ps(）令每个i为对角形式=l==Proof:为证明Spip22S(P)≤-piP) og (piP)) = -pi log pi -EpP) log P)训2-Epilogpi-pis(p)Q.E.D

ȁ𝜓 ۧ𝑖 之间不一定正交， 故一般 𝑃(𝑎𝑖 ) ≠ 𝜌𝑚 Von Neumann熵  Von Neumann熵和Shannon熵的区别 制备量子态为密度矩阵 Shannon熵 事件A：从一些纯态中挑选若干制备， 若A的取值为ai，则选择制备态ȁ𝜓 ۧ𝑖 Proof：为证明 ，令每个𝜌𝑖为对角形式 则 Q.E.D

事件A：从一些纯态中挑选若干制备，口VonNeumann和Shannon的区别若A的取值为a，则选择制备态Shannon摘H(A) =- P(ai) log P(ai)制备量子态为密度矩阵=P（ai）i）《biVon Neumann商Φ）之间不一定正交，S(a) = - Tr(plog p) = -pm log Pm故一般P(a)丰PmmH(A)≥S(P)S≤H(A)+P(ai)S(pi)P(ai)pi3口VonNeumann的上下界Epis(p)≤sEpis(pi)-Epilogpi7pipi31

ȁ𝜓 ۧ𝑖 之间不一定正交， 故一般 𝑃(𝑎𝑖 ) ≠ 𝜌𝑚 Von Neumann熵  Von Neumann熵和Shannon熵的区别 制备量子态为密度矩阵 Shannon熵 事件A：从一些纯态中挑选若干制备， 若A的取值为ai，则选择制备态ȁ𝜓 ۧ𝑖  Von Neumann熵的上下界

口量子相对摘（quantumrelativeentropy）对两个密度矩阵算符和，可以定义量子相对熵S(llp) = Tr[6(log - log p)≥ 0和经典相对摘H(PIIQ)一样，无上界例：给定平均能的Boltzmann热态具有最大的vonNeumann嫡量子信息和统计物理的关系。exp(-βH)E=Tr(ppH)H : Hamiltonian, β= (kBT)-pp= Trfexp(-βH)"S(P)=0令是另一个具有和p相同平均能的密度矩阵，E=Tr(H）=p(orTr(ologo)=Tr(ologp))Tr(α log Pp) = Tr [a 1og (e-BF)] - log [Tr (e-BF)]β,±-1og [1r(e-8h)]Tr(logpp)=Tr(pplogpp)In2B,E - 1og [r (e-βH)]Tr(pplogp)=freeenergydifferencebetweenln 2thestateaandthe"vacuum"patS() = - Tr( logo)≤- Tr (6log pp) = S (pp)fixedtemperature

 量子相对熵（quantum relative entropy） 对两个密度矩阵算符𝜌ො和𝜎ො，可以定义量子相对熵 和经典相对熵𝐻 𝑃ȁȁ𝑄 一样，无上界 例：量子信息和统计物理的关系。 给定平均能的Boltzmann热态具有最大的von Neumann熵。 令𝜎ො是另一个具有和𝜌ො𝛽相同平均能的密度矩阵， free energy difference between the state σ and the “vacuum” ρ at fixed temperature

口复合量子系统的CLASSICAL:P(ai,b)),H(A,B), H(A:B), H(B|A) →QUANTUM?复合系统的vonNeumann摘团S(A,B)=S(pAB)=-Tr(pABlogpAB)S(A) =— TrA (PA log PA) = -TrA [(TrB PAB)log (TrB PAB)图子系统的（约化）vonNeumannS(B)=-TrB(PBlogPB)=-TrB[(TrAPAB)log(TrAPAB)S(A, B) ≤ S(A) + S(B)vonNeumann的次可加性（Subadditivity）团Proof:：利用相对的正定性S(PABPAPB)=TrAB[PAB(logPAB-logPAPB))=TrAB (PAB log PAB)-TrAB (PABlog PA IB)-TrAB (PAB logIAPB=- S(A, B) + S(A) + S(B)≥0Q.E.D

 复合量子系统的熵 ◉ 复合系统的von Neumann熵 ◉ 子系统的（约化）von Neumann熵 ◉ von Neumann熵的次可加性（Subadditivity） Proof：利用相对熵的正定性 Q.E.D

Araki-Lieb不等式团经典信息存在下界EXAMPLE：纠缠态提供了H(A,B)≥Sup(H(A),H(B))一个典型例子。两体纠缠态S(A, B) ≥|S(A) -S(B)但对量子vN不成立具有Schmidt分解形式130)AB=n|An)AOn)BProof:利用纯化，将两体密度矩阵纯化为三体纯态(nam)=onm=(onlom)10)=Vpmlpm)ABl0m)c,(0nl0n)=onmm对应的vN摘为零 S(A,B)=0PAB= Trc(l)(l)但同时纯态复合系统的两个对纯态而言子系统具有相同的vNS(ABC) = 0, S(AB) =S(C), S(BC) = S(A), S(AC)= S(B)[PA =E [anI" (An) (An]由vN摘的次可加性可得pB=lan lon) (onlS(BC) <S(B) + S(C) S(A)< S(B) +S(AB)S(AC) ≤S(A)+ S(C) → S(B) ≤ S(A) +S(AB)合并两式，不等式得证。Q.E.D.S(A) =-lan/"1og lan/2= S(B)复合系统vN墙的边界：S（A）-S（B）I≤S（A,B）≤S(A）+S(B）

◉ Araki–Lieb不等式 经典信息存在下界 但对量子vN熵不成立 EXAMPLE：纠缠态提供了 一个典型例子。两体纠缠态 具有Schmidt分解形式 对应的vN熵为零 但同时纯态复合系统的两个 子系统具有相同的vN熵 复合系统vN熵的边界： Proof：利用纯化，将两体密度矩阵纯化为三体纯态 对纯态而言 由vN熵的次可加性可得 合并两式，不等式得证。 Q.E.D

Properties of the von NeumannentropyWe summarize here themain properties of thevon Neumann团量子互信息entropy:(i)Thevon Neumann entropy asso-ciated with a density operator pS(A:B)= S(A) + S(B) -S(A,B)两体量子系统的关联度量isCS(p)=Tr(plogp)It is zero only if the system is in0 ≤ S(A: B) ≤2Inf(S(A), S(B))a pure state; that is, p=[w)()(ii) We can place upper and lowervN条件图boundson S(Z,pap.):Epis(p)≤spoS(BA)=S(A,B)-S(A)>可以为负-S(A)≤S(BA)≤S(B）pis(p.)代表若Alice可以构造出联合量子态PAB，需要Bob发送给Alice的量子比特数目pilogpi.14例1：PAB=|O)AA(OIB→ S(BA)=1(ii) The relative entropy is alwaysgreater than or equal to zero:S(op)≥0.(0)B|0)c +[1)B/1)c)[3)ABC = [0)A-可以通过纯化DAB来理解隐形传态FIt takes the value O only if = p.(0)ABAB(00+11)ABAB(11) → S(B|A)=0(iv) Theentropyforthestateoftwo例2：关联而不纠缠PAB=quantum systems is bounded byIS(A)-S(B)I≤S(AB)只通过经典信息就可以传送态至Alice<S(A)+S(B)1(v) Strong subadditivity:例3：极大纠缠(I0)A|0)B+[1)A/1)B) → S(B[A)=-13)ABV2S(ABC)+S(B)≤S(AB)+S(BC)无需通信Alice即可局域制备目标量子态

◉ 量子互信息 两体量子系统的关联度量 ◉ vN条件熵 可以为负 代表若Alice可以构造出联合量子态𝜌ො𝐴𝐵，需要Bob发送给Alice的量子比特数目 例1： 可以通过纯化𝜌ො𝐴𝐵来理解 隐形传态 例2：关联而不纠缠 只通过经典信息就可以传送态至Alice 例3：极大纠缠 无需通信Alice即可局域制备目标量子态