北京大学：《量子光学》课程教学课件（讲稿）第12章 量子信息简介（Quantum teleportation）

第十二章量子信息简介一、EPR伴谬二、纠缠态(Entangled state)三、量子比特四、量子比特门五、简单量子线路六、量子隐形传态(Quantum teleportation

第十二章 量子信息简介 一、EPR佯谬 二、纠缠态 （Entangled state） 三、量子比特 四、量子比特门 五、简单量子线路 六、量子隐形传态 (Quantum teleportation)

一、EPR谬>1935年，A.Einstein，B.Podolsky和N.Rosen提出基于量子态间关联的局域性理论，指出量子力学几率理论是不完备的>这里需要声明一下，在非局域的纠缠态的框架下以及实验支持下（2022年诺贝尔奖），EPR已不是伴谬，也就是说EPR的说法是不对的，即伴谬已解决，量子纠缠的概念正是在解决这个伴谬的过程中诞生的>这个伴谬是怎么说的呢？这里我们采用1954年D.Bohm给出的EPR伴谬表述，他提出的EPR思想实验如下：H9a。两组分系统，两个自旋1/2的粒子(Hg2分子），在=0时刻处于总自旋为0的束缚态|山12，然后光解Hg2分子，但是不引入任何角动量到体系中（总自旋为0可以保持不变），那么这两个粒子自由地向实验室两个相反方向运动3

3 一、EPR佯谬 ➢ 1935年，A. Einstein, B. Podolsky和N. Rosen提出基于量子态间关联的局域 性理论，指出量子力学几率理论是不完备的 ➢ 这里需要声明一下，在非局域的纠缠态的框架下以及实验支持下（2022年 诺贝尔奖），EPR已不是佯谬，也就是说EPR的说法是不对的，即佯谬已 解决，量子纠缠的概念正是在解决这个佯谬的过程中诞生的 ➢ 这个佯谬是怎么说的呢？这里我们采用1954年D. Bohm给出的EPR佯谬表 述，他提出的EPR思想实验如下： a. 两组分系统，两个自旋1/2的粒子(Hg2分子)，在t=0时刻处于总自旋 为0的束缚态 𝜓12 ，然后光解Hg2分子，但是不引入任何角动量到体系中 (总自旋为0可以保持不变)，那么这两个粒子自由地向实验室两个相反方向 运动

b.在t1，由于自旋守恒，则此时第二个粒子一定自旋，向下1）2（这里隐含了非局域性粒子1粒子2自旋向上自旋向下

4 b. 在t < 0时刻，体系的自旋量子态为 𝜓12 = 1 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↓ 1 ↑ 2) ① 若测量到第一个粒子的自旋𝜎ො𝑧向上 ↑ 1，由于自旋守恒， 则此时第二个粒子一定自旋𝜎ො𝑧向下 ↓ 2 (这里隐含了非局域性)

②另一个方面，粒子1与粒子2已经相互远离，由于二者之间的关联是局域的，也就是说这时粒子1和粒子2之间已经没有关联了。若测量粒子2就可以得到粒子2的自旋x分量(6x)粒子1粒子2自旋一x自旋x③对于同一个粒子2，由于[6z,6x]=2≠0，因此z，不能同时知道，不然违背了量子力学5

5 ② 另一个方面，粒子1与粒子2已经相互远离，由于二 者之间的关联是局域 的，也就是说这时粒子1和粒子2之 间已经没有关联了。若测量粒子2就可以得到粒子2的自旋 x分量(𝜎ො𝑥) ③对于同一个粒子2，由于 𝜎ො𝑧 , 𝜎ො𝑥 = 2𝑖𝜎ො𝑦 ≠ 0，因 此𝜎ො𝑧 , 𝜎ො𝑥不能同时知道，不然违背了量子力学

>解释EPR谬：问题就出在以上的②，因为粒子1和粒子2之间的关联是非局域的，即粒子1与粒子2的自旋态形成纠缠态T[山12) =言(/↑)1//)2 -[/)1/↑)2)P>当我们测量到粒子1处于|个1态后，粒子2的波包就势缩在!）2，这种关联是非局域的；反之，若粒子1处于I1)1，粒子2的波包就缩在/↑)2°6

6 ➢ 解释EPR佯谬：问题就出在以上的②，因为粒子1 和粒子2之间的关联是非局域 的，即粒子1与粒子2 的自旋态形成纠缠态 𝜓12 = 1 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↓ 1 ↑ 2) ➢ 当我们测量到粒子1处于 ↑ 1态后，粒子2的波包就坍 缩在 ↓ 2，这种关联是非局域的；反之，若粒子1处于 ↓ 1，粒子2的波包就坍缩在 ↑ 2

约化密度矩阵>由约化密度矩阵理解复合体系A+B的期望值。对于算符O，求它在B系统中的期望值有(Q) = TrB(PB Q) with PB = TrA(PAB)其中A系统对应粒子1，B系统对应粒子2。下面计算复合体系总自旋为零的态对应的约化密度矩阵pB和pBn。考虑下面的两个态1[12】：(/↑)1//)2 — [/)1/↑)2)V21(I+>1/-)2 一 [-)1/+)2)Φ12)2其中{±)=(I↑)±))

7 约化密度矩阵 ➢ 由约化密度矩阵理解复合体系A+B的期望值。对于算符𝑄෠，求它 在B系统中的期望值有 𝑄෠ = TrB 𝜌ො𝐵 𝑄෠ with 𝜌ො𝐵 = TrA(𝜌ොAB) 其中A系统对应粒子1，B系统对应粒子2。下面计算复合体系总自旋 为零的态对应的约化密度矩阵 𝜌ොBI和𝜌ොBΠ。考虑下面的两个态 𝜓12 = 1 2 ↑ 1 ↓ 2 − ↓ 1 ↑ 2 𝜙12 = 1 2 + 1 − 2 − − 1 + 2 其中 ± = 1 2 ↑ ± ↓

（自己算一个）>对应的复合体系密度矩阵为=[山12《山12l,P = |Φ12Φ12l则PBI = TrA(pr)= (pi/) + (pi/)1=1(1212/↑)1+ 1(1212//)1(II)22(/ + I)22(↑I)1)9), I1)=(h)其中：I)=(8

8 ➢ 对应的复合体系密度矩阵为 （自己算一个） 𝜌ොI = 𝜓12 𝜓12 , 𝜌ොΠ = 𝜙12 𝜙12 则 𝜌ොBI = TrA 𝜌ොI = 1 ↑ 𝜌ොI ↑ 1 + 1 ↓ 𝜌ොI ↓ 1 = 1 ↑ 𝜓12⟩⟨𝜓12 ↑ 1 + 1 ↓ 𝜓12⟩⟨𝜓12 ↓ 1 = 1 2 ↓ 22 ↓ + ↑ 22 ↑ = 1 2 1 0 0 1 其中： ↓ = 0 1 ， ↑ = 1 0

PBI = TrA(P)= 1(+Ip/+)1 + 1(-Ipμ/-)1= 1(+/Φ12)Φ12/+)1 + 1(-|Φ12)12/-)1(I-)22(-/ + I+)22(+D)01.2(01PBI=PB说明量子力学内在自洽性9

9 𝜌ොBΠ = TrA 𝜌ොΠ = 1 + 𝜌ොΠ + 1 + 1 − 𝜌ොΠ − 1 = 1 + 𝜙12⟩⟨𝜙12 + 1 + 1 − 𝜙12⟩⟨𝜙12 − 1 = 1 2 ( − 22 − + + 22 + ) = 1 2 1 0 0 1 𝜌ො𝐵𝐼 = 𝜌ො𝐵𝛱说明量子力学内在自洽性

二、纠缠态Entangledstate（两体或以上）纠缠态的定义考虑由单体系统A和系统B组成的两体系统，系统A、B各自有一套力学量完全集CnIn)A， B→[v)B,l)B=Culv)BA→ [n)A,[)A =n2>若两体系统的波函数（或者密度矩阵）不能够写成两个单体系统的波函数（或者密度矩阵）的直积形式，即)AB l)A I)BOrPAB PA PB则I山）AB(或者PAB)对应的量子态称为两体系统的纠缠态>上述纠缠态的定义可以扩展到多体系统10

10 二、纠缠态 Entangled state（两体或以上） 纠缠态的定义 ➢ 考虑由单体系统A和系统B组成的两体系统，系统A、B各自 有一套力学量完全集 A → 𝑛 𝐴, 𝜓 𝐴 = ෍ 𝑛 𝐶𝑛 𝑛 𝐴 ， B → 𝜈 𝐵, 𝜓 𝐵 = ෍ 𝜈 𝐶𝜈 𝜈 𝐵 ➢ 若两体系统的波函数（或者密度矩阵）不能够写成两个单体 系统的波函数（或者密度矩阵）的直积形式，即 𝜓 𝐴𝐵 ≠ 𝜓 𝐴 ⊗ 𝜓 𝐵 or 𝜌ො𝐴𝐵 ≠ 𝜌ො𝐴 ⊗ 𝜌ො𝐵 则 𝜓 𝐴𝐵(或者𝜌ො𝐴𝐵)对应的量子态称为两体系统的纠缠态 ➢ 上述纠缠态的定义可以扩展到多体系统

纠缠态的例子>以自旋为1/2的粒子为例，粒子A自旋向上态为|↑)A，自旋向下态为!)A；粒子B自旋向上态为|↑)B，自旋向下态为|I)B>A粒子和B粒子构成两体系统有下列四个纠缠态：(I/T)AII)B± (\)AIT)B)V2AF1(IT)AIT)B ±(\)AI/)B)2T这四个纠缠态被称为Bell基也被称为EPR态，EPR对11

11 纠缠态的例子 ➢ 以自旋为1/2的粒子为例，粒子A自旋向上态为 ↑ 𝐴，自旋向 下态为 ↓ 𝐴；粒子B自旋向上态为 ↑ 𝐵，自旋向下态为 ↓ 𝐵 ➢ A粒子和B粒子构成两体系统有下列四个纠缠态： 𝜓 ± 𝐴𝐵 = 1 2 ↑ 𝐴 ↓ 𝐵 ± ↓ 𝐴 ↑ 𝐵 𝜙 ± 𝐴𝐵 = 1 2 ↑ 𝐴 ↑ 𝐵 ± ↓ 𝐴 ↓ 𝐵 ➢ 这四个纠缠态被称为Bell基 也被称为EPR态、EPR对