北京大学：《量子光学》课程教学课件（讲稿）第3章 角动量表象

第三章角动量表象一、角动量的一般性质（复习）（CG系数）二、角动量的耦合三、量子体系的转动四、不可约张量算符（作业）五、思考题20240924ygu@pku.edu.cn2

2 第三章 角动量表象 一、角动量的一般性质（复习） 二、角动量的耦合 （CG系数） 三、量子体系的转动 四、不可约张量算符 五、思考题（作业） 20240924 ygu@pku.edu.cn

一、角动量的一般性质角动量算符的定义，及主要研究内容算符的定义对易关系本征值、本征态性质各角动量矩阵元角动量耦合（1,s）2

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角动量算符的定义a1 =r×p=(xes,ye,,ze)x(Pr, Py,P)P.=-ihaxe10*er3i=-inx7JaaaaxOzayaa-inaz.01aa=-ihaxOaa=-ihayax

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角动量算符的对易关系由[xα,Pp]=ih8ap可以证明[a, x, ] - Eaprinx,[α, , ] = Eaprihp,=-8Bay=-8ayBaBy=1,apβ=8αα=0[20,1,] = Eaprihl, = 1x1 = ihl1[,1]=0 (α=x, y,z)即角动量平方与角动量各分量对易n

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球坐标系下的表示形式r=/x?+y?+z?x=rsinecosΦ0= arctan(/x* + y2 /y=rsinesingz=rcosβ= arctan(y / x)aaihsing+cotocosp00aaain+cot sin Φ-cosΦ00apa(2)-i讯aea2aa11i? =-h?(1)sine0sin*0 βsin0 006

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(,1.)角动量的共同本征态，球谐函数表示同时求解（1）（2），得共同本征态（2）的本征态：mgi.g. (g)= mhg. (p)d(12元本征值mh,m =0,±1,±2,..(1）的本征态：(,)=(,)[i’Ym. =1(I+1)n'Ym1 = 0,1,2,...结论：i,Y.. = mhY.m.m|≤1i的本征值：1(1+1)(1- m): 21 +1× P" (cos0)eimgYm (0,p) =(-1)"1：轨道角动量量子数(1+m)! 4元m：磁量子数Ym =(-1)" Y,-m

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中心力场中角动量的性质经典中结论：：中心力场下，角动量守恒i=r×pdrdpd×mi+×F=0XP+×dtdtdt量子中守恒量怎么定义？aaO1? =-h?singa0sineasingae?1 a2r or?h2r2>l算符与r无关V(r)8

8 2 2 2 2 22 1 l r rr r ¶ Ñ = - ¶  V r( )  } Þl算符与 r无关 量子中守恒量怎么定义？

量子中结论：DH=2m=12 [1,v()] =0I,H2m→角动量守恒→{2，可同时测量而同时}2，i.可同时测量→可选用(，7？1.)作为守恒量完全集以此为基础，得到了原子壳层结构寸（主量子数n表示）及每一层中不同角量子数（1表示）和磁量子数（m表示）人原子中，中心力场常见

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>总角动量的概念自旋：电子自旋是一种相对论效应，碱金属光谱线分裂和反常塞曼效应与此相关总角动量：j=l+s[α,Sp]=0(α,β=x,y,z)：l,s分属不同的自由度对易关系式：与1同[i, j,]=ihj[,j=i,j=+j,+[j.,j,] =ihi,[j',ja]=0 (α=x,y,z)10

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中心力场中守恒量完全集H,P, j,j.),作为共同本征态Xd(0,甲)d(0,Φ)a=j(j+1)i=1±1-j (2j+1values22搞清楚1和j的关系11

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