北京大学：《量子光学》课程教学课件（讲稿）第6章 PQW表示

第六章PQW-表示一、P-表示和O-表示存在的必要性二、P-表示（coherentstate-representation）三、Q-表示（squeezedstate-representation）四、Wigner函数五、思考题20241024ygu@pku.edu.cn2

2 第六章 PQW-表示 一、P-表示和Q-表示存在的必要性 五、思考题 二、P-表示（ coherent state -representation） 三、Q-表示（ squeezed state -representation） 四、Wigner 函数 20241024 ygu@pku.edu.cn

一、P表示和Q表示存在的必要性经典中定义的很好的物理量（如电场E）在量子体系中有涨落。由于E=eae-itsinkz+H.C.，算符E只有在具体的量子态中平均，才能给出物理量。而量子态不一定是E的本征态，并且有一定分布，k(t)所以E的涨落不可避免所以准确知道物理量的涨落情况，必须用到密度算符，通常很复杂。后来，人们发现，计算o(a,a+)的期望值时，只需将①O做正规排列(O→O~)或反正规排列(O→OAN)2并将算符变成C数，即O(a,a）→On(α,α*），OAn(a, a+) → OAn(α, α*)再乘以仅对角元存在的分布函数P(α,α*)或Q(α,α*)即可3这是一个由量子对应到经典的过程3

3 一、P表示和Q表示存在的必要性 1. 经典中定义的很好的物理量（如电场�）在量子体系中有涨落。 l 由于�" = �̂���!"�$����� + �. �.，算符�"只有在具体的量子态中平均， 才能给出物理量。而量子态不一定是�"的本征态，并且有一定分布， 所以�"的涨落不可避免 l 所以准确知道物理量的涨落情况，必须用到密度算符�1，通常�1很 复杂。后来，人们发现，计算�" �, �% 的期望值时， 只需将① 5 �做正规排列(�" → �"&)或反正规排列(�" → �" '&) ② 并将算符变成 C 数 ， 即 �"&(�, �% ) → �&(�, �∗) ， �" '& �, �% → �'& �, �∗ ③ 再乘以仅对角元存在的分布函数�(�, �∗)或�(�, �∗)即可 这是一个由量子对应到经典的过程

2.密度算符在各个表象中的表示宏观物理量（用算符表示）0在态/）上的平均为(0)0m=(/01)量子平均，因此有同时4）又有一定的几率分布P山统计平均，ZP(0)QM中ensemble插入单位算符Znln)《nl=1，得MM(<0) =P(|0|n)(n/)nZNPa(nl)(l0n)=ZnPX0l0/n)山山nn而Pμl(=,故(0)=tr[p] =tr[0]4

4 2. 密度算符�1在各个表象中的表示 宏观物理量（用算符表示）�!在态|�⟩上的平均为 �! !" = � �! � ——量子平均， 同时|�⟩又有一定的几率分布�#——统计平均，因此有 �! !" $%&$'()$ = ) # �# � �! � 插入单位算符∑% �⟩⟨� = 1，得 � = ) % ) # �# � �! � ⟨�|�⟩ = ) % ) # �# ⟨�|�⟩ � �! � = ) % ⟨�|) # �#�. � �! � 而∑# �#|�⟩/�| = �0 ,故 � = �� �0�! = ��[�!�0]

(0)= tr[p0]= tr[0p]的证明（自己推一下）tr[p0] =Z(nlp0|n)nZZ(n|p|m)(m|0|n)mnZZ(m|0|n)(nlp|m)mn=Z(ml0plm)m= tr[0p]进一步的：tr[AO] = tr[0A]5

5 �" = tr �1�" = tr �"�1 的证明 （自己推一下） tr �1�" = > ) � �1�" � = > ) > * � �1 � � �" � = > ) > * � �" � � �1 � = > * � �"�1 � = tr �"�1 进一步的：tr A5�" = tr �"A5

p在Fock态中的展开形式插入两次单体算符：ZZZp=n)(nlp|m)(m| =Pnm [n)(mlnmnm6在相干态中的展开形式插入两次单体算符：1[α)α|plββ|元元xdOY[α)Pαβ(β|元元此时非对角元存在，计算复杂。6

6 �1在Fock态中的展开形式 插入两次单体算符： � = > ) > * | �⟩⟨�|�|�⟩⟨�| = > )* �)* |�⟩⟨�| �1在相干态中的展开形式 插入两次单体算符： � = D�+� � �+� � |�⟩⟨�|�|�⟩⟨�| = D�+� � �+� � |�⟩�,-⟨�| 此时非对角元存在，计算复杂

3.P表示和O表示的简单解释正规排列和反正规排列通常情况下，算符0中，a和a+不是按一定顺序排列。正规排列：每一项中，a都在a+的右边0= 0~(a,a+)=ZZCnma+nammn反正规排列：每一项中，a都在a+的左边ZZDnma"a+m0=OAn(a,a+)=nm通过[a,a+]=1调换。例子：0在相干态中平均(α0α）=(α0lα）=αaamα）=α*αm，计算简单7

7 3. P表示和Q表示的简单解释 正规排列和反正规排列 通常情况下，算符�"中，�和�%不是按⼀定顺序排列。 正规排列：每⼀项中，�都在�%的右边 �" ≡ �"& �, �% = > ) > * �)*�%)�* 反正规排列：每⼀项中，�都在�%的左边 �" ≡ �" '& �, �% = > ) > * �)*�)�%* 通过 �, �% = 1调换。 例⼦：�"在相⼲态中平均 Kα �" �⟩ =⟨�|�&|�⟩ = ⟨�|�%)�*|�⟩ = �∗)�* ，计算简单

P表示和Q表示的核心：就是将密度算符p（算符的分布函数变成仅对角元项存在的P（α，α*）或Q（α，α*）（C数的分布函数）同时，对应宏观物理量的算符0需做正规排列或反正规排列(O) = Tr[p] = J P(α,α*)O(α,α*) d2α(0) = Tr[p0] =Q(α,α*)OAN(α,α*) d2αP表示：i适用于偏“经典”的量子态，如热光场、相干态Q表示：i适用于偏“量子”的量子态，如压缩态、Fock态8

8 P表示和Q表示的核⼼：就是将密度算符�1（算符的分布函数） 变成仅对⻆元项存在的�(�, �∗)或�(�, �∗)（C数的分布函数） 同时，对应宏观物理量的算符�"需做正规排列或反正规排列 � = �� �1�" = ∫ �(�, �∗)�&(�, �∗) �+� � = �� �1�" = P �(�, �∗)�'&(�, �∗) �+� P表示：适⽤于偏“经典”的量⼦态，如热光场、相⼲态 Q表示：适⽤于偏“量⼦”的量⼦态，如压缩态、Fock态

二、P-representation (coherent state rep)1.P-rep的定义求算符0(a,a+)期望值(0 (a, a+) = Tr[p0(a, a+)] =ZZCnmTrpa+nammn引入8算符8(α*-a)8(α -a) =exp[-β(α* -at)] exp[β*(α-a)] d?βT2exp[-iβ(α*-at)] exp[-iβ*(α-a)]d2βTL原式=J d?αZnZm CnmTr[ps(α* -at)8(α-a) a+nam)ZNd2αCnmTr[ps(α* - at)8(α -a)α*nαm)mnd?α P(α,α*)O(α, α*)①故P(α,α*) = Tr[ps(α*-at)s(α -a))9

9 ⼆、P-representation（coherent state rep） 1. P-rep的定义 求算符�"(�, �% )期望值 �"& �, �% = �� �1�"& �, �% = > ) > * �)*��[��%)�*] 引⼊�算符 � �∗ − �% � � − � = 1 �+ P exp −� �∗ − �% exp �∗ � − � �+� = 1 �+ P exp −�� �∗ − �% exp −��∗ � − � �+� 原式=∫ �+� ∑) ∑* �)*��[�� �∗ − �% � � − � �%)�*] = P �+�> ) > * �)*��[�� �∗ − �% � � − � �∗)�*] = P �+� �(�, �∗)�&(�, �∗) 故� �, �∗ = ��[�� �∗ − �% � � − � ] ①

D故P(α,α*) = Tr[ps(α*-a)s(α -a))p = P(α,α*)α)α|d2α2P(α,α*) d2α=/Tr [ps(α*-a+)s(α -a)] d?αs(α*-at)s(α-a)dα= Tr[p] = 1需证明①②：（自己会推导）下面，将②带入①10

10 故 � �, �∗ = ��[�� �∗ − �% � � − � ] ① � = ∫ � �, �∗ |�⟩⟨�|�+� ② P �(�, �∗) �+� = P �� [�� �∗ − �% � � − � ] �+� = �� � P � �∗ − �% � � − � �+� = �� � = 1 需证明①↔②: (自己会推导) 下面，将②带入①

①P(α,α*) = Tr[p(α*-at)s(α -a)2p = J P(α,α*)[α)(αd2α证明①②：将②带入①（自己推一下）P(α,α*) = Tr[/ P(β,β*)Iβ)βId2β8(α* - at)8(α -a))d?β P(β,β*)Tr[lβXβ|8(α* -a)8(α -a)=Jd2βP(β,β*)<βI8(α* -a+)S(α-a)Iβd2βP(β,β*)s(α*-β*)(βIβ)S(α-β)d2βP(β,β*)s(α* -β*) (α-β)= P(α,α*)11

11 证明①↔②: 将②带入① （自己推一下） � �, �∗ = ��[P � �, �∗ �⟩⟨� �+� � �∗ − �% � � − � ] = P �+� � �, �∗ ��[ �⟩⟨� � �∗ − �% � � − � ] = ∫ �+� � �, �∗ ⟨�| � �∗ − �% � � − � |�⟩ = P �+� � �, �∗ � �∗ − �∗ ⟨�|�⟩� � − � = P �+� � �, �∗ � �∗ − �∗ � � − � = � �, �∗ � �, �∗ = ��[�� �∗ − �+ � � − � ] ① � = ∫ � �, �∗ |�⟩⟨�|�,� ②