西安交通大学：《计算物理学》研究生课程教学资源（教案精选）常微分方程初值问题

一、教学目标使学生了解计算物理中常微分方程初值问题的求解方法；··使学生掌握简单方法、多步法、隐式法以及Rung-Kutta法的基本原理；·使学生能够运用所学方法解决实际问题，如单摆振荡方程和谐振子振荡方程。二、教学内容·常微分方程初值问题的概念及求解方法；·简单方法；·多步法；·隐式法；·Rung-Kutta法；·案例分析：单摆振荡方程和谐振子振荡方程求解。三、教学步骤·引入计算物理中常微分方程初值问题的概念及求解方法。常微分方程初值问题的概念：给定一个常微分方程及其初始条件，求解该方程的解析解或数值解。o常微分方程初值问题的求解方法：简单方法、多步法、隐式法、Rung-Kutta法。·简单方法。欧拉法：通过泰勒展开式，用一阶导数近似代替高阶导数，从而求解常微分方程。。改进的欧拉法：通过二阶导数近似代替高阶导数，提高了求解精度。：示范如何使用简单方法解决实际问题，如单摆振荡方程。·多步法0概念：利用多个已知点的信息来预测下一个点的值。。介绍多步法的基本原理，如亚当斯法。。示范如何使用多步法解决实际问题，如谐振子振荡方程。·隐式法。概念：在求解过程中，下一个点的值依赖于当前点和下一个点的值。。介绍隐式法的基本原理，如向后欧拉法。0示范如何使用隐式法解决实际问题，如单摆振荡方程。·Rung-Kutta法。概念：通过对常微分方程进行多次近似求解，提高求解精度。。介绍Rung-Kutta法的基本原理，如四阶Rung-Kutta法。o示范如何使用Rung-Kutta法解决实际问题，如谐振子振荡方程

一、教学目标 • 使学生了解计算物理中常微分方程初值问题的求解方法； • 使学生掌握简单方法、多步法、隐式法以及 Rung-Kutta 法的基本原理； • 使学生能够运用所学方法解决实际问题，如单摆振荡方程和谐振子振荡方程。 二、教学内容 • 常微分方程初值问题的概念及求解方法； • 简单方法； • 多步法； • 隐式法； • Rung-Kutta 法； • 案例分析：单摆振荡方程和谐振子振荡方程求解。 三、教学步骤 • 引入计算物理中常微分方程初值问题的概念及求解方法 o 常微分方程初值问题的概念：给定一个常微分方程及其初始条件，求解该方 程的解析解或数值解。 o 常微分方程初值问题的求解方法：简单方法、多步法、隐式法、Rung-Kutta 法。 • 简单方法 o 欧拉法：通过泰勒展开式，用一阶导数近似代替高阶导数，从而求解常微分 方程。 o 改进的欧拉法：通过二阶导数近似代替高阶导数，提高了求解精度。 • 示范如何使用简单方法解决实际问题，如单摆振荡方程。 • 多步法 o 概念：利用多个已知点的信息来预测下一个点的值。 o 介绍多步法的基本原理，如亚当斯法。 o 示范如何使用多步法解决实际问题，如谐振子振荡方程。 • 隐式法 o 概念：在求解过程中，下一个点的值依赖于当前点和下一个点的值。 o 介绍隐式法的基本原理，如向后欧拉法。 o 示范如何使用隐式法解决实际问题，如单摆振荡方程。 • Rung-Kutta 法 o 概念：通过对常微分方程进行多次近似求解，提高求解精度。 o 介绍 Rung-Kutta 法的基本原理，如四阶 Rung-Kutta 法。 o 示范如何使用 Rung-Kutta 法解决实际问题，如谐振子振荡方程

·案例分析：单摆振荡方程和谐振子振荡方程求解。单摆振荡方程：介绍单摆振荡方程的物理背景和数学模型，分别使用简单方法、多步法、隐式法和Rung-Kutta法求解，并比较各方法的优缺点。。谐振子振荡方程：介绍谐振子振荡方程的物理背景和数学模型，分别使用简单方法、多步法、隐式法和Rung-Kutta法求解，并比较各方法的优缺点。四、教学方法·采用讲授、示范、讨论等多种教学方法，使学生全面了解常微分方程初值问题的求解方法；·通过案例分析，帮助学生理解各种方法的原理和应用；·鼓励学生自主探究，提高学生解决实际问题的能力。五、教学评价。通过课堂提问、作业布置等方式，检查学生对教学内容的理解和掌握程度；。通过实际问题求解，评价学生运用所学方法解决问题的能力；·通过课堂讨论，培养学生的思维能力和创新能力

• 案例分析：单摆振荡方程和谐振子振荡方程求解 o 单摆振荡方程：介绍单摆振荡方程的物理背景和数学模型，分别使用简单方 法、多步法、隐式法和 Rung-Kutta 法求解，并比较各方法的优缺点。 o 谐振子振荡方程：介绍谐振子振荡方程的物理背景和数学模型，分别使用简 单方法、多步法、隐式法和 Rung-Kutta 法求解，并比较各方法的优缺点。 四、教学方法 • 采用讲授、示范、讨论等多种教学方法，使学生全面了解常微分方程初值问题的求 解方法； • 通过案例分析，帮助学生理解各种方法的原理和应用； • 鼓励学生自主探究，提高学生解决实际问题的能力。 五、教学评价 • 通过课堂提问、作业布置等方式，检查学生对教学内容的理解和掌握程度； • 通过实际问题求解，评价学生运用所学方法解决问题的能力； • 通过课堂讨论，培养学生的思维能力和创新能力