北京大学：《量子光学》课程教学课件（讲稿）第2章 粒子数表象

解决量子问题的原则量子体系（或解决量子问题），从根本上说，就是建立各种表象以及找到各种表象之间的联系（提问）表象、绘景Picture:5例如：百薛定表象←各种相互作用表象坐标表象Fock态（粒子数）表象相干态表象→非耦合表象角动量的耦合表象（绘景）海森堡表象中各种表象之间的变换只是数学形式不同，本质上描述的是同样的物理实在，表现为：在不同的表象中，物理量的期望值不变提问：从测量的角度如何理解？220240919

2 量子体系（或解决量子问题），从根本上说，就是建立 各种表象以及找到各种表象之间的联系 Picture：表象、绘景 （提问） 例如：薛定谔表象 各种相互作用表象 坐标表象 Fock态（粒子数）表象 相干态表象 角动量的耦合表象 非耦合表象 海森堡表象（绘景） 解决量⼦问题的原则 各种表象之间的变换只是数学形式不同，本质上描述的是同样的 物理实在，表现为：在不同的表象中，物理量的期望值不变 提问：从测量的角度如何理解？ 20240919

第二章粒子数表象一、全同粒子体系与交换对称性二、粒子数表象三、玻色子和费米子单体算符表达式四、二次量子化的由来（作业）五、思考题3

3 第二章 粒子数表象 一、全同粒子体系与交换对称性 二、粒子数表象 三、玻色子和费米子单体算符表达式 四、二次量子化的由来 五、思考题（作业）

讲课原则：从“根”处开始全同粒子体系与波函数交换对称性玻色子，费米子单粒等子态函数（泡利原理）粒子数表象价坐标表象1例子：双粒子波函数例子：谐振子并推广到多粒子波函数at,a的运算规则玻色子和费米子单体算符表达式算符在不同表象间等价（坐标表象和粒子数表象）提问：两个全同费米子为什么不能处在同一个量子态上？(BEC)为什么玻色子可以凝聚在最低能态？4

4 讲课原则：从“根”处开始 全同粒子体系与波函数交换对称性 粒子数表象 坐标表象 玻色子，费米子单粒 子态函数（泡利原理） 例子：谐振子 �!, �的运算规则 例子：双粒子波函数， 并推广到多粒子波函数 等 价 玻色子和费米子单体算符表达式 算符在不同表象间等价 （坐标表象和粒子数表象） 提问：两个全同费米子为什么不能处在同一个量子态上？ 为什么玻色子可以凝聚在最低能态？（BEC）

一、全同粒子体系与交换对称性1、全同粒子：微观世界中具有相同内慕属性的粒子静质量、电荷、自旋、磁矩等内秉属性：粒子：电子、质子、中子、光子、π介子等宏观世界中，相同的物体用标号区分，即坐标表象(提问）微观世界中，如果在坐标表象中，如何表达？单粒子态：无相互作用时，全同粒子体系中的单个粒子有相同（外界环境、物理条件相同）的单粒子态参考书：曾谨言《量子力学》第三版1中P109，452，I中P845

5 1、全同粒⼦：微观世界中具有相同内禀属性的粒⼦ l 宏观世界中，相同的物体⽤标号区分，即坐标表象 l 微观世界中，如果在坐标表象中，如何表达？（提问） l 单粒⼦态：⽆相互作⽤时，全同粒⼦体系中的单个粒⼦有 相同（外界环境、物理条件相同）的单粒⼦态 内秉属性：静质量、电荷、⾃旋、磁矩等 粒⼦：电⼦、质⼦、中⼦、光⼦、π介⼦等 ⼀、全同粒⼦体系与交换对称性 参考书：曾谨⾔《量⼦⼒学》第三版 I中P109，452，II中P84

全同粒子的特点：交换粒子的指标（编号）2.不会导致物理量测量结果的改变交换对称性例子：氢原子中两电子组成体系的哈密顿量2e22e2e2p2piH2m2m[r1 -r2]rr2[P12,H] = 0交换指标1，2时，哈密顿量不变P12：交换算符交换对称性如何反映在波函数上？6

6 2. 全同粒子的特点：交换粒子的指标（编号） 不会导致物理量测量结果的改变 例子：氦原子中两电子组成体系的哈密顿量 ℋ = �! " 2� + �" " 2� − 2�" �! − 2�" �" + �" |�! − �"| 交换对称性 ���, ℋ = 0 ���：交换算符 交换指标1,2时，哈密顿量不变 交换对称性如何反映在波函数上？

定义交换算符Pi：第i个和第j个粒子交换指标3.N粒子体系波函数为(q1,q2.…,qi,…,qj，…,q)，将交换算符作用上去得到Pijbqi..,qj. =,qj.,qi..如果作用两次，则回到原有的波函数Pd(. qi.qj... = (.,qi, .,qj..==那么Pi的本征值就需要满足取入=土1，就可以得到两种波函数波函数对称Pij中=波函数反对称Pij = -这暗示了自然界中仅有两类全同粒子

7 3. 定义交换算符���：第 i 个和第 j个粒子交换指标 N粒子体系波函数为�(�!, �", . , �#, . , �$, . , �%)，将交换算 符作用上去得到 �#$� . , �#, . , �$, . = � . , �$, . , �#, . 如果作用两次，则回到原有的波函数 �#$ %� . , �#, . , �$, . = � . , �#, . , �$, . 那么�#$的本征值就需要满足 �#$ %� = �%� = � 取� = ±1，就可以得到两种波函数 �#$� = −� → 波函数反对称 �#$� = � → 波函数对称 这暗示了自然界中仅有两类全同粒子

4.玻色子与费米子的定义玻色子费米子自旋Oh,1h,2h...h 3h 5h2'2'2例子光子、元介子电子、质子统计玻色统计费米统计波函数交换对称交换反对称思考：典型的玻色体系和费米体系的物理现象？8

8 4. 玻色子与费米子的定义 玻色子 费米子 自旋 0ℏ, 1ℏ, 2ℏ . ℏ 2 , 3ℏ 2 , 5ℏ 2 . 例子 光子、π介子 电子、质子 统计 玻色统计 费米统计 波函数 交换对称 交换反对称 思考：典型的玻色体系和费米体系的物理现象？

两个全同粒子体系5.单粒子态波函数h(q)k(q）=kk（q）若H=h(q1）+h(q2)，并且只有两个单粒子态，且每个态上各有一个粒子，则k1(q1)k2(q2），Pk1(q2)Pk2(q1)以及它们的线性组合都是能量为&k1+&k2的本征态。但对于其它的物理量，就不一定有交换简并了如果：对其它物理量也应该满足交换简并波函数交换对称或者反对称9

9 5. 两个全同粒子体系 l 单粒子态波函数 ℎ � �& � = �&�& � l 若ℋ = ℎ �! + ℎ �" ，并且只有两个单粒子态，且每 个态上各有一个粒子 ， 则 �&! �! �&" �" ， �&! �" �&" �! 以及它们的线性组合都是能量为�&! + �&"的本征态。但对于其它的物理量，就不一定有交换 简并了 l 如果：对其它物理量也应该满足交换简并 波函数交换对称或者反对称

（自己推）玻色子体系：波函数交换对称当k1 ≠ k2时pk1k2(q1,q2)(1 + P12)Pk1(q1)Pk2(q2)V2:[k1(q1)k2(q2) + Pk1(q2)k2(q1)]当k1 = k2时k(q1, q2) = k(q1)k(q2)10

10 l 玻色子体系：波函数交换对称 （自己推） 当�! ≠ �"时 �%!%" & �!, �" = 1 2 1 + �!" �%! �! �%" �" = 1 2 [�%! �! �%" �" + �%! �" �%" �! ] 当�! = �"时 �%% & �!, �" = �% �! �% �

费米子体系：（（自己推）波函数交换反对称当ki≠kz时Pk1k2(q1,q2) :(1 + P12)Pk1(q1)Φk2(q2)[k1(q1)k2(q2) k1(q2)k2(q1)]1 |Pk1(q1)Pk1(q2)k2(q1)k2(q2)当k1 = k2时，Φkk(q1,q2) = 0。此时无物理意义，即泡利不相容原理，i说明两个全同费米子不能处在同一个粒子态上11

11 l 费米子体系：波函数交换反对称（自己推） 当�! ≠ �"时 �&'&% ( �', �% = 1 2 1 + �'% �&' �' �&% �% = 1 2 �&' �' �&% �% − �&' �% �&% �' = 1 2 �&' �' �&' �% �&% �' �&% �% 当�! = �"时，�%% ' �!, �" = 0。 此时无物理意义，即泡利不相容原理，说明两个全同费米 子不能处在同一个粒子态上