北京大学：《量子光学》课程教学课件（讲稿）第9章 二能级原子全量子理论

第九章二能级原子全量子理论一、光和二能级原子相互作用的哈密顿量二、二能级原子+单模光场的精确解J-C model三、原子的自发辐射理论四、缀饰态理论五、二能级原子共振荧光简介（作业）六、思考题20241126 ygu@pku.edu.cn

第九章 二能级原子全量子理论 一、光和二能级原子相互作用的哈密顿量 二、二能级原子+单模光场的精确解 J-C model 三、原子的自发辐射理论 四、缀饰态理论 五、二能级原子共振荧光简介 六、思考题（作业） 20241126 ygu@pku.edu.cn

一、光和二能级原子相互作用的哈密顿量》在全量子理论中，我们把光场与原子都看成是量子，考虑“量子”的是不同间的相互作用系统的哈密顿量可以写作其中：H,=-er.EH = HA+ H-er· E这三项依次代表原子，光场、相互作用部分下面将以二能级原子为例，分别考虑以上三项aH =Zhvk (atak+（1）光场的哈密顿量hの=E。-E其中下标k代表不同的模式[6b)后一项是常数，略去在半经典理论中，因为光场是常数，没有这一项3

3 一、光和二能级原子相互作用的哈密顿量 Ø 在全量子理论中，我们把光场与原子都看成是量子，考虑 的是不同“量子”间的相互作用 Ø 系统的哈密顿量可以写作 � = �! + �" − �� ⋅ � 其中： �I = −�� ⋅ � 这三项依次代表原子、光场、相互作用部分 Ø 下面将以二能级原子为例，分别考虑以上三项 （1）光场的哈密顿量 �" = ∑# ℏ�# �# $�# + % & 其中下标k代表不同的模式 后一项是常数，略去 在半经典理论中，因为光场是常数，没有这一项

（2）原子的哈密顿量（自己已推一下）aVHA =E;li)ilho=E.-Ei对于二能级原子：HA=Eala)(a|+Eb|b)(b-[6)定义下面三个算符0z = [a)(a| - [b)(b0+=Oab=[a)bl,O_ = Oba = [b)al再利用Ea - Ep = hw,[a)(a| + [b)(b/ = I可以得到HA ==hwOz +=(Ea + Eb)因为后一项是一个常数，所以可以直接略去问题：三能级中怎样？4

4 （2）原子的哈密顿量 (自己推一下) �" = # # �# � ⟨�| 对于二能级原子： �" = �$ � ⟨�| + �% � ⟨�| 定义下面三个算符 �& = � ⟨�| − � ⟨�|, �' = �$% = � ⟨�|, �( = �%$ = � ⟨�| 再利用 �$ − �% = ℏ�, � ⟨�| + � ⟨�| = � 可以得到 �" = 1 2 ℏ��& + 1 2 �$ + �% 因为后一项是一个常数，所以可以直接略去 问题：三能级中怎样？

美（3）相互作用的哈密顿量Quj= [i)ilZZZE=eli)ilrli)il =EkEk(at+ak)ijoij,er三kiihvk其中&k=是自由空间元激发的振幅（行波、驻波、腔？）2E0V故相互作用部分的哈密顿量>NpiyouZeEkEk(at +ak)=hQujgl(at + ak)-er.E=kiik其中ijEkEk订9kh5

5 （3）相互作用的哈密顿量 �#)= � ⟨�| �� = # #) � � ⟨�|� � ⟨�| = # #) ℘���#) , � = # , ��ℰ, �, ' + �, 其中 ℰ,= ℏ/! 01"2 是自由空间元激发的振幅 （行波、驻波、腔？） 故相互作用部分的哈密顿量 −�� ⋅ � = −# #) ℘���#) # , ��ℰ, �, ' + �, = ℏ# #) # , �#)�, #) �, ' + �, 其中 �, #) = − ℘�� ⋅ ��ℰ, ℏ

>对于二能级原子，若ab是实数，且Ek是线偏振的，那么有oEkgkb = gka = gk= -hO+ = Oab = la)下面考虑四个物理过程，如图o+αk表示原子自下而上跃迁，同时吸收一个光子VV0_α表示原子自上而下跃迁，同时产生一个光子o+a表示原子自下而上跃迁，同时产生一个光子VVa_ak表示原子自上而下跃迁，同时吸收一个光子故舍去公第三种和第四种过程是不符合能量守恒的。这个近似过程对应着半经典理论中的旋转波近似6

6 Ø 对于二能级原子，若℘��是实数，且��是线偏振的，那么有 �# *+ = �# +* = �#= − ℘ℰ! ℏ �$ = �*+ = � ⟨�|, �/ = �+* = � ⟨�| 故 −�� ⋅ � = ℏ ∑# �# �$ + �/ �# $ + �# Ø 下面考虑四个物理过程，如图 �'�,表示原子自下而上跃迁，同时吸收一个光子 �(�, '表示原子自上而下跃迁，同时产生一个光子 �'�, '表示原子自下而上跃迁，同时产生一个光子 �(�,表示原子自上而下跃迁，同时吸收一个光子 Ø 第三种和第四种过程是不符合能量守恒的，故舍去 这个近似过程对应着半经典理论中的旋转波近似

>综上（1）(2)(3)的结果全量子理论中二能级原子与光场相互作用的哈密顿量可以写为（偶极近似）H =hvkatak+=hwoz+h7gk(o+ak+o_at)KK[a)它是处理二能级原子与光场相互作用问题的出发点M[b)>注意到（偶极近似、旋转波近似、无失谐条件下）w=Wa-wb4=-全量子理论中二能级原子与单模光场的相互作用哈密顿量Pabe其中：g=Hi=-abE(o+a+o_at)= hg(o+a+o_at)h即：原子和光子交换能量的能力是用一个光子（量子）来度量的

7 Ø 综上（1）（2）（3）的结果 全量子理论中二能级原子与光场相互作用的哈密顿量可以写为 （偶极近似） � = # , ℏ�,�, '�, + 1 2 ℏ��& + ℏ# , �, �'�, + �(�, ' 它是处理二能级原子与光场相互作用问题的出发点 Ø 注意到 （偶极近似、旋转波近似、无失谐条件下） 全量子理论中二能级原子与单模光场的相互作用哈密顿量 �I = −℘$%ℰ �'� + �(�' = ℏ� �'� + �(�' 其中：� = − ℘$%ℰ ℏ 即：原子和光子交换能量的能力是用一个光子（量子）来度量的

二、二能级原子+单模光场的精确解（J-Cmodel)>如图，考虑二能级原子与单模光场相互作用，被叫做J-C model。 E.T. Jaynes and F. W. Cummings, Proc.IEEE 51, 89 (1963).该体系的哈密顿量可以写为SXH = hvata +=nwoz+hg(o+a+ o_at)2[a)pabe其中耦合强度g=.hN2[b)w=Wa-Wb>相互作用绘景下（如何得到？）A=w-VH = hg(o+aeizt + o_ate-ist)设[Φr(t)) = En (can(t)la,n) + Cbn(t)b,n))8

8 二、二能级原子+单模光场的精确解 (J-C model) Ø 如图，考虑二能级原子与单模光场相互作用，被叫做 J-C model。 Ø 该体系的哈密顿量可以写为 � = ℏ��$� + 1 2 ℏ��0 + ℏ�(�$� + �/�$) 其中耦合强度 � = − ℘#$ℰ ℏ Ø 相互作用绘景下（如何得到？） �1 = ℏ�(�$��234 + �/�$�/234) 设 |�1(�)⟩ = ∑5 （�*5(�)|�, �⟩ + �+5(�)|�, �⟩）

d>代入薛定方程i[(t)) = HΦ(t))dt可以得到：无穷维空间中闭合的有n个量子的两维子空间dcan = -igVn + leit cbn+1dtdCb,n+1= -igVn + 1e-istca,ndt>解得i2igVn+12nt)2nt2ntitCb,n+1(0)Ca,n(t) :Ca,n()sinsinCOS222nni2igVn+12ntl2nt)2nt-iAtCb.n+1(t) =Cb,n+1(0) (Ca,n(0)(cossinsinD2n222n2其中22 = 22 + 4g2(n + 1)与半经典情况类似公式通解一样9

9 Ø 代入薛定谔方程 �ℏ 6 64 �1 � = �1 �1 � Ø 可以得到: 无穷维空间中闭合的有n个量子的两维子空间 ��*,5 �� = −�� � + 1�234�+,5$% ��+,5$% �� = −�� � + 1�/234�*,5 Ø 解得 �$,4 � = �$,4 0 ��� �4� 2 − �∆ �4 ��� �4� 2 − �%,4'5 0 2�� � + 1 �4 ��� �4� 2 �#∆7 �%,4'5 � = �%,4'5 0 ��� �4� 2 + �∆ �4 ��� �4� 2 − �$,4 0 2�� � + 1 �4 ��� �4� 2 �(#∆7 其中 �5 & = �& + 4�& � + 1 与半经典情况类似公式 à 通解一样

然后得到Ca=iPRe神Cel(v半经典结果C,=ReCe-a-r0=00说明：计算过程中，发现e（士）+r已略去，这是因为高频项相对于低频项变化很快，已平均掉，叫做旋转波近在全量子中，发现这一项不符合能量守恒引入失谐A，有效拉比频率Q及参数a1,a2b1,b2后，下一页得到方程通解A=0-VQ=V0R+(0-V)得到通解[C=(aein/2+a,e-in12)elAr/2=(bei112+b,e-in1/2)e-11/2考虑外场条件2,△及初条件Ca(O),Cb(O)后，得到i42t2121e42c,=C.(0)[cosC(O)sinsinQ22iS22TADe-12Rec.O)sinC,=IC,(0)[cossOQ210

10 半经典结果

>下面讨论一种特殊情况，原子初态处于激发态[α)，光场处于即初条件为相干态[α)，Cb,n(0) = 0Ca,n(0) = cn(0),而相干态的光子数分布为（如图n）=25）(n)ne-(n)Pnn(0) := Icn(0)/2[a)n!1(b)>那么在t时刻光子数为n的几率为w=wa-Wb4=0-Vpn(t) = ca,n(t)2 + cb,n (t)422ntQntCos2sin?= Pn,n(0)224g2n2n-itsin?+ Pn-1,n-1(0)Dn-1211

11 Ø 下面讨论一种特殊情况，原子初态处于激发态 � ，光场处于 相干态 � ，即初条件为 �*,5 0 = �5 0 , �+,5 0 = 0 而相干态的光子数分布为（如图 � = 25） �55 0 = � 5�/ 5 �! = �5 0 & Ø 那么在 t 时刻光子数为 n 的几率为 �� � = �*,5 � & + �+,5 � & = �5,5 0 ���& �5� 2 + ∆& �5 & ���& �5� 2 + �5/%,5/% 0 4�&� �5/% & ���& �5/%� 2