北京大学：《量子光学》课程教学课件（讲稿）第4章 电磁场量子化

第四章电磁场量子化一、电磁场量子化过程二、Fock态表象三、算符代数的运算定律四、Lamb位移五、量子拍频（作业）六、思考题20241007 ygu@pku.edu.cn2

2 第四章 电磁场量子化 一、电磁场量子化过程 二、Fock态表象 三、算符代数的运算定律 四、Lamb位移 五、量子拍频 六、思考题（作业） 20241007 ygu@pku.edu.cn

一、电磁场量子化过程1.问题：如何将电磁场中的能量变成一份份的能量子（即光子）？这个问题分成以下几步来解决：a)写出正确的哈密顿量b）能量以场的形式存在，场是以模式的形式存在，并能用腔中的模式展开（问题：光能不能不以模式的形式存在？）E，H这些可观测量可以写成厄米算符的形式：哈密C顿量H形式上（结构上）与谐振子相同，这里可以套用谐振子量子化的过程d）代入海森堡方程，使量子化的描述可以回到经典3

3 一、电磁场量子化过程 1. 问题：如何将电磁场中的能量变成一份份的能量子（即 光子）？ 这个问题分成以下几步来解决： a) 写出正确的哈密顿量 b) 能量以场的形式存在，场是以模式的形式存在，并 能用腔中的模式展开（问题：光能不能不以模式的形式 存在？） c) �, �这些可观测量可以写成厄米算符的形式；哈密 顿量�形式上（结构上）与谐振子相同，这里可以套用 谐振子量子化的过程 d) 代入海森堡方程，使量子化的描述可以回到经典

a）写出正确的哈密顿量H无论对于经典体系还是量子体系，哈密顿量的物理意义都是表示系统的能量，形式也是相同的在经典体系中，H用力学量进行表达而在量子体系中，H则要用算符来表达我们考虑真空中的一维腔情况。在经典体系中，有HdV(eoE +μoH))我们要与我们已知的谐振子的情况对接，经过处理后形式地p21mvq?给出H=2m2从此就可以利用谐振子量子化步骤完成量子化过程(即从[p,q] = 得到 [a,at] = 1)

4 a) 写出正确的哈密顿量� l 无论对于经典体系还是量子体系，哈密顿量的物理意义都是表示 系统的能量，形式也是相同的 在经典体系中，ℋ用力学量进行表达 而在量子体系中，ℋ则要用算符来表达 l 我们考虑真空中的一维腔情况。在经典体系中，有 ℋ = 1 2 & ! ��(�"�# $ + �"�% $) 我们要与我们已知的谐振子的情况对接，经过处理后形式地 给出 ℋ = &! $' + ( $ ��$�$ 从此就可以利用谐振子量子化步骤完成量子化过程 （即从 �, � = �ℏ得到 �, �) = 1）

b光场用腔的模式展开真空中的一维无源腔的麦克斯韦方程组为：V.D=0(无源p=0)V.B= 0VXH =aD(真空中j=0)ataB=VXEat下面将电磁场EB这些可观测量（B=uH）变为厄米算符5

5 b) 光场用腔的模式展开 l 真空中的一维无源腔的麦克斯韦方程组为： ∇ ' � = 0 (无源� = 0) ∇ ' � = 0 ∇×� = !" !# 真空中⃗ � = 0 ∇×� = − !$ !# 下面将电磁场�, �这些可观测量 � = �� 变为厄米算符

在一维腔中，将电场E，磁场B进行模式展开。这里令电场E为x方向，磁场B为y方向，波矢为z方向F利用V×(V×E)=V(V·E)-2E得到腔内波动方程a?Ex1 a?Ex：00z2c2 at2并且有边界条件：Exlz=0=Exlz=L=06

6 l 在一维腔中，将电场�，磁场�进行模式展开。这里令电 场�为�方向，磁场�为�方向，波矢为�方向 利用∇× ∇×� = ∇ ∇ ' � − ∇%�得到腔内波动方程 �%�& ��% − 1 �% �%�& ��% = 0 并且有边界条件：�&|'() = �&|'(* = 0

在腔中，可以将E，时空分离，得到一系列模式：这些模式不管有无电磁场都存在，不论有没有被激发都存在（提问）对于其中一个模式，分离变量后可以得到Exαu(z)eivjt再代入波动方程就有vd2uzu= 0dz2它的解为u;(z) = A,sin(k;z)。由边界条件Exlz=0 =Exlz=L = 0又有kj ==,j = 1,2

7 l 在腔中，可以将�&时空分离，得到一系列模式：这些模 式不管有无电磁场都存在，不论有没有被激发都存在 （提问） l 对于其中一个模式，分离变量后可以得到�& ∝ � � �+�!# ， 再代入波动方程就有 �%� ��% + �- % �% � = 0 它的解为�- � = ��sin(�-�)。由边界条件�&|'() = �&|'(* = 0又有�- = �! . = /- * ,� = 1,2,

下面引入9来描述电场，引入9是为了将电磁场能量写成我们熟悉的谐振子能量的形式，即：Ex(z,t)=Z;qj(t)A,sin(kjz)这样腔中电磁模式的电场能量就是2=co[Ajq;(t) sin(k;z)]"dvAjq;(t) sin(kjz)1iO(t)A=Afqi(t)1其中A为腔x-v面的截面积，还用到不同模式间正交的特性： sin(kjz) sin(kiz) dz = 8ij要使这个能量与谐振子模式的势能Z,mjyq一致，mj=11/22vim需要取A，和系统有关的常数V&o8

8 l 下面引入�+来描述电场，引入�+是为了将电磁场能量写成我们熟悉的 谐振子能量的形式，即：�# �,� = ∑+ �+ � �+ sin(�+�) 这样腔中电磁模式的电场能量就是 1 2 & ! �" A + �+�+ � sin(�+�) $ �� = 1 2A + & ! �" �+�+ � sin(�+�) $ �� = �" 2 A + �+ $�+ $ � B � 2 B � = �" 2 � 2A + �+ $�+ $ � 其中�为腔x-y面的截面积，还用到不同模式间正交的特性： ∫" , sin(�+�) sin(�-�) dz = , $ �-+ 要使这个能量与谐振子模式的势能∑+ ( $ �+�+ $�+ $一致， �+=1 需要取�+ = $.� �'$ !/% (/$ ，和系统有关的常数

aDHy(z,t)则可以通过VxH=来得到：因为只有Ex，所at以只有H,存在toZHy(z,t) =A; cos(k;z)2ki回代到哈密顿量，得到形式上与谐振子相同的HZH(mjv2qj +mjqj?)=i至此，通过电磁场模式，与谐振子哈密顿量之间的联系就找到了（Q1：模式去哪里了？有没有拼凑的嫌疑？）以上全是经典的结果9

9 l �0 �,� 则可以通过∇×� = !" !#来得到：因为只有�&，所 以只有�0存在 �0 �,� = L - �)�̇ - �- �- cos(�-�) l 回代到哈密顿量，得到形式上与谐振子相同的ℋ ℋ = 1 2L - （�-�- ��- % + �-�̇ - %） 至此，通过电磁场模式，与谐振子哈密顿量之间的 联系就找到了 (Q1: 模式去哪里了？有没有拼凑的嫌疑？） 以上全是经典的结果

给出对易关系（以下与谐振子量子化过程相同）[qj,Pj]=di'，这里的h就是量子与经典的桥梁[9j,qj]]=[pj,Pj]=0，这个式子说明不同模式间是独立的正则变换1(mjvjqj + ipj)miVih1(mjvjqj -ipj)e:/2mjvjha，a;分别为j模式产生和潼灭算符10

10 c) 给出对易关系（以下与谐振子量子化过程相同） l �-, �-" = �ℏ�-"，这里的 ℏ就是量子与经典的桥梁 �-, �-" = �-, �-" = 0，这个式子说明不同模式间是独立的 l 正则变换 �-�1+2!# = 1 2�-�-ℏ (�-�-�- + ��-) �- 3 �+2!# = 1 2�-�-ℏ (�-�-�- − ��-) �- 3 , �-分别为�模式产生和湮灭算符

Ex = Z,ejaje-ivjt sin(k;z) + H.c.那么电磁场可以表示为Hy = -ieocZjejaje-ivit cos(kjz) + H.c.其中ej=/hv;/(eoV)，元激发的振幅即：对应一个模式中只有单个光子能量时所对应的振幅再回代到哈密顿量中，替换掉pj，qj，得到一维情况下的HH = Z,hv;(afa; + 2)（Q2：既然模式的信息不在H里，微纳结构中电场量子化后的形式是什么？）其中vj为频率，有aj,a,|=8j'，[aj,aj]=aj,a|=0（模式间独立）如果Ex，H,能被aj，a表示出来，其它所有电磁场中的物理量都能被表示出来11

11 l 那么电磁场可以表示为Z �& = ∑- �-�-�1+2!# sin(�-�) + �. �. �0 = −��)� ∑- �-�-�1+2!# cos(�-�) + �. �. 其中�- = ℏ�-/(�)�)，元激发的振幅 即：对应一个模式中只有单个光子能量时所对应的振幅 l 再回代到哈密顿量中，替换掉�-，�-，得到一维情况下的ℋ ℋ = ∑- ℏ�-(�- 3 �- + 4 % ) (Q2: 既然模式的信息不在ℋ 里，微纳结构中电场量子化后的形式是什么？） 其中�-为频率，有 �-, �-" 3 = �-"， �-, �-" = �- 3 , �-" 3 = 0（模式 间独立） 如果�&，�0能被�-，�- 3表示出来，其它所有电磁场中的物理量 都能被表示出来