北京大学：《量子光学》课程教学课件（讲稿）第8章 二能级原子半经典理论

第四到七章是QO光子的性质：光的量子化、态、表示和光子的统计和干涉特征第八到十一章是QO用光子的观点看待：EMmatter互作用第八章二能级原子半经典理论一、光和原子相互作用哈密顿量的一般形式二、二能级原子+单模光场（exactsolution)三、密度矩阵的运动方程四、相互作用表象和缀饰态五、麦克斯韦-薛定（M-S）方程20241118 ygu@pku.edu.cn2

2 第八章 二能级原子半经典理论 一、光和原子相互作用哈密顿量的一般形式 二、二能级原子+单模光场（exact solution） 三、密度矩阵的运动方程 五、麦克斯韦-薛定谔（M-S）方程 四、相互作用表象和缀饰态 第四到七章是QO光子的性质：光的量子化、态、 表示和光子的统计和干涉特征 第八到十一章是QO用光子的观点看待： EM matter互作用 20241118 ygu@pku.edu.cn

二能级原子特点（单原子近似）a)nearlyresonant,closed system原子频率=Wa一b，外加光频率V△=-vho=E.-E△< w(or v)V-[b)b)two-level system(solvedexactly)类比于spin-1/2 systemc)two-level system最重要特点：OpticalRabioscillation（atom）Mollow absorption (light)3

3 * 二能级原子特点（单原子近似） a) nearly resonant，closed system 原子频率� = �! − �"，外加光频率 � ∆= � − � ∆≪ �(or �) b) two-level system (solved exactly) c) two-level system类⽐于spin-1/2 system 最重要特点：Optical Rabi oscillation (atom) Mollow absorption (light) �

-Atom-fieldinteractionHamiltonian1.由localgaugeinvariance导出正确的哈密顿量电磁场中运动的自由电荷e的薛定谭方程如下：y(-[V -iA(R,t)]2 + eU(R,t)Φ = inAat正确的哈密顿量应该是：A，U在局域变换下，保持宏观物理量不变，及哈密顿量满足薛定方程a）局域变换(R,t) → (R, t)eix(R,t)A(R,t) → A(R,t) +=Vx(R,t)hax(R,t)U(R,t) →U(R,t) -ate

4 一、Atom-field interaction Hamiltonian 1. 由local gauge invariance导出正确的哈密顿量 电磁场中运动的自由电荷e的薛定谔方程如下： − ℏ! $% [∇ − � & ℏ� ⃗ �,� ] $ + �U(�,�) � = �ℏ '( ') (A) 正确的哈密顿量应该是：� ⃗ ，�在局域变换下，保持宏观物理 量不变，及哈密顿量满足薛定谔方程 a) 局域变换 �(�,�) → �(�,�)�*+(-,)) � ⃗ �,� → � ⃗ �,� + ℏ � ∇�(�,�) � �,� → � �,� − ℏ � ��(�,�) ��

b）宏观量P，E，B不变P = [b(R, t)I2aA(R,t)E = -VU(R,t) -atB = VxA(R,t)c)变换后的山，A，U代入（A）后符合薛定方程由于符合以上三点，从逻辑上说电磁场中运动的自由电子哈密顿量应该有以下形式！h2[V - i=A(R,t)]? + eU(R,t)H=2m5

5 b) 宏观量�，�，�不变 � = |�(R,�)| $ � = −∇� �,� − �� ⃗ (�,�) �� � = ∇×� ⃗ (�,�) c) 变换后的�，� ⃗ ，U代⼊（A）后符合薛定谔方程 由于符合以上三点，从逻辑上说 电磁场中运动的自由电子哈密顿量应该有以下形式： ℋ = − ℏ$ 2� [∇ − � � ℏ � ⃗ �,� ] $ + �� �,�

评述：（提问）y是H=所有量子工作的基础（出发点）：薛定方程at其中最重要的是：哈密顿量H（物理过程的考虑）量子现象通常是counter-intuitive：给出正确的哈密顿量至关重要6

6 评述： （提问） 所有量子工作的基础（出发点）：薛定谔方程 ℋ� = �ℏ '( ') 其中最重要的是：哈密顿量 ℋ（物理过程的考虑） 量子现象通常是 counter-intuitive：给出正确的哈密顿量至关重要

2.Dipoleapproximation这里取radiationgauge：U(r+r,t) = 0, V.A(r +r,t) = 0aA(r+ro,t)得到 = -VU(F + ,t) - A(+) atat若A( + ro,t) = A(t)exp[ik · (r + ro)],r@则E α exp[i . ( + )] = exp[ik ·r] · exp[ik .]roR=T+Tor是波尔半径，例如：<1nm，取入=600nm，E(R) = E(ro)则1,.1因此E α exp[ik ·rl[1 + i ·r + ... ] = exp[ik r]]（小量去掉，偶极近似）所以，原子内部有E=E(ro)，当作常数处理说明电子绕原子核旋转时，感受到的电场是（r）问题：什么时候不能做偶极近似？7

7 2. Dipole approximation 这里取radiation gauge： � �⃗ + �!,� = 0，∇ * �⃗ �⃗ + �!,� = 0 得到� = −∇� �⃗ + �!,� − "$⃗ %⃗&%!,( "( = − "$⃗ %⃗&%!,( "( 若�⃗ �⃗ + �!,� = �(�)exp[�� * �⃗ + �! ]， 则� ∝ exp �� * �⃗ + �! = exp[�� * �!] * exp[�� * �⃗] �⃗是波尔半径，例如：�⃗ < 1��，取� = 600��， 则� * �⃗ ≪ 1， )* + * �⃗ ≪ 1 因此� ∝ exp �� * �! 1 + �� * �⃗ + ⋯ = exp[�� * �!] （小量去掉，偶极近似） 所以，原子内部有 � = �(�!)，当作常数处理 说明电子绕原子核旋转时，感受到的电场是� �! 问题：什么时候不能做偶极近似？

原子的·E的哈密顿量3.光场作用下，dipoleapproximation和radiationgauge下，薛定号方程为h2ad2m[V -i%A4(,t)2 + eU(G,t) + V()±= ihat紫色部分是自由电子情况，V(r）是库仑势能，eU(rot）=0波函数作局域变换r@(r,t) =exp-i%A(ro,t)·Φ(r,t)（推导过程略)roR=T+To则inΦ =[Ho + Hi]Φ(r,t)E(R) = E(ro)其中H=+V(), Hi =-er.E=-ü·EH可看成是微观电偶极和电场E相互作用，形式上与宏观相同·E形式的H量，是以后处理半经典问题的出发点*因为近共振，能量是一份份交换的全量子处理中，-i·E可写成hg(o+a+oa-)8

8 3. 光场作用下，原子的� H �的哈密顿量 dipole approximation和radiation gauge下，薛定谔方程为 − ℏ) 2� [∇ − � � ℏ �⃗ �!,� ] ) + �U �!,� + � �⃗ � = �ℏ �� �� 紫色部分是自由电子情况， � �⃗ 是库仑势能， �U �!,� =0 波函数作局域变换 � �⃗,� = exp −� , ℏ �⃗ �!,� * �⃗ � �⃗,� （推导过程略） 则�ℏ�̇ = [ℋ! + ℋ.]� �⃗,� 其中ℋ! = /" )0 + � �⃗ ，ℋ. = −��⃗ * � = −�⃗ * � ℋ.可看成是微观电偶极�⃗和电场�相互作用，形式上与宏观相同 �⃗ * �形式的ℋ量, 是以后处理半经典问题的出发点 *因为近共振，能量是一份份交换的 * 全量子处理中，−�⃗ * �可写成ℏ�(�&� + ��1)

二、二能级原子+单模光场（exactsolution）考虑二能级系统la>，[b>，外加光场的频率va(1)P(t) =Ca(t)|a)+C,(t)[b)VICa(t) +C,(t)2 = 1withQab=のαOb布居数paa+Pbb=1[b)△= Wab - V薛定谔方程单位算符4(r,t) =--H(r,t)ha)<a|+|b)(b|= 1H=H.+H9

9 考虑二能级系统|a>, |b>，外加光场的频率 n 2 2 () () () (1) () () 1 a b a b t Cta Ctb with C t C t Y = + + = 薛定谔方程 0 1 (,) (,) i r t H H H t H Y = - Y r = +     单位算符 aa bb I + = 二、二能级原子+单模光场（exact solution） 布居数�NN + �OO = 1 a b w ww ab a b = - n ∆= ��� − n

将H.和H用算符表示出来[a)H。=(/a)(a|+|b)(bDH。(a)(a|+|b)(b)Qab = WaWb(2)=ho.la)(a|+ho,|b)(b[b)△= Wab - V大电偶极矩H[a)=hoaawith Pab=pba*=e(axb) and E(t)=ecosvtH.[b)=ho,[b)中心力场中原子，下面红色项是0H, =-exE(t)=-e(a)(a|+|b)(bDx(a)(a|+|b)(bDE(t)=(-a [a)(a|-Pbb [b)(b|-ab [a)(b]-8P ba |b)(aDE(t)(3)=(-Pab |a)(b|-pba|b)<aDE(t)10

10 将H0和H1用算符表示出来 0 0 ( ) ) ( 2 ( ) a b H a a b bH a a b b w w aa bb =+ + = +   0 0 a b Ha a Hb b w w = =   1 () ( ) ( ) () ( ) () ( )( ) (3) aa b ab ba ab ba b H exE t e a a b b x a a b b E t a a b b a b b a Et a b b a Et à à = - = - + + = - - -à -à = -à -à * ( ) cos with e a x b and E t t ab ba à =à = = ε n 电偶极矩 中心力场中原子，下面红色项是0 a b w ww ab a b = - n ∆= ��� − n

[a)将以上(1),(2),(3)即,H和H,代入S方程，得VQab=0-0C.(t)=-io.C.+iQre-i*cosvtC,[b]C,(t)=-io,C,+iQreicosvtCa△= Wab 是drive Rabi frequency其中Ch表示drive光和原子的耦合强度r是Rabioscillation频率fC,=C.eiot为方便求解，做代换[C, = C,eio]（自己推）11

11 将以上(1), (2), (3)即Y, H0 和 H1 代入 S 方程，得 ( ) cos ( ) cos i a aa R b i b bb R a C t i C i e tC C t i C i e tC f f w n w n - ìï = - + W í ïî = - + W   其中 ba R à W =  ε 是drive Rabi frequency 表示drive光和原子的耦合强度 WR是Rabi oscillation频率 为方便求解,做代换 （自己推） a b i t a a i t b b C Ce C Ce w w ìï = í ïî =   a b w ww ab a b = - n ∆= ��� n −