北京大学：《量子光学》课程教学课件（讲稿）第7章 光子的干涉测量（第二部分）量子分束

第七章光子的干涉测量第二部分六、量子分束6.1经典分束原理6.2量子分束原理6.3基于量子分束的量子态输出6.4其它相关内容20241112ygu@pku.edu.cn2

2 六、 量子分束 6.1 经典分束原理 6.2 量子分束原理 6.3 基于量子分束的量子态输出 6.4 其它相关内容 第七章 光子的干涉测量 - 第二部分 20241112 ygu@pku.edu.cn

经典分束器原理6.1一般分束器输入和输出间的矩阵联系考虑两束光经过分束器，随后输出两束光设输入光场为Eo,E1，输出光场为E2,E3其中，r3o(r21)代表Eo(E1)场经过分束器时的反射系数，t20(t31)代表Eo(E1)场经过分束器时的透射系数于是，车输入场和输出场之间有如下关系f3oE,t31EE2=t20Eo+r21E1t2oEorziE,BS2E3=r30Eo+t31E1E13

3 6.1 经典分束器原理 ?一般分束器输入和输出间的矩阵联系 考虑两束光经过分束器，随后输出两束光 设输入光场为�!, �"，输出光场为�#, �$ 其中，�$!(�#")代表�!(�")场经过分束器时的反射系数， �#!(�$")代表�!(�")场经过分束器时的透射系数 于是，输入场和输出场之间有如下关系 ' �# = �#!�! + �#"�" �$ = �$!�! + �$"�

写成矩阵形式就是Eo(EoH121L20UE1E1Ft3130U就是输入与输出之间的矩阵关系，我们称它为变换矩阵E3t3iEir30Eot2oEoEo721EiBSBSEiE

4 写成矩阵形式就是 �# �$ = �#! �#" �$! �$" �! �" = � �! �" �就是输入与输出之间的矩阵关系，我们称它为变换矩阵

E2=t20Eo+r21E1变换矩阵U中各元素间的关系E3=r30Eo+t31Ei假设分束器没有能量损失，则从输入到输出的过程能量守恒或者等价地写为IE212+E312=1E012+IE112根据输入与输出之间的关系，不难写出IE2/2=E2.E*=|t2012E012+|r21/2|E112+t20r21E0E*+t20r21E*E1IE3/2=E3.E*=lr3012|E0/2+It31/2|E112+r30t31E0E+r30t31EE15

5 ?变换矩阵�中各元素间的关系 ! �! = �!"�" + �!#�# �$ = �$"�" + �$#�# 假设分束器没有能量损失，则从输入到输出的过程能量守恒， 或者等价地写为 �! ! + �" ! = �# ! + �$ ! 根据输入与输出之间的关系，不难写出 �! ! = �! ⋅ �! ∗ = �!# ! �# ! + �!$ ! �$ ! + �!#�!$ ∗ �#�$ ∗ + �!# ∗ �!$�# ∗�$ �" ! = �" ⋅ �" ∗ = �"# ! �# ! + �"$ ! �$ ! + �"#�"$ ∗ �#�$ ∗ + �"# ∗ �"$�# ∗�$

由于上式对任意输入输出场大小都成立（无损）则能量守恒条件要求It20/2 + [r30/2 = 1ta1Eir3oE0n[r21/2 + [t31/2 = 1r21E1BSEt20r21+r3ot31= 0其中前两个式子给出了变换矩阵U中元素之间的振幅关系而第三式给出了各矩阵元素之间的相位关系6

6 由于上式对任意输入输出场大小都成立 则能量守恒条件要求 （无损 ） �#! # + �$! # = 1 �#" # + �$" # = 1 �#!�#" ∗ + �$!�$" ∗ = 0 其中前两个式子给出了变换矩阵�中元素之间的振幅关系 而第三式给出了各矩阵元素之间的相位关系

设矩阵U各元素的复数形式为t20=|t2olei中20，r21=|r21lei冲21,r30=|r3olei冲30, t31=It31lei冲31,则相位关系式t2or21+r3ot31=0写为It20llr21lei(Φ20-Φ21)+r3ollt31lei(Φ30-Φ31)= 0业It31lIt20li（Φ30+Φ21-Φ20-Φ31）[r21]Ir30lE131Er30E20F121E1It31 /2It20 /2BSIr21/2/r30/2应用振幅关系|t20/2+|r30/2=1，[r21/2+t31/2=1It20/2It31/21 - It2ol2 = 1 - It31/2

7 设矩阵�各元素的复数形式为�!# = �!# �&'!", �!$ = �!$ �&'!#, �"# = �"# �&'$", �"$ = �"$ �&'$#，则相位关系式�!#�!$ ∗ + �"#�"$ ∗ =0 写为 �!# �!$ �& '!"('!# + �"# �"$ �& '$"('$# = 0 ⇓ �!# |�"#| = − �"$ �!$ ⋅ �&('$"*'!#('!"('$#) ⇓ �!# ! �"# ! = �"$ ! �!$ ! 应用振幅关系 �!# ! + �"# ! = 1, �!$ ! + �"$ ! = 1 �!# ! 1 − �!# ! = �"$ ! 1 − �"$ !

It20/2It31/21 - It2o/21- It31/2注意到函数f(x)=在0<x<1为单调函数，上式成立则有1t2o12=lt31/2，即分束器对称。所以对于无损的经典分束器要求分束器两边的透射率（|t20/2，t31/2）和反射率(|r3012,[r21/2)都相等，t31E3060120E0121EBIt2ol = |t31l或等价地Ir3ol = [r21l根据相位关系有t20r21=-r3ot31，那么t20=t31，r21=-r30是一种满足相位关系的选择，记t2o=t,r21=r,那么t31 = t*,r30 = -r*8

8 �#! # 1 − �#! # = �$" # 1 − �$" # 注意到函数� � = & "'& 在0 < � < 1为单调函数，上式成立则 有 �#! # = �$" # ，即分束器对称。所以对于无损的经典分束器， 要求分束器两边的透射率（ �#! # ， �$" #）和反射率（ �$! # ， �#" #）都相等， 或等价地 ' �#! = |�$"| �$! = �#" 根据相位关系有�#!�#" ∗ = −�$!�$" ∗ ，那么�#! = �$" ∗ ，�#" ∗ = −�$! 是一种满足相位关系的选择，记�#! = �, �#" = �, 那么�$" = �∗ , �$! = −�∗

于是变换矩阵为U= (容易验证，UUt=I，即U为么正矩阵，并且t2+r2=1.一般地，若令t= cosθ,r = sine-i冲，则变换矩阵写成sin de-idcosa2sineiΦcos0当=,Φ=-时，对应分束器的变换矩阵U=当=,Φ=元时，对应分束器的变换矩阵U=云(9

9 于是变换矩阵为 � = � � −�∗ �∗ 容易验证，��( = �，即�为幺正矩阵，并且 |t|2+|r|2=1. 一般地，若令� = cos � , � = sin � �')* ，则变换矩阵写成 � = ��� � ��� � �'�� − ��� � ��� ��� � 当� = - . ,� = − - # 时，对应分束器的变换矩阵 � = " # 1 � � 1 当� = - . ,� = �时，对应分束器的变换矩阵 � = " # 1 −1 1 1

(EoEEo202U-E1E3E1t31r30思考：①存在增益或者损耗时，经典分束器的变换矩阵如何？2②量子光场输入的情况下变换矩阵是怎样的？sin Qe-ipcosasineidcos 010

10 思考： ① 存在增益或者损耗时，经典分束器的变换矩阵 如何？ ② 量子光场输入的情况下变换矩阵是怎样的？ �# �$ = �#! �#" �$! �$" �! �" = � �! �" � = ��� � ��� � �'�� − ��� � ��� ��� �

6.2量子分束原理一经典分束到量子分束的对应在量子描述中，将光场换成相应量子态的連灭算符aoaaa，如下图E3EaPB.BS输入和输出之间的变换关系保持不变a2e-iΦ sin θ)aocos aaoala-eiΦ sin acos11

11 6.2 量子分束原理 ?经典分束到量子分束的对应 在量子描述中 ， 将光场换成相应量子态的 湮灭算符 �E!, �E", �E#, �E$, 如下图 输入和输出之间的变换关系保持不变 �E# �E$ = � �E! �E" = cos � �')* sin � −�)* sin � cos � �E! �E