《固体物理导论》课程教学资源（教案讲义）金属自由电子的物理模型

西安交通大学2021年下半年教师教学竞赛（传统型）《固体物理导论》教案【封面】课程名称固体物理导论任课教师/学院马飞/材料学院单班(x);教学对象材料学专业年级/学期三年级/第二学期授课方式合班(V)必修课公共基础课(×)；专业课(v)课程类型选修课限选课(x)，任选课(×)授课方式考核方式课堂讲授(V)：讨论课(V)考试(V)；考查(×)322总学时数学分数出版社马飞作者/出版时教材名称自编讲义/2020《固体物理导论》李燕间方俊鑫上海科学技术出《固体物理学》陆栋版社/2005黄昆高等教育出版社《固体物理学》韩汝琦/2004出版社清华大学出版社韦丹参考书目《固体物理基础》作者/出版时/2003间高等教育出版社吴代鸣《固体物理基础》/2007[美]c.基泰尔化学工业出版社《Introductionto项金钟、吴兴惠/2013Solid State Physics》单位职称教授材料学院马飞，1979年10月生，教授，入选教育部新世纪优秀人才支持计划，陕西省杰出青年基金获得者，陕西省科技创新团队负责人。承担本科生《固体物理导论》、《材料教学专业导论》等的教学工作。指导本科生获第十六届“挑战方面授课教师马飞杯”全国大学生课外学术科技作品竞赛一等奖1项，第三的情十一届“腾飞杯”创新创业大赛一等奖1项，指导本科生况与获优秀毕业设计论文2人次：培养硕/博士研究生40余人。业绩获2021年西安交通大学优秀党员、优秀研究生指导导师，获西安交通大学材料学院“百人明星”一教书育人Star、林孟良教书育人奖等。1

西安交通大学 2021 年下半年教师教学竞赛(传统型) 1 《固体物理导论》教案【封面】 课程名称 固体物理导论 任课教师/学院 马飞/材料学院 教学对象 材料学专业 年级/学期 三年级/第二学期 授课方式 单班(); 合班(√) 课程类型 必修课 公共基础课(); 专业课(√) 选修课 限选课(); 任选课() 授课方式 课堂讲授(√)；讨论课(√) 考核方式 考试(√)；考查() 总学时数 32 学分数 2 教材名称 《固体物理导论》 作者 马飞 李燕 出版社 /出版时 间 自编讲义/2020 参考书目 《固体物理学》 作者 方俊鑫 陆栋 出版社 /出版时 间 上海科学技术出 版社/2005 《固体物理学》 黄昆 韩汝琦 高等教育出版社 /2004 《固体物理基础》 韦丹 清华大学出版社 /2003 《固体物理基础》 吴代鸣 高等教育出版社 /2007 《Introduction to Solid State Physics》 [美]C.基泰尔 项金钟、吴兴惠 化学工业出版社 /2013 授课教师 马飞 职称 教授 单位 材料学院 教学 方面 的情 况与 业绩 马飞，1979 年 10 月生，教授，入选教育部新世纪优 秀人才支持计划，陕西省杰出青年基金获得者，陕西省科 技创新团队负责人。承担本科生《固体物理导论》、《材料 专业导论》等的教学工作。指导本科生获第十六届“挑战 杯”全国大学生课外学术科技作品竞赛一等奖 1 项，第三 十一届“腾飞杯”创新创业大赛一等奖 1 项，指导本科生 获优秀毕业设计论文 2 人次；培养硕/博士研究生 40 余人。 获 2021 年西安交通大学优秀党员、优秀研究生指导导师， 获西安交通大学材料学院“百人明星”——教书育人 Star、林孟良教书育人奖等

西安交通大学2021年下半年教师教学竞赛（传统型）《固体物理导论》教案【教学单元首页】第4章金属自由电子费米气体授课题目（章、节）S4.1金属自由电子的物理模型教在教学过程中，坚持贯彻“格物致理，深入浅出，知识与实践结合，学知识与科技前沿结合”的教学理念与思想，培养学生的辩证唯物主义思思想，激发学生热爱科学，培养学生独立思考、提出问题、解决问题的能力。想通过本节的学习使学生在知识、能力与情感态度方面达到如下目标：【知识目标】（1）了解经典自由电子气体模型的假设条件。（2）了解经典金属自由电子气体模型的成功之处及局限性。（3）掌握索末菲提出的金属自由电子费米气体模型的内容。（4）掌握费米一狄拉克分布函数的物理意义和温度关系。【能力目标】（1）培养学生在处理具体实际问题时的抽象、近似、分析、比较、教逻辑推理和归纳总结能力。学（2）培养学生严谨的学习态度，科学的研究思路与方法，拓宽知目识的广度和深度，强化工科学生的逻辑思维能力。标【情感态度目标】（1）培养学生从现象认识事物本质、突出主要矛盾，忽略次要矛盾，进行抽象简化并建模的思维意识。（2）培养学生主动探索知识的意识，以及在学习中讨论、交流、合作的意识和思维习惯。（3）用形象生动的动画模式激发学生的学习兴趣。（4）通过科学家典型案例激发学生科学精神，树立献身科学志向。2

西安交通大学 2021 年下半年教师教学竞赛(传统型) 2 《固体物理导论》教案【教学单元首页】 授课题目（章、节） 第 4 章 金属自由电子费米气体 §4.1 金属自由电子的物理模型 教 学 思 想 在教学过程中，坚持贯彻“格物致理，深入浅出，知识与实践结合， 知识与科技前沿结合”的教学理念与思想，培养学生的辩证唯物主义思 想，激发学生热爱科学，培养学生独立思考、提出问题、解决问题的能力。 教 学 目 标 通过本节的学习使学生在知识、能力与情感态度方面达到如下目标： 【知识目标】 （1）了解经典自由电子气体模型的假设条件。 （2）了解经典金属自由电子气体模型的成功之处及局限性。 （3）掌握索末菲提出的金属自由电子费米气体模型的内容。 （4）掌握费米—狄拉克分布函数的物理意义和温度关系。 【能力目标】 （1）培养学生在处理具体实际问题时的抽象、近似、分析、比较、 逻辑推理和归纳总结能力。 （2）培养学生严谨的学习态度，科学的研究思路与方法，拓宽知 识的广度和深度，强化工科学生的逻辑思维能力。 【情感态度目标】 （1）培养学生从现象认识事物本质、突出主要矛盾，忽略次要矛盾， 进行抽象简化并建模的思维意识。 （2）培养学生主动探索知识的意识，以及在学习中讨论、交流、合 作的意识和思维习惯。 （3）用形象生动的动画模式激发学生的学习兴趣。 （4）通过科学家典型案例激发学生科学精神，树立献身科学志向

西安交通大学2021年下半年教师教学竞赛（传统型）【知识基础】学生在《大学物理》课程中已掌握了原子的内部结构，对价电子的概念并不陌生，且本节课主要针对金属而言，这种材料在生活中应用非常广泛，其良好的导热和导电性对学生来说也较为熟悉。【认知特点】认知过程通常是从感性认识开始发展到理性认识，本节课以“德鲁特经典自由电子模型一洛伦兹自由电子模型→自由电子费米气体学生特点分模型”为主线，符合由浅入深、由经典到量子的规律，遵循金属自由电子气体理论体系建立的逻辑，也符合学生的认知规律。此外，根据生活经验和已有知识，学生对金属的特点也有定性的析认识，为抽象简化、建立模型和定量分析金属的导热、导电特性奠定了良好的基础，有利于掌握本节课的基础知识。【学习风格】（1）学生总体表现出学习兴趣浓、积极性高，自主学习能力较强。（2）学生能在记忆的基础上深刻理解，在完成课外作业过程中巩固深化，在比较分析中构筑系统的知识结构框架。（3）学生能够更多地、拓展性地阅读课外材料。【主要内容】本节首先介绍德鲁特提出的经典自由电子模型的两个近似，再介绍洛伦兹对该模型的补充和改进，讨论经典自由电子模型的成功之处教学内容及重难点分析和局限性，最后介绍金属自由电子费米气模型的基本内容，着重分析费米-狄拉克分布函数的物理意义以及随温度的变化规律。【教学重点】（1）电子服从费米一狄拉克分布的物理意义。（2）费米一狄拉克分布函数随温度的变化规律。【教学难点】理解费米一狄拉克分布函数的含义，及电子占据能级状态随温度的变化规律，特别是温度T=0和T+0K时的本质差别。3

西安交通大学 2021 年下半年教师教学竞赛(传统型) 3 学 生 特 点 分 析 【知识基础】 学生在《大学物理》课程中已掌握了原子的内部结构，对价电子 的概念并不陌生，且本节课主要针对金属而言，这种材料在生活中应 用非常广泛，其良好的导热和导电性对学生来说也较为熟悉。 【认知特点】 认知过程通常是从感性认识开始发展到理性认识，本节课以“德 鲁特经典自由电子模型—洛伦兹自由电子模型→自由电子费米气体 模型”为主线，符合由浅入深、由经典到量子的规律，遵循金属自由 电子气体理论体系建立的逻辑，也符合学生的认知规律。 此外，根据生活经验和已有知识，学生对金属的特点也有定性的 认识，为抽象简化、建立模型和定量分析金属的导热、导电特性奠定 了良好的基础，有利于掌握本节课的基础知识。 【学习风格】 （1）学生总体表现出学习兴趣浓、积极性高，自主学习能力较强。 （2）学生能在记忆的基础上深刻理解，在完成课外作业过程中巩 固深化，在比较分析中构筑系统的知识结构框架。 （3）学生能够更多地、拓展性地阅读课外材料。 教 学 内 容 及 重 难 点 分 析 【主要内容】 本节首先介绍德鲁特提出的经典自由电子模型的两个近似，再介 绍洛伦兹对该模型的补充和改进，讨论经典自由电子模型的成功之处 和局限性，最后介绍金属自由电子费米气模型的基本内容，着重分析 费米-狄拉克分布函数的物理意义以及随温度的变化规律。 【教学重点】 （1）电子服从费米—狄拉克分布的物理意义。 （2）费米—狄拉克分布函数随温度的变化规律。 【教学难点】 理解费米—狄拉克分布函数的含义，及电子占据能级状态随温 度的变化规律，特别是温度 T=0 和 T0K 时的本质差别

西安交通大学2021年下半年教师教学竞赛（传统型）【教学方法和策略】本节内容讲授1学时，主要采用板书结合多媒体（图示和动画演示）的教学手段。（1）为了确保重点和难点内容的教学质量，在课程教学中把绝大多数的时间都用到了这两部分内容的教学上。（2）应用多媒体动画演示，帮助学生建立自由电子气体形象、直观的概念，便于学生更好地理解和掌握经典自由电子气体模型和金属自由电子费米气体模型的核心内容。（3）由于授课班级为大班，为了进行互动交流，可让同桌之间进行讨论，围绕经典自由电子气体模型的假设、局限性、模型改进思路、自由电子气体服从费米一狄拉克分布的含义等内容而展开，讨论过程有机融入课堂内容的讲授过程之中。教学方法和策略（4）对所学知识进行提纲领的总结与梳理，使学生对本堂课的内容体系明晰，逻辑思路清楚，更好地掌握学习内容

西安交通大学 2021 年下半年教师教学竞赛(传统型) 4 教 学 方 法 和 策 略 【教学方法和策略】 本节内容讲授 1 学时，主要采用板书结合多媒体（图示和动 画演示）的教学手段。 （1）为了确保重点和难点内容的教学质量，在课程教学中把 绝大多数的时间都用到了这两部分内容的教学上。 （2）应用多媒体动画演示，帮助学生建立自由电子气体形象、 直观的概念，便于学生更好地理解和掌握经典自由电子气体模型 和金属自由电子费米气体模型的核心内容。 （3）由于授课班级为大班，为了进行互动交流，可让同桌之 间进行讨论，围绕经典自由电子气体模型的假设、局限性、模型改 进思路、自由电子气体服从费米—狄拉克分布的含义等内容而展 开，讨论过程有机融入课堂内容的讲授过程之中。 （4）对所学知识进行提纲挈领的总结与梳理，使学生对本堂 课的内容体系明晰，逻辑思路清楚，更好地掌握学习内容

西安交通大学2021年下半年教师教学竞赛（传统型）《固体物理导论》教案【讲稿】S4.1金属自由电子的物理模型【课堂引入】继石器时代之后出现的铜器时代、铁器时代，均以金属材料的应用为时代的显著标志。人类文明的发展和社会的进步与金属材料息息相关，从宇宙飞船到日常家居用品，金属材料种类繁多，应用广泛，已成为人类社会发展的重要物质基础。值得一提的是，高强高导铜合金已成为国家的战略需求，该材料及制品满足了国家轨道交通行业加速进入高速铁路时代的需求，也是集成电路和电子元器件发展的重要基础材料。金锡银铜铁教学内纸色容铝锌钨镁汞（水银）及教O学活图1典型的金属材料动的描述图2材料在生活中的应用广泛5

西安交通大学 2021 年下半年教师教学竞赛(传统型) 5 《固体物理导论》教案【讲稿】 教 学 内 容 及 教 学 活 动 的 描 述 §4.1 金属自由电子的物理模型 【课堂引入】 继石器时代之后出现的铜器时代、铁器时代，均以金属材料的应用 为时代的显著标志。人类文明的发展和社会的进步与金属材料息息相 关，从宇宙飞船到日常家居用品，金属材料种类繁多，应用广泛，已成 为人类社会发展的重要物质基础。值得一提的是，高强高导铜合金已成 为国家的战略需求，该材料及制品满足了国家轨道交通行业加速进入高 速铁路时代的需求，也是集成电路和电子元器件发展的重要基础材料。 图 1 典型的金属材料 图 2 材料在生活中的应用广泛

西安交通大学2021年下半年教师教学竞赛（传统型）众所周知，金属材料具有良好的延展性、导热和导电性。为什么金属既是电的良导体，又是热的良导体？这个问题曾经长期困扰着物理学家。1897年，英国科学家汤姆逊（Tompson）首先发现了电子，并揭示了金属的导电性是由于金属内部大量电子在外电场作用下定向移动而形成的。与此同时，经典物理学的发展完善了气体分子运动论，并成功解释了理想气体的相关问题。固体的电子理论首先就是从金属自由电子费米气体模型开始的。从微观角度看，当金属原子按照一定的周期有序排列形成晶体时，价电子将变成公有化电子，失去电子的离子实形成晶体的骨架，带有负电荷的电子在晶格中自由运动。在这种情况下要研究和表征电子的运动规律是件很复杂的多体问题（1023/cm3），很难处理。物教理学的研究往往从最简单的模型出发，逐渐向复杂过程过渡，对金学属中自由电子的运动也不例外，我们将首先把金属中的价电子看成内是在封闭的晶格中运动的自由电子气体，在研究自由电子气体的运容动变化规律方面，不得不提三位著名的科学家，他们分别是德国物及理学家德鲁特、荷兰卓越的理论物理学家、数学家、经典电子论的教创立者洛伦兹，德国物理学家、量子力学与原子物理学的开山鼻祖学索末菲。接下来我们就依次介绍他们提出的自由电子模型，分析经活典自由电子模型的成功之处与局限性，讨论量子化自由电子模型中动费米一狄拉克分布的物理含义以及费来分布函数随温度的变化关的系。以三位科学家的事迹激发学生的科学探索精神。描述洛伦兹德鲁特索末菲图3提出自由电子模型的三位著名科学家

西安交通大学 2021 年下半年教师教学竞赛(传统型) 6 教 学 内 容 及 教 学 活 动 的 描 述 众所周知，金属材料具有良好的延展性、导热和导电性。为什 么金属既是电的良导体，又是热的良导体？这个问题曾经长期困扰 着物理学家。1897 年，英国科学家汤姆逊（Tompson）首先发现了 电子，并揭示了金属的导电性是由于金属内部大量电子在外电场作 用下定向移动而形成的。与此同时，经典物理学的发展完善了气体 分子运动论，并成功解释了理想气体的相关问题。 固体的电子理论首先就是从金属自由电子费米气体模型开始 的。从微观角度看，当金属原子按照一定的周期有序排列形成晶体 时，价电子将变成公有化电子，失去电子的离子实形成晶体的骨架， 带有负电荷的电子在晶格中自由运动。在这种情况下要研究和表征 电子的运动规律是件很复杂的多体问题（1023/cm3），很难处理。物 理学的研究往往从最简单的模型出发，逐渐向复杂过程过渡，对金 属中自由电子的运动也不例外，我们将首先把金属中的价电子看成 是在封闭的晶格中运动的自由电子气体，在研究自由电子气体的运 动变化规律方面，不得不提三位著名的科学家，他们分别是德国物 理学家德鲁特、荷兰卓越的理论物理学家、数学家、经典电子论的 创立者洛伦兹，德国物理学家、量子力学与原子物理学的开山鼻祖 索末菲。接下来我们就依次介绍他们提出的自由电子模型，分析经 典自由电子模型的成功之处与局限性，讨论量子化自由电子模型中 费米—狄拉克分布的物理含义以及费米分布函数随温度的变化关 系。以三位科学家的事迹激发学生的科学探索精神。 德鲁特 洛伦兹 索末菲 图 3 提出自由电子模型的三位著名科学家

西安交通大学2021年下半年教师教学竞赛（传统型）一、德鲁特（Drude）经典自由电子模型1900年，Drude提出了金属电子运动的经典模型，即金属自由电子气模型。该模型对金属的结构有如下描述：金属原子壳层的内层电子受原子核束缚作用，与原子核构成原子实；外层价电子受原子束缚较弱，能够在金属内部自由移动，称为传导电子，由大量传导电子构成的系统称为自由电子气系统。O?原子核（内层电子传导电子图4金属晶体中原子实与传导电子模型教德鲁特自由电子模型提出如下假设：学内（1）自由电子近似：除了和金属离子碰撞以外，电子与离子实容之间没有相互作用，电子也感受不到离子实所产生势场的存在，电及子在空间基本上是自由运动的。通过和金属离子的碰撞在一定温教度下达到热平衡。可以用具有确定的平均速度和平均的自由时间学的电子来代表。在外电场作用下，电子气的漂移运动引起电流。活动(2）独立电子近似：金属中的价电子之间无相互作用，电子的彼此独立地运动，像气体分子一样组成电子气体，在温度为T的描晶体内，它们的行为和理想气体中的气体分子一样。述二、德鲁特一洛伦兹自由电子模型1904年，洛伦兹对自由电子模型进行了补充和改进：(1）电子气是经典粒子，服从麦克斯韦一玻尔兹曼分布。不受泡利不相容原理的制约，根据能量最低原理，所有电子都将排列在基态。麦克斯韦一玻尔兹曼速率分布函数如下式：eanyf(0)=4元(1)2元kT1

西安交通大学 2021 年下半年教师教学竞赛(传统型) 7 教 学 内 容 及 教 学 活 动 的 描 述 一、德鲁特（Drude）经典自由电子模型 1900 年，Drude 提出了金属电子运动的经典模型，即金属自由 电子气模型。该模型对金属的结构有如下描述：金属原子壳层的内 层电子受原子核束缚作用，与原子核构成原子实；外层价电子受原 子束缚较弱，能够在金属内部自由移动，称为传导电子，由大量传 导电子构成的系统称为自由电子气系统。 图 4 金属晶体中原子实与传导电子模型 德鲁特自由电子模型提出如下假设： (1) 自由电子近似：除了和金属离子碰撞以外，电子与离子实 之间没有相互作用，电子也感受不到离子实所产生势场的存在，电 子在空间基本上是自由运动的。通过和金属离子的碰撞在一定温 度下达到热平衡。可以用具有确定的平均速度和平均的自由时间 的电子来代表。在外电场作用下，电子气的漂移运动引起电流。 (2) 独立电子近似：金属中的价电子之间无相互作用，电子 彼此独立地运动，像气体分子一样组成电子气体，在温度为 T 的 晶体内，它们的行为和理想气体中的气体分子一样。 二、德鲁特—洛伦兹自由电子模型 1904 年，洛伦兹对自由电子模型进行了补充和改进： (1) 电子气是经典粒子，服从麦克斯韦—玻尔兹曼分布。不受 泡利不相容原理的制约，根据能量最低原理，所有电子都将排列 在基态。麦克斯韦—玻尔兹曼速率分布函数如下式： ( ) 2 2 3 2 - 2 4 2 m m kT f e kT     =     v v v （1）

西安交通大学2021年下半年教师教学竞赛（传统型）为了更好的理解上式，图5展示了某一温度下电子气的速率分布概率随速率的变化关系，图6展示了氧气分子（O2）在不同温度下的麦克斯韦速率分布曲线。f(o)dN= f(o)du-N0UU+duU图5某一温度下麦克斯韦速率分布曲线f(n)0,73K273K教1273K学Lv/(m/s)内0500100015002000容图6不同温度下02的麦克斯韦速率分布曲线及(2）在一定的温度下，达到热平衡，电子具有确定的平均动能教学kT1=号k.T和平均自由程=J2p元d2。2n元d2活动的d描d述图7金属导体中电子自由运动的示意图三、经典自由电子模型的成功之处与局限性经典自由电子气体模型，其成功之处在于：(1）能成功地定性说明金属的导电性质、Hall效应、磁阻等现象。8

西安交通大学 2021 年下半年教师教学竞赛(传统型) 8 教 学 内 容 及 教 学 活 动 的 描 述 为了更好的理解上式，图 5 展示了某一温度下电子气的速率 分布概率随速率的变化关系，图 6 展示了氧气分子（O2）在不同 温度下的麦克斯韦速率分布曲线。 图 5 某一温度下麦克斯韦速率分布曲线 图 6 不同温度下 O2 的麦克斯韦速率分布曲线 (2) 在一定的温度下，达到热平衡，电子具有确定的平均动能 3 2 B  = k T 和平均自由程 2 2 1 kT 2n d 2p d    = = 。 图 7 金属导体中电子自由运动的示意图 三、经典自由电子模型的成功之处与局限性 经典自由电子气体模型，其成功之处在于： (1) 能成功地定性说明金属的导电性质、Hall 效应、磁阻等现象

西安交通大学2021年下半年教师教学竞赛（传统型）在电场作用下自由电子的运动就产生了电流，电流在磁场作用下发生偏转就产生了Hall效应，且产生附加的电阻，称之为磁阻。（2）能定性说明金属电子热导率与电导率的关系。但由于经典自由电子模型过于简单，存在着很大局限性（1）不能解释电子热容的实验结果。按照经典能量均分原理和玻尔兹曼统计规律，电子可填充任何能级，可同时处于基态能级，对于由N个自由电子组成的金属体系，对于自由电子不考虑势能，每个电子自由度对动能的贡献为=kBT，该体系3N个自由度的总能量33为E=Nk，T，则电子热容为CNk，与晶体热容在同一量级。22然而，实验结果表明，在常温下，电子热容C。比晶格热容要小两个量级，而且与温度有关，电子热容C.随T的降低而趋于0。很显然，用经典自由电子模型难以解释固体电子热容的实验结果。(2）不能区分固体材料的金属、半导体特性。教(3）不能确定Hall效应的方向性。学内四、金属自由电子费米气体模型容1.金属自由电子费米气体模型的基本内容及1928年，Sommerfeld在量子理论和费米一狄拉克统计理论的基教础上，重新建立了金属电子气体模型，与Drude模型的区别在于：学1）引入泡利不相容原理约束价电子的运动状态，即电子不能活随便填充能级，必须满足泡利不相容原理；动的(2）电子是费米子，电子遵循费米一狄拉克统计分布，而不是经描典的玻尔兹曼统计分布。费米一狄拉克统计分布为：述(2)f(E) = -)ekgT其中E表示费米能级，f(E)表示温度T时能级为E的一个量子态上平均分布的电子数。因一个量子态上最多由一个电子所占据，所以f(E)的物理含义是能量为E的一个量子态被电子占据的几率。(3）引入平均势能，即U(r)为恒定的常数。对电子的作用力为：9

西安交通大学 2021 年下半年教师教学竞赛(传统型) 9 教 学 内 容 及 教 学 活 动 的 描 述 在电场作用下自由电子的运动就产生了电流，电流在磁场作用下发 生偏转就产生了 Hall 效应，且产生附加的电阻，称之为磁阻。 (2) 能定性说明金属电子热导率与电导率的关系。 但由于经典自由电子模型过于简单，存在着很大局限性： (1) 不能解释电子热容的实验结果。按照经典能量均分原理和玻 尔兹曼统计规律，电子可填充任何能级，可同时处于基态能级，对 于由 N 个自由电子组成的金属体系，对于自由电子不考虑势能，每 个电子自由度对动能的贡献为1 2 𝑘𝐵𝑇，该体系 3N 个自由度的总能量 为 ，则电子热容为 ，与晶体热容在同一量级。 然而，实验结果表明，在常温下，电子热容 比晶格热容要小两个 量级，而且与温度有关，电子热容 随 T 的降低而趋于 0。很显然， 用经典自由电子模型难以解释固体电子热容的实验结果。 (2) 不能区分固体材料的金属、半导体特性。 (3) 不能确定 Hall 效应的方向性。 四、金属自由电子费米气体模型 1. 金属自由电子费米气体模型的基本内容 1928 年，Sommerfeld 在量子理论和费米—狄拉克统计理论的基 础上，重新建立了金属电子气体模型，与 Drude 模型的区别在于： (1) 引入泡利不相容原理约束价电子的运动状态，即电子不能 随便填充能级，必须满足泡利不相容原理； (2) 电子是费米子，电子遵循费米—狄拉克统计分布，而不是经 典的玻尔兹曼统计分布。费米—狄拉克统计分布为： 𝑓(𝐸) = 1 𝑒 (𝐸−𝐸𝑓 ) 𝑘𝐵𝑇 +1 (2) 其中𝐸𝑓表示费米能级，𝑓(𝐸)表示温度 T 时能级为 E 的一个量子态上 平均分布的电子数。因一个量子态上最多由一个电子所占据，所以 的物理含义是能量为 E 的一个量子态被电子占据的几率。 (3) 引入平均势能，即𝑼(𝒓)为恒定的常数。对电子的作用力为： 3 2 E Nk T = B e 3 C 2 = NkB Ce Ce f E( )

西安交通大学2021年下半年教师教学竞赛（传统型）au0(3)L37图8平均势能示意图忽略离子实的势场作用时，“电子”实为考虑到外作用的“准粒子”。2.费米-狄拉克分布函数的温度关系(1）当T=0时，[1 (E≤Er)f(E) = [(4)(o (E>Ep)T-→0(2）当T0时，e(E-E)/kT >>1, f(E)= 0 (E比E，大几个kT)(5)[e(E-Er)/kaT E的量子态上，在EOKbVEfEfE图9不同温度下的费米分布(a)及其对能量微分的分布(b)10

西安交通大学 2021 年下半年教师教学竞赛(传统型) 10 教 学 内 容 及 教 学 活 动 的 描 述 𝑓 = − 𝜕𝑈 𝜕𝑟 = 0 (3) 图 8 平均势能示意图 忽略离子实的势场作用时，“电子”实为考虑到外作用的“准粒子”。 2. 费米-狄拉克分布函数的温度关系 (1) 当 T=0 时， 𝑓(𝐸) 𝑇→0 = { 1 0 (𝐸 ≤ 𝐸𝐹) (E > E𝐹) (4) (2) 当 T≠0 时， F F (E E ) F (E E ) F e 1 (E) 0 (E E k e 1 (E) 1 (E E k B B k T k T f f − −   =    = B B , 比 大几个 T) , 比 小几个 T) (5) 如图 9(a)所示，T=0 时费米—狄拉克分布函数是一个阶梯函 数，能量小于 EF的所有量子态均 100%被填充，而能量大于 EF的 所有量子态均未被填充，均为空态，因此，费米能级是基态时电 子可以填充的最高能级。如图 9(b)所示，𝑇 ≠ 0与 T=0 时的差别 仅在 EF 附近的几个 kBT 的范围内。室温时， ，在 EF 能级附近，一些填充在𝐸 𝐸𝐹的量子态上，在𝐸 < 𝐸𝐹的量子态上留下空态，而 。𝑓(𝐸)存在变化的仅是 EF 附近非常窄的范围，− ( 𝜕𝑓 𝜕𝐸) 也仅在 EF附近非常窄的范围内存在有限值。 图 9 不同温度下的费米分布(a)及其对能量微分的分布(b) 0.01 B F k T E  ( ) 1 = 2 F f E ( (b