《固体物理导论》课程教学资源（课件讲稿）第三章 晶体振动和晶体的热学性质 第一节 一维晶格的振动

第三章目晶格振动和晶体的热学性质晶体中的原子处在不停运动中温度较低，热运动较弱一一原子在平衡位置附近振动。由于晶体内原子之间存在着相互作用力，各个原子的振动也并不是孤立的，而是相互联系着的。一个原子的振动将引起周围原子的振动，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。当振动非常微弱时，原子间的非简谐相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些振动模式是彼此相互独立的。由于晶格的周期性，振动模式所取的能量值为一系列分立值，每个独立而又分立的振动模式可用一系列独立的简谐振子来描述。这些谐振子的能量是量子化的，晶格振动的能量量子の称为声子。晶格振动的总体就可以看成由各种振动模式激发的声子组成的系综。晶格振动直接影响晶体的许多性质，如比热，热膨胀，热传导，电阻等

晶体中的原子处在不停运动中: 温度较低, 热运动较弱——原子在平衡位置附近振动。 由于晶体内原子之间存在着相互作用力，各个原子的振动也并不是孤立 的，而是相互联系着的。一个原子的振动将引起周围原子的振动，因此 在晶体中形成各种模式的波，称为格波。 当振动非常微弱时，原子间的非简谐相互作用可以忽略，即在简谐近似 下，这些振动模式是彼此相互独立的。 由于晶格的周期性，振动模式所取的能量值为一系列分立值，每个独立 而又分立的振动模式可用一系列独立的简谐振子来描述。 晶格振动直接影响晶体的许多性质, 如比热, 热膨胀, 热传导, 电阻等。 这些谐振子的能量是量子化的，晶格振动的能量量子ħ称为声子。 晶格振动的总体就可以看成由各种振动模式激发的声子组成的系综。 第三章 晶格振动和晶体的热学性质

第三章晶格振动和晶体的热学性质第一节一维晶格的振动第二节晶格振动的能量量子化第三节固体的比热第四节晶格振动的非简谐效应

第三章 晶格振动和晶体的热学性质 第一节 一维晶格的振动 第二节 晶格振动的能量量子化 第三节 固体的比热 第四节 晶格振动的非简谐效应

第一节一维晶格的振动本节主要内容：3.1.1一维单原子链（简单晶格）的振动3.1.2一维双原子链（复式格子）的振动

第一节 一维晶格的振动 3.1.1 一维单原子链（简单晶格）的振动 3.1.2 一维双原子链（复式格子）的振动 本节主要内容:

3.1.1一维单原子链的振动1.作用势和作用力第n-2个原子第n-1个原子第n个原子第n+1个原子第n+2个原子0000am0Xn+2XnXn+1Xn-2Xn-1，平衡原子间距为l，平衡时最原子质量均为m的原子组成一维原子链，近邻两原子之间的相互作用势能为u（a)。xn表示第n原子在t时刻偏离平衡位置的位移，第n+1原子和第n原子间的相对位移为xn+1-X=

1. 作用势和作用力 第n-2个原子 第n-1个原子 第n个原子 第n+1个原子 第n+2个原子 a xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 3.1.1 一维单原子链的振动 原子质量均为m的原子组成一维原子链，平衡原子间距为a，平衡时最 近邻两原子之间的相互作用势能为u(a)。 xn表示第n原子在t时刻偏离平衡位置的位移, 第n+1原子和第n原子间的 相对位移为xn +1 - xn = 

它们之间的相互作用势能变成a+の，将其在平衡位置附近展开u(a +)=u(a) +(+u(a)为常数,=0。当8很小时，晶格振动很微弱，势能仅保留到（忽略掉作用力中非线性项的近似）二阶项，此即简谐近似。第n原子和第n+1原子间的互作用力为：du-Bsdsd'udr2负号代表原子间作用力的方向与原子之间相对位移的方向相反，故称之为恢复力，β为恢复力常数

它们之间的相互作用势能变成u(a + )， 将其在平衡位置附近展开 u(a)为常数， = 0。当很小时，晶格振动很微弱，势能仅保留到 二阶项，此即简谐近似。（忽略掉作用力中非线性项的近似） 第n原子和第n+1原子间的互作用力为: 负号代表原子间作用力的方向与原子之间相对位移的方向相反，故称 之为恢复力，𝛽为恢复力常数

2.运动方程及其解只考虑近邻原子之间的相互作用，第原子所受到的总作用力β(xn+1xn)-β(xn-Xn-1)=β(xn+1+Xn-1-2xn)第n原子的运动方程为：d2xn=β(xn+1+Xn-1-2xn）mdt2对每个原子都有类似的运动方程，因此方程数目与原子数相同。各个方程都等同，只需要求解一个方程即可了解一维简单晶格的振动情况。由于原子之间存在相互作用，其中一个原子的运动会带动其他原子的运动，在晶体内部会产生格波，当原子偏离平衡位置非常小时，可以用简谐波进行描述。因此，运动方程存在着简谐波形式的解

2. 运动方程及其解 只考虑近邻原子之间的相互作用, 第n原子所受到的总作用力: 第n原子的运动方程为: 对每个原子都有类似的运动方程，因此方程数目与原子数相同。各个方 程都等同，只需要求解一个方程即可了解一维简单晶格的振动情况。 由于原子之间存在相互作用，其中一个原子的运动会带动其他原子的运 动，在晶体内部会产生格波，当原子偏离平衡位置非常小时，可以用简 谐波进行描述。因此，运动方程存在着简谐波形式的解

给出试探解：2元Xn = Aei(qna-wt)波失gA为振幅，q为波失，の为振动角频率。将xn-1,Xn，Xn+1代入运动方程d2xnE7β(xn+1+ xn-1-2xn)mdt2d2xn= -w2Aei(qna-wt)dt2-mw?Aei(qna-wt) = β[Aei[q(n+1)a-wt) + Aei[q(n-1)a-wt) - 2Aei(qna-wt)-mw?=β(eiqa+e-iqa-2)mw? = 4βsin2 992一维简单晶格中格波的色散关系，表示晶格简谐sing]2W=2振动可能的特征频率の与波失q之间的关系

给出试探解： 波矢 A为振幅，q为波矢，为振动角频率。 将xn-1 , xn , xn+1代入运动方程 一维简单晶格中格波的色散关系，表示晶格简谐 振动可能的特征频率与波矢q之间的关系

w3.讨论最大W最大Xn = Aei(qna-wt)(1)波矢g的取值范围若q=+(s为整数),qa0axn(q') = Aei(q'na-wt) = xn(g)B1singw=2m2=4a2元波q变化之后，两a者对同一原子所引起的2=4a/5x振动完全相同。考虑到x,的单值性，将q取值范围限定在[-"，"]，此区间就是一维简单晶格的第一布里渊区

3. 讨论 (1) 波矢q的取值范围 a a  = 4a  = 4a 5 x 波矢q变化 之后，两 者对同一原子所引起的 振动完全相同。 考虑到xn的单值性，将q取值范围限定在 ，此区间就是一维简单晶 格的第一布里渊区

(2)q→0时，波长趋于无穷大。一个波长范围含若干原子，相邻原子的不连续效应很小格波接近于连续媒质中的弹性波。在长波近似的情况下，晶体可视[EIqlcsin~,W=2为连续介质，格波可视为弹性波。Vg=dw/dq=ayβ/mww最大w最大q→0，波速为一常数（连续介质波）(3)频率极值q5Ta0当q=±元/a时，max=2m当q=0时，のmin=02元色散关系具有周期性和对称性：w(-q)=w(q)w(qq+()a

(2) q→0 时，波长趋于无穷大。一个波长范围含若干原子, 相邻原子的不 连续效应很小, 格波接近于连续媒质中的弹性波。 q→0，波速为一常数（连续介质波） (3) 频率极值 当q = 0 时，min=0 色散关系具有周期性和对称性： 在长波近似的情况下，晶体可视 为连续介质，格波可视为弹性波

(4) xn = Aei(qna-wt)上式所描述的原子围绕平衡位置的振动是以行波的形式在晶体中传播的是晶体中原子的一种集体运动形式，这种行波称为格波1=2元/元格波的波长：元=2元/9格波的波失：不同原子间的相位差：n'aq-naq=(n'-n)aq相邻两原子的相位差：（n+1)aq-naq=aq一个格波的解表示所有原子都同时做频率为の,振幅为A的振动，不同原子之间有位相差，相邻原子间的位相差为aq

(4) 上式所描述的原子围绕平衡位置的振动是以行波的形式在晶体中传播的, 是晶体中原子的一种集体运动形式, 这种行波称为格波. 格波的波长: 格波的波矢: 不同原子间的相位差: 相邻两原子的相位差: 一个格波的解表示所有原子都同时做频率为，振幅为A的 振动，不同原子之间有位相差，相邻原子间的位相差为aq