《固体物理导论》课程教学资源（课件讲稿）第三章 晶体振动和晶体的热学性质 第五节 晶体的非简谐效应

第五节晶体的非简谐效应本节主要内容：3.5.1非简谐效应及其本质热传导与非简谐效应3.5.23.5.3热膨胀与非简谐效应

第五节 晶体的非简谐效应 3.5.1 非简谐效应及其本质 本节主要内容: 3.5.2 热传导与非简谐效应 3.5.3 热膨胀与非简谐效应

非简谐效应及其本质3.5.1 简谐近似：auau828+U(R, +8)= U(R.)+!(aR?aR2!1R.Rdu-B8dsdr(1)当原子离开其平衡位置发生位移非常小时，只保留作用势82的项。简谐近似下，原子受到的相邻原子间作用力（恢复力）与该原子的位移成正比。在这种情况下，晶格中的原子振动可以描述成为一系列线性独立的谐振子，各振子间不发生作用，也不交换能量。(2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象

简谐近似： 2 2 2 0 0 0 0 2! 1 (  ) ( )   R R R U R U U R U R            +        + = + (1)当原子离开其平衡位置发生位移非常小时，只保留作用势 2的项。简 谐近似下，原子受到的相邻原子间作用力（恢复力）与该原子的位移成 正比。在这种情况下，晶格中的原子振动可以描述成为一系列线性独立 的谐振子，各振子间不发生作用，也不交换能量。 3.5.1 非简谐效应及其本质 (2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传 递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。 用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象

晶体的非简谐效应：a3uauau28+U(Ro +)= U(Ro)+aRaR3aR?3!RR.R微扰项能量声子间有系统达到微扰项交换相互作用热平衡考虑高阶项，谐振子就不再相互独立，相互之间要发生作用，声子通过交换能量，某些频率的声子可能产生，某些频率的声子可能消失，各种声子的分布也才能达到平衡。晶格振动的非简谐效应可以可以看成是两个声子的相互碰撞，最后产生第三个声子的过程

晶体的非简谐效应： +              +            +        + = + 3 3 3 2 2 2 0 0 0 0 0 3! 1 2! 1 (  ) ( )    R R R R U R U R U U R U R 微扰项 声子间有 相互作用 能量 交换 系统达到 热平衡 考虑高阶项，谐振子就不再相互独立，相互之间要发生作用，声子通过交 换能量，某些频率的声子可能产生，某些频率的声子可能消失，各种声子 的分布也才能达到平衡。 微扰项 晶格振动的非简谐效应可以可以看成是两个声子的相互碰撞，最后产生第 三个声子的过程

声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒hw1 +hw2 = hw3N-Processq1 + q2= q3波失具有周期性，波失(9+K)表示的晶格振动状态与波失的振动状态完全一样，表示倒格失i + q2 = q3 + Kh当91十92超出第一布里渊区时，对该波矢增加一个倒格矢使其回到第一布里渊区。U-Process(1) K,= 0 ---正常过程(N过程);1.92间的夹角为锐角，各波失的模值均较小。(2)K h≠0---倒逆过程(Umklapp过程)。9192,93至少有两个的模值较大，往往夹角也大

声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒 (1) K h = 0 -正常过程( N过程)； (2) K h  0 -倒逆过程( Umklapp过程)。 间的夹角为锐角，各波矢的模值均较小。 至少有两个的模值较大，往往夹角也大。 波矢 具有周期性，波矢 表示的晶格振动状 态与波矢 的振动状态完全一样， 表示倒格矢 当 超出第一布里渊区时，对该波矢增加一个 倒格矢使其回到第一布里渊区

3.5.2热传导与非简谐效应当晶体中温度不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，直至各处温度相等达到新的热平衡，这种现象称为热传导。1.热力学理论如果晶体内存在温度梯度（温度增加的方向作为正方向），则在晶体内将有能流密度：单位时间通过单位面积的热能。dTi=-K为热传导系数或热导率(为正值)。dx负号表明热能传输总是从高温区流向低温区。电子热导电子运动导热（金属）晶体热传导晶格热导格波的传播导热（绝缘体、半导体）

3.5.2 热传导与非简谐效应 当晶体中温度不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，直至各处温 度相等达到新的热平衡, 这种现象称为热传导。 x T j d d = − 为热传导系数或热导率(为正值)。 负号表明热能传输总是从高温区流向低温区。 晶体热传导 电子热导 晶格热导 电子运动导热(金属) 格波的传播导热(绝缘体、半导体) 如果晶体内存在温度梯度（温度增加的方向作为正方向），则在晶体内将有 能流密度 j：单位时间通过单位面积的热能。 1.热力学理论

2.热传导的声子理论当样品中存在温度梯度时，“声子气体”的密度分布是不均匀的。温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较大的振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子”密度高，当这些振动模式以格波形式传播至晶体的低温区时，这此声子通过和晶体中其他声子发生碰撞，使得温度较低的区域具有同样的“声子”密度。因而“声子”在无规则运动的基础上产生定向运动一一声子的扩散，相应的热量从晶体较高温度区域传到温度较低区域高温区低温区hoKB扩散声子数声子数密度大密度小

当样品中存在温度梯度时, “声子气体”的密度分布是不均匀的。温度较 高的区域将有产生较多的振动模式和具有较大的振动幅度, 即有较多的声 子被激发, “声子”密度高, 当这些振动模式以格波形式传播至晶体的低 温区时，这些声子通过和晶体中其他声子发生碰撞, 使得温度较低的区域 具有同样的“声子”密度。因而“声子”在无规则运动的基础上产生定向 运动——声子的扩散, 相应的热量从晶体较高温度区域传到温度较低区域. 2.热传导的声子理论 e 1 1 B − = k T n  声子数 密度大 声子数 密度小 扩散 低 温 区 高 温 区

声子相互之间将发生碰撞，声子也会与晶体中的缺陷发生碰撞。声子在晶体内部的传播存在着一个自由路程l：两次碰撞之间声子所走过的路程。dT则晶体假设晶体内的温度梯度为△T =-Idx,dx内距离为/的高低温区的温度差为：当声子移动距离/时，把单位体积内cT的热量从高温区传递到低温区。J = (c△T)ux假定声子在晶体中沿x方向的平均运动速度为，则=-cux/T单位时间内通过单位面积的热量，即能流密度为：dxdT若代表声子发生两次碰撞经历的时间，则l=uxtJ = -cvzt22Ldx式中x?应该是对所有声子取平均值，即为Vl.dT1dT-1cv2cul .由能量均分定理=3Udx人3dx

声子相互之间将发生碰撞，声子也会与晶体中的缺陷发生碰撞。声子在晶 体内部的传播存在着一个自由路程l：两次碰撞之间声子所走过的路程。 假设晶体内的温度梯度为 ，则晶体 内距离为l的高低温区的温度差为： 当声子移动距离l时，把单位体积内𝑐𝛥𝑇的热量从高温区传递到低温区。 假定声子在晶体中沿x方向的平均运动速度为vx , 则 单位时间内通过单位面积的热量，即能流密度为： 若代表声子发生两次碰撞经历的时间，则𝑙=𝜐𝑥 𝜏 式中𝜈𝑥 2应该是对所有声子取平均值，即为 由能量均分定理

c单位体积热容，[--声子自由程，声子平culK=3均速度(常取固体中声速)。3.K与T的关系基本与温度无关，C.和l与温度密切相关Cv=3NkB1)高温时，T>>9,kThahohoKD1T个→n个→小lαK8T

3. 与T的关系 1)高温时，T>>D B C 3 N k V = e 1 1 B − = k T n    k T k T B B 1 1 1 = −        +  T 1   c单位体积热容， l-声子自由程， 声子平 均速度(常取固体中声速)。 基本与温度无关，Cv和l与温度密切相关 T  → n → l

1(2)低温时, T<<G)cilKK=3ho1RneNh.0kBTTl α eA/Tα T3, K α T3eA实际上热导系数并不会趋向无穷大。T→0.K→0因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。对于完整的晶体，l=D(D为晶体线度)。低温时：xαT

(2)低温时，T<<D e 1 1 B − = k T n  T A k T − −  e = e B   , 3 C V  T T , T A e 3   T → 0 , 3   T  →  因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会 非常大。对于完整的晶体，l = D (D为晶体线度)。 实际上热导系数并不会趋向无穷大。 低温时：

3.5.3热膨胀与非简谐效应不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。BA1.物理图象U(r)假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置R.附近作振动，离开平衡位置的位移用表示，势能在平衡位置附近展开：a3UauaSS+U(Ro +) = U(Ro) +aR?3 (aR3aR2!RRR.0

3.5.3 热膨胀与非简谐效应 不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。 假设有两个原子，一个在原点固定 不动，另一个在平衡位置R0附近作 振动，离开平衡位置的位移用表示， 势能在平衡位置附近展开： +              +            +        + = + 3 3 3 2 2 2 0 0 0 0 0 3! 1 2! 1 (  ) ( )    R R R R U R U R U U R U R 0 1.物理图象