北京大学：量子霍尔效应（物理学院：王韩腾、李欣蔚、张子豪）

量子霍尔效应王韩腾，李欣蔚，张子豪（北京大学物理学院2013年6月4日）摘要：量子霍尔效应的发现是新兴低维凝聚态物理发展中的一件大事，分数量子霍尔效应的发现更是开创了一个研究多体现象的新时代，并将影响到物理学的很多分支。这个领域两次被授予诺贝尔物理学奖，引起了人们很大的兴趣。文章介绍了霍尔效应的发展历程，主要包括1897年霍尔效应、1980年冯·克利青发现整数量子霍尔效应、1982年崔琦等发现的分数量子霍尔效应以及最近才由薛其坤带领团队所完成的反常量子霍尔效应。本文最后讨论量子霍尔效应在实际中的应用。关键词：霍尔效应；量子霍尔效应；反常霍尔效应；应用经典霍尔效应一、1879年，霍尔在研究载流导体在磁场中的受力性质时发现：在均匀磁场B中放入一块板状金属导体，当电流垂直于磁场B方向流过导体时，在垂直于电流和磁场的方向导体两侧会产生一个横向电场。这种现象便是经典霍尔效应。在电子发现之前，人们不能认识到霍尔效应现象产生的本质，直到19世纪末电子的发现以及对电子研究的不断深入，使霍尔效应的理论研究不断取得突破性的成果。由于霍尔效应的大小直接与样品中的载流子浓度相关，故在凝聚态物理领域获得了广泛的应用，成为金属和半导体物理中一个重要的研究手段，现在我们考虑用最经典的Drude的自由电子气模型来分析霍尔效应（原理图见图1），在电场E与磁场B同时存在的情形下，单电子准经典动力学方程为=-e(E+vxB)-P(1.1)dtT考虑稳态情况=0，电流密度J=-env，则(1.1)式写为分量形式dt

量子霍尔效应 王韩腾，李欣蔚，张子豪 （北京大学物理学院 2013 年 6 月 4 日） 摘要：量子霍尔效应的发现是新兴低维凝聚态物理发展中的一件大事，分数量子 霍尔效应的发现更是开创了一个研究多体现象的新时代，并将影响到物理学的很 多分支。这个领域两次被授予诺贝尔物理学奖，引起了人们很大的兴趣。文章介 绍了霍尔效应的发展历程，主要包括 1897 年霍尔效应、1980 年冯·克利青发现 整数量子霍尔效应、1982 年崔琦等发现的分数量子霍尔效应以及最近才由薛其 坤带领团队所完成的反常量子霍尔效应。本文最后讨论量子霍尔效应在实际中的 应用。 关键词：霍尔效应；量子霍尔效应；反常霍尔效应；应用 一、 经典霍尔效应 1879 年，霍尔在研究载流导体在磁场中的受力性质时发现：在均匀磁场 B 中放入一块板状金属导体，当电流垂直于磁场 B 方向流过导体时，在垂直于电 流和磁场的方向导体两侧会产生一个横向电场。这种现象便是经典霍尔效应。 在电子发现之前，人们不能认识到霍尔效应现象产生的本质，直到 19 世纪 末电子的发现以及对电子研究的不断深入，使霍尔效应的理论研究不断取得突破 性的成果。由于霍尔效应的大小直接与样品中的载流子浓度相关，故在凝聚态物 理领域获得了广泛的应用，成为金属和半导体物理中一个重要的研究手段。 现在我们考虑用最经典的 Drude 的自由电子气模型来分析霍尔效应（原理图 见图 1），在电场 E 与磁场 B 同时存在的情形下，单电子准经典动力学方程为 dp dt = −e(E + v × B) − p τ (1.1) 考虑稳态情况 dp dt = 0 ，电流密度 J = −env ，则(1.1)式写为分量形式

电场力方向电子运动方向磁场力方向+++图1：霍尔效应示意图O.E, =J +WTJ(1.2)OE,=-O,tJ,+JeBne称为回旋频率，6。其中の。为未加磁场下的电导率。mmt当y方向没有电流时，y方向会有稳定的电场E，出现，由(1.2)立即得到B(1.3)E,=neE，可理解为与电子所受洛伦兹力相平衡的电场。由此定义霍尔系数E,1(1.4)R.=J.Bne霍尔系数仅依赖于自由电子气的电子密度，与金属的其他参数无关。这是一个非常简单的结果，提供了对自由电子气体模型正确性最直接的检验方式。一些金属元素室温下的霍尔系数[1]元素zR/(10-°m2C-)-1/Rμne1Li-1.70.81Na-2.51.0K1-4.21.1Cu11.3-0.55Ag11.3-0.841Au-0.721.5

图 1：霍尔效应示意图 σ 0Ex = Jx +ωc τ Jy σ 0Ey = −ωc τ Jx + Jy ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ (1.2) 其中ωc = eB m 称为回旋频率，σ 0 = ne 2 mτ 为未加磁场下的电导率。 当 y 方向没有电流时，y 方向会有稳定的电场 出现，由(1.2)立即得到 Ey = − B ne Jx (1.3) 可理解为与电子所受洛伦兹力相平衡的电场。 由此定义霍尔系数 RH = Ey JxB = − 1 ne (1.4) 霍尔系数仅依赖于自由电子气的电子密度，与金属的其他参数无关。这是一 个非常简单的结果，ᨀ供了对自由电子气体模型正确性最直接的检验方式。 一些金属元素室温下的霍尔系数[1] 元素 Z RH/(10-10m3 C-1 ) -1/RHne Li 1 -1.7 0.8 Na 1 -2.5 1.0 K 1 -4.2 1.1 Cu 1 -0.55 1.3 Ag 1 -0.84 1.3 Au 1 -0.72 1.5 Ey Ey

2Be-0.10+2.442Zn+0.33-1.4Cd2-1.1+0.60Al3-3.00.1关于上述数据的两点讨论：（1）从电子气体理论上，有结果-1/Rne应该为1。从表中可以看出，对一价碱金属符合的很好，对一价贵金属就符合较差。而对于一些二、三价金属就连符号都预言地是相反的，仿佛此时的载流子是带正电的，这是自由电子气体模型所无法解释的。派尔斯（1928年）曾对这种符号反常现象进行了解释。这种不能采用自由电子气解释并会给出正号的载流子，后来海森堡称之为“空穴”，利用能带理论能够给出很自然的解释。（2）横向磁阻表示在与电流方向垂直的外磁场作用下，在电流方向电阻的变化此处即电阻率p(B)=E./J.的变化。对于稳态情形（即y方向没有电流），由(1.2)给出J=α.E,，意味着自由电子气横向磁阻为零。但对于金属的测量表明，实际上往往不为零，有时甚至相当大。虽然自由电子气模型在以上两方面无法给出准确的实验结果，但是对下面讨论1980年发现的整数量子霍尔效应却是相当不错的。为了接下来讨论整数量子霍尔效应的方便，我们需要由(1.2)引入电导率张量（称为静态磁致电导率张量)：0-0,ta6=10(1.5)w,t1+(0,t)01+(0,t)20其中ox，o.分别称为电导率张量的纵向分量和横向分量。求电导率张量的逆矩阵自然地就得到电阻率张量的各个分量。一般性在实验中，如果使用的是霍尔电压法，则可以精确地测量p和pry，而使用霍尔电流法则直接得到和。的值

Be 2 +2.44 -0.10 Zn 2 +0.33 -1.4 Cd 2 +0.60 -1.1 Al 3 -3.0 0.1 关于上述数据的两点讨论： （1） 从电子气体理论上，有结果-1/RHne 应该为 1。从表中可以看出，对一价 碱金属符合的很好，对一价贵金属就符合较差。而对于一些二、三价金属 就连符号都预言地是相反的，仿佛此时的载流子是带正电的，这是自由电 子气体模型所无法解释的。 派尔斯（1928 年）曾对这种符号反常现象进行了解释。这种不能采用自 由电子气解释并会给出正号的载流子，后来海森堡称之为“空穴”，利用 能带理论能够给出很自然的解释。 （2） 横向磁阻表示在与电流方向垂直的外磁场作用下，在电流方向电阻的变化， 此处即电阻率 的变化。对于稳态情形（即 y 方向没有电流）， 由(1.2)给出 ，意味着自由电子气横向磁阻为零。但对于金属的 测量表明，实际上往往不为零，有时甚至相当大。 虽然自由电子气模型在以上两方面无法给出准确的实验结果，但是对下面讨 论 1980 年发现的整数量子霍尔效应却是相当不错的。为了接下来讨论整数量子 霍尔效应的方便，我们需要由(1.2)引入电导率张量 （称为静态磁致电导率张 量）：  σ = σ 0 1+ ωc ( τ ) 2 1 −ωc τ 0 ωc τ 1 0 0 0 1+ ωc ( τ ) 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (1.5) 其中σ xx ，σ xy分别称为电导率张量的纵向分量和横向分量。 求电导率张量的逆矩阵自然地就得到电阻率张量的各个分量。一般性在实 验中，如果使用的是霍尔电压法，则可以精确地测量 ρxx 和 ρxy ，而使用霍尔电流 法则直接得到σ xx 和σ xy的值。 ρ(B) = Ex Jx Jx = σ 0Ex σ ij

量子霍尔效应11.整数量子霍尔效应（IQHE）1980年德国物理学家冯·克利青（K.VonKlitzing）等多次研究在处于极低温度1.5K和强磁场18T的作用下，硅的金属-氧化物-半导体场效应晶体管（MOSFET），在二维体系的霍尔效应实验中，发现了一个与经典霍尔效应完全不同的现象（实验结果见图2)：(1)当门电压（用于控制样品的载流子浓度）到某一定值，在电流方向上的电压V毫无争议地趋于零，仿佛有效电导是无穷大。(2)在门电压具有相同间隔的位置附近出现一系列霍尔电压平台；在这些平台处，霍尔电阻率p=V（即的倒数）都精确地等于（25813/整数）欧姆，其中25813是以欧姆给出的h/e2的值。P-SUBSTRATEUy/mvUppimvHALLPROBE+DRAIN252.5TSURFACESOURCE十GATE2020POTENTIALPROBES15/15Upp10105+0.5155102025Vg/V图2：首次IOHE测量结果。其中磁场（180T）由纸面向外，温度为1.5K。在源极与漏极之间有一个1uA的稳恒电流，电压V.与V.均作为门电压V。的函数画出其变化曲线，V。与费米能级成比例。引自K.vonKlitzing,G.Dorda,andM.Pepper/3]令人惊诉的是平台值折算成p后，与h/(ve2）（v=1,2,3...）的相对误差在

二、 量子霍尔效应 1. 整数量子霍尔效应（IQHE） 1980 年德国物理学家冯·克利青（K. von Klitzing）等多次研究在处于极低 温度 1.5K 和强磁场 18T 的作用下，硅的金属-氧化物-半导体场效应晶体管 （MOSFET），在二维体系的霍尔效应实验中，发现了一个与经典霍尔效应完全 不同的现象（实验结果见图 2）： （1） 当门电压（用于控制样品的载流子浓度）到某一定值，在电流方 向上的电压 Vx毫无争议地趋于零，仿佛有效电导 是无穷大。 （2） 在门电压具有相同间隔的位置附近出现一系列霍尔电压平台；在 这些平台处，霍尔电阻率 =VH/Ix（即 的倒数）都精确地等 于（25813/整数）欧姆，其中 25813 是以欧姆给出的 h/e2的值。 图 2：首次 IQHE 测量结果。其中磁场（180T）由纸面向外，温度为 1.5K。在源极与漏极之 间有一个 1μA 的稳恒电流，电压 Vpp与 VH均作为门电压 Vg的函数画出其变化曲线，Vg与费米 能级成比例。引自 K. von Klitzing, G.Dorda, and M. Pepper[3] 令人惊讶的是平台值折算成 后，与 （ ）的相对误差在 σ eff ρyx σ yx ρyx h (νe 2 ) ν = 1,2,3

首次实验中即小于10-5。目前，平台平整度已达到10-8，绝对值的精度已达到10-7。实验还表明，与材料体系是SiMOSFET还是GaAs-AIGaAs异构体结构，载流子是电子还是空穴，以及样品的几何等无关，上述结果是一种普适现象。由于其精确性、稳定性和可复现性，量子霍尔电阻h/(ve）已被正式定为电阻的计量标准。为了解释霍尔效应中霍尔电导的精确量子化效应，下面介绍Laughlin的规范理论（1981年）[4：考虑如图3所示的二维圆筒。圆筒的周长（x方向）为L，外加磁场B处处垂直于圆筒的表面。假设圆筒的中心由于电流而产生了额外的磁通量Φ，那么一个电子的等效哈密顿量中的磁失势就由两部分构成：B引起的A、磁通Φ引起的A,.图3：左图：环状的金属带，沿电流方向称为x轴，金属带宽度方向y轴。右图：态密度随能量的分布；右上是没有杂质的朗道能级，右下虚线为费米能。引自R.B.Laughlin不难看出：A,=Φ/L(2.1)那么体系中沿着x方向的电流I可以表示成（注：以下推导使用高斯制）au_caI=c(2.2)LaA其中U是体系的能量。实际上，我们可以通过规范变换(2.3)A→A+Vff=-Ax将哈密顿量中的A。消去，不过这时波函数要进行如下变换：

首次实验中即小于 10-5。目前，平台平整度已达到 10-8，绝对值的精度已达到 10-7。实验还表明，与材料体系是 Si MOSFET 还是 GaAs-AlGaAs 异构体结构， 载流子是电子还是空穴，以及样品的几何等无关，上述结果是一种普适现象。由 于其精确性、稳定性和可复现性，量子霍尔电阻 已被正式定为电阻的计 量标准。 为了解释霍尔效应中霍尔电导σ xy的精确量子化效应，下面介绍 Laughlin 的 规范理论（1981 年）[4]： 考虑如图 3 所示的二维圆筒。圆筒的周长（x 方向）为 L，外加磁场 B 处处 垂直于圆筒的表面。假设圆筒的中心由于电流而产生了额外的磁通量Φ ，那么一 个电子的等效哈密顿量中的磁矢势就由两部分构成：B 引起的 A、磁通Φ 引起的 Ag。 图 3：左图：环状的金属带，沿电流方向称为 x 轴，金属带宽度方向 y 轴。右图：态密度随 能量的分布；右上是没有杂质的朗道能级，右下虚线为费米能。引自 R. B. Laughlin[4] 不难看出： (2.1) 那么体系中沿着 x 方向的电流 I 可以表示成（注：以下推导使用高斯制） (2.2) 其中 U 是体系的能量。 实际上，我们可以通过规范变换 A→ A+ ∇f ， (2.3) 将哈密顿量中的 Ag消去，不过这时波函数要进行如下变换： h (νe 2 ) Ag = Φ / L I = c ∂U ∂Φ = c L ∂U ∂Ag f = −Ag x

(2.4)y(x, y)→y(x, y)exp(-ieA,x / hc)为了使存在A，与否不改变物理问题，这时波函数需要满足周期性边界条件：(2.5)y(x,y)=y(x+ L,y)那么由(2.4)及(2.5)得到：(2.6)exp(ieA,L /hc)=exp[2元i(@ /)]=1即要求Φ=no(2.7)其中，n为整数d=hc/e是磁通量子一般地，当磁通量Φ的大小不满足量子化条件(2.7)时，存在A。与不存在A，的情形是不等价的，这时电子状态是受到磁通量Φ的影响。下面我们具体来看看电子状态是如何受磁通量Φ变化的影响。考虑如下形式单电子哈密顿量17(p+=A)H= +eEoy(2.8)2ml其中Eo表示y方向的电场强度。取朗道规范A=-yBer，则哈密顿量化为[(p.-B] +P +eyH:(2.9)2mC可以证明，上面哈密顿量的本证波函数具有如下形式：(2.10)Yk.(x,y)= e*e.(y)将(2.10)代入定态薛定调方程(2.11)Hykn=Exnkn由于哈密顿量不显含坐标x，所以有-By) +P +eEy 9,(0)=Ex,(0)hk-(2.12)2ma经过恒等变形16-mo（y-）+eE.y+,(y)= Ex.,() (2.13)-m2m ay?hk1cEo其中y0.=eB/ mcB.m

(2.4) 为了使存在 Ag与否不改变物理问题，这时波函数需要满足周期性边界条件： (2.5) 那么由(2.4)及(2.5)得到： (2.6) 即要求 (2.7) 其中，n 为整数 是磁通量子 一般地，当磁通量 的大小不满足量子化条件(2.7)时，存在 Ag 与不存在 Ag 的情形是不等价的，这时电子状态是受到磁通量 的影响。下面我们具体来 看看电子状态是如何受磁通量 变化的影响。考虑如下形式单电子哈密顿量 H = 1 2m p + e c A ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 + eE0 y (2.8) 其中 E0 表示 y 方向的电场强度。取朗道规范 A = −yBex ，则哈密顿量化为 H = 1 2m pˆ x − e c By ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 + pˆ y 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + eE0 y (2.9) 可以证明，上面哈密顿量的本证波函数具有如下形式： ψ k,n (x, y) = e ikx ϕn (y) (2.10) 将(2.10)代入定态薛定谔方程 Hψ k,n = Ek,n ψ k,n (2.11) 由于哈密顿量不显含坐标 x，所以有 1 2m k − e c By ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 + pˆ y 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + eE0 y ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ ϕn (y) = Ek,n ϕn (y) (2.12) 经过恒等变形 − 2 2m ∂2 ∂y 2 + 1 2 mωc 2 y − y ( 0 ) ⎡ 2 ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + eE0 y0 + 1 2 m cE0 B ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ ϕn (y) = Ek,nϕn (y) (2.13) 其中 y0 = 1 ωc − k m − cE0 B ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ，ωc = eB / mc ψ (x, y)→ψ (x, y)exp(−ieAg x / c) ψ (x, y) =ψ (x + L, y) exp(ieAgL / c) = exp[2πi(Φ /φ0 )] = 1 Φ = nφ0 φ0 = c / e Φ Φ Φ

不难看出（2.13）是谐振子的定态薛定方程（差了一个平移项），故其本征能量E，与本征波函数可以直接写出CcE)no.+Eoyo+2mlEk.n =n+:(2.14)LB2）:k.n(x,y)=e*p,(y-yo)(2.15)ho,产生了从(2.14)可以看出，外加电场E的作用仅仅是将朗道能级n+cE的平移，对朗道能级的结构特征没有影响。大小为eEy+元2"B本征波函数(2.15)通过其中心坐标%受磁矢势增量△A。=△Φ/L的影响，即% -A, / B(2.16)由(2.14)可知，本征能量的变化与AA,成比例，将(2.2)化为改变量形式1=cAU(2.17)Ad考虑费米能级位于能隙中的情形，当磁通量Φ绝热地变化磁通量子%=hc/e时（即AΦ=%），由于规范不变性，体系回到原来状态，总的效果是有v个电子由体系的一端（y=0）移动到体系的另一端（y=Ly）。因此能量变化为AU=veVH(2.18)其中V是圆筒两边缘沿y方向电压，即霍尔电压由(2.17)及(2.18)马上得到：e?(2.19)Vh马上我们就得到霍尔电导-ve?(2.20)0,=VT至此，我们很愉快地给出了在霍尔平台上的霍尔电导的结果。但是Laughlin的规范理论，对于整数v应该等于什么并没有给出证明，而只是简单地假定整数V是费米能级以下的能级数目，即有v个朗道能级被电子填充。以上我们在解释整数霍尔效应时都是用的单电子模型，即既忽略了电子-电子相互作用，由忽略了电子-晶格相互作用，仅仅考虑了在强磁强B和霍尔电压

不难看出(2.13)是谐振子的定态薛定谔方程（差了一个平移项），故其本征 能量 Ek,n 与本征波函数可以直接写出 Ek,n = n + 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ωc + eE0 y0 + 1 2 m cE0 B ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 (2.14) ψ k,n (x, y) = e ikx ϕn (y − y0 ) (2.15) 从(2.14)可以看出，外加电场 E0的作用仅仅是将朗道能级 n + 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ωc 产生了 大小为eE0 y0 + 1 2 m cE0 B ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 的平移，对朗道能级的结构特征没有影响。 本征波函数(2.15)通过其中心坐标 y0 受磁矢势增量 ΔAg = ΔΦ / L 的影响，即 y0 → y0 − ΔAg / B (2.16) 由(2.14)可知，本征能量的变化与ΔAg 成比例，将(2.2)化为改变量形式 I = c ΔU ΔΦ (2.17) 考虑费米能级位于能隙中的情形，当磁通量 绝热地变化磁通量子 时（即 ΔΦ = φ0 ），由于规范不变性，体系回到原来状态，总的效果是 有ν 个电子由体系的一端（y=0）移动到体系的另一端（y=Ly）。因此能量变化为 ΔU = νeVH (2.18) 其中VH 是圆筒两边缘沿 y 方向电压，即霍尔电压 由(2.17)及(2.18)马上得到： I = ν e 2 h VH (2.19) 马上我们就得到霍尔电导 σ xy = ν e 2 h (2.20) 至此，我们很愉快地给出了在霍尔平台上的霍尔电导的结果。但是 Laughlin 的规范理论，对于整数ν 应该等于什么并没有给出证明，而只是简单地假定整数 ν 是费米能级以下的能级数目，即有ν 个朗道能级被电子填充。 以上我们在解释整数霍尔效应时都是用的单电子模型，即既忽略了电子-电 子相互作用，由忽略了电子-晶格相互作用，仅仅考虑了在强磁强 B 和霍尔电压 Φ φ0 = c / e

V.产生的效应。这种忽略可以简单并且很好的解释整数量子霍尔效应，然而却无法从理论上预言接下来的新结果：分数量子霍尔效应（FQHE）2.分数量子霍尔效应（FQHE）虽然发现整数量子霍尔效应给我们带来广薪新的物理内容，伯是理解它所需的理论工作却在当时以及具备。与此对照，1982年，崔琦等人发现的分数量子霍尔效应，在理论上提出了全新的问题。目前，人们已经知道，分数量子霍尔基态是具有很强相关的二维电子液体。近年，凝聚态物理中许多重大的发现都与这类二维强相关电子体系有着密切的联系。分数量子霍尔效应是多体问题中相当成功地进行了理论解释的，但是在实际应用中，分数量子霍尔效应还没有特别重要的应用。下面介绍分数霍尔效应的发现实验。1982年，美籍华人物理学家崔琦以及施特默进一步研究量子霍尔效应（实验结果见图4），他们在更低的温度、更强的磁场的条件下，在更纯净的样品GaAs-AIGaAs异质结界面上建立一个量子，限制电子成为二维电子气。当温度降至0.1K、磁场增加20T时，观测到霍尔电阻平台具有更精细的台阶结构。这些平台对应的不是原来量子霍尔效应的整数值，而是分数值，因而称为分数量子霍尔效应。FILLINGFACTORV1/31/42/31/24324FT0.48KLUTm21.00m.38图4：图为GaAs-AIGaAs样品的分(20/)0.48K数量子霍尔实验，p，和p随磁场B110 (ka)p的变化。样品载流子浓度n=1.23×10"/cm2，控制电流I=1μA，1.00K朗道能级填充因子v=nh/eB引自：D.C.Tsui(6]1.65K10(ka/0)R.15h50100150200MAGNETICFIELDB(KG)

VH 产生的效应。这种忽略可以简单并且很好的解释整数量子霍尔效应，然而却 无法从理论上预言接下来的新结果：分数量子霍尔效应（FQHE） 2. 分数量子霍尔效应（FQHE） 虽然发现整数量子霍尔效应给我们带来了崭新的物理内容，但是理解它所需 的理论工作却在当时以及具备。与此对照，1982 年，崔琦等人发现的分数量子 霍尔效应，在理论上ᨀ出了全新的问题。目前，人们已经知道，分数量子霍尔基 态是具有很强相关的二维电子液体。近年，凝聚态物理中许多重大的发现都与这 类二维强相关电子体系有着密切的联系。 分数量子霍尔效应是多体问题中相当成功地进行了理论解释的，但是在实际 应用中，分数量子霍尔效应还没有特别重要的应用。 下面介绍分数霍尔效应的发现实验。 1982 年，美籍华人物理学家崔琦以及施特默进一步研究量子霍尔效应（实 验结果见图 4），他们在更低的温度、更强的磁场的条件下，在更纯净的样品 GaAs-AlGaAs 异质结界面上建立一个量子阱，限制电子成为二维电子气。当温 度降至 0.1K、磁场增加 20T 时，观测到霍尔电阻平台具有更精细的台阶结构。 这些平台对应的不是原来量子霍尔效应的整数值，而是分数值，因而称为分数量 子霍尔效应。 图 4：图为 GaAs-AlGaAs 样品的分 数量子霍尔实验，ρxy 和 ρxx 随磁场 B 的变化 。样品载流子 浓 度 n=1.23×1011/cm2 ，控制电流 I=1μA， 朗道能级填充因子ν = nh / eB 引自：D. C. Tsui[6]

我们具体来看下崔琦等人的实验结果：当填充因子V>1时，随着磁场B的增加，费米能级通过朗道能级能隙中的局域态，在i=4，3，2和1处出现整数量子霍尔效应。当V<1（称为极端量子极限），温度等于4.15K时，P和p.对磁场的依存关系都呈线性，与自由电子模型所预言的结果相一致。随着温度的降低，在V=1/3附近，偏离自由电子的行为变得越来越明显。当温度T=0.48K时，这种偏离在pz-B曲线上发展成为明显的极小。在相应的p-B曲线上出现量子数为1/3的霍尔平台，即p=3h/e?。另外，在T=0.48K时，在V=2/3附近有一个很弱的结构。崔琦等人的发现触发了大量独创性的实验研究工作。迄今为止，已报道了大量的使用具有更高迁移率的样品，在更低温度和更强磁场条件下进行的实验，以至人们发现了各种不同的分数填充因子v的霍尔效应。关于分数量子霍尔效应，Laughlin也提出了自已的理论，其核心内容是Laughlin波函数，它描述的体系是强关联量子液体。鉴于这个理论的复杂性，就不在本文中详细的介绍，只是简单地指出这是一个对v=1/m（m为奇数）的非常成功的解释。因为这项工作使得Laughlin同崔琦、Stormer共同分享了1998年的诺贝尔物理学奖。三、历反常霍尔效应1．反常霍尔效应在铁磁性的金属材料样品中，横向电阻率P除了包含和磁感应强度B有关的一项之外，还有一项是和样品的磁化强度M大小有关的反常项，当样品达到饱和磁化强度M,时，它就变成了常数。实验测得的P和B的关系曲线下页如图5所示：可以看出，先随p，迅速线性增加，经过一个拐点达到饱和之后线性缓慢增加。显然，这一现象不能用磁场的洛伦兹力来解释。因而，通常人们称这种现象为反常霍尔效应。根据经验公式：(3.1)P,=RB+4元RM其中R称为反常霍尔系数，通常它大于常规霍尔系数R，至少一个量级以上且强烈依赖于温度。在铁磁性金属中，即使没有外加磁场B，也会出现霍尔电压

我们具体来看下崔琦等人的实验结果： 当填充因子ν >1时，随着磁场 B 的增加，费米能级通过朗道能级能隙中的 局域态，在 i=4，3，2 和 1 处出现整数量子霍尔效应。当ν <1（称为极端量子极 限），温度等于 4.15K 时， ρxy 和 ρxx 对磁场的依存关系都呈线性，与自由电子模 型所预言的结果相一致。随着温度的降低，在ν =1/ 3附近，偏离自由电子的行 为变得越来越明显。当温度 T=0.48K 时，这种偏离在 ρxx − B曲线上发展成为明 显的极小。在相应的 ρxy − B曲线上出现量子数为1/ 3的霍尔平台，即 ρxy = 3h / e 2 。 另外，在 T=0.48K 时，在ν = 2 / 3附近有一个很弱的结构。 崔琦等人的发现触发了大量独创性的实验研究工作。迄今为止，已报道了大 量的使用具有更高迁移率的样品，在更低温度和更强磁场条件下进行的实验，以 至人们发现了各种不同的分数填充因子ν 的霍尔效应。 关于分数量子霍尔效应，Laughlin 也ᨀ出了自己的理论，其核心内容是 Laughlin 波函数，它᧿述的体系是强关联量子液体。鉴于这个理论的复杂性，就 不在本文中详细的介绍，只是简单地指出这是一个对ν = 1/ m （m 为奇数）的非 常成功的解释。因为这项工作使得 Laughlin 同崔琦、Stormer 共同分享了 1998 年的诺贝尔物理学奖。 三、 反常霍尔效应 1. 反常霍尔效应 在铁磁性的金属材料样品中，横向电阻率 ρxy 除了包含和磁感应强度 B 有关 的一项之外，还有一项是和样品的磁化强度 M 大小有关的反常项，当样品达到 饱和磁化强度 Ms 时，它就变成了常数。实验测得的 ρxy 和 B 的关系曲线下页如 图 5 所示： 可以看出，先随 ρxy 迅速线性增加，经过一个拐点达到饱和之后线性缓慢增 加。显然，这一现象不能用磁场的洛伦兹力来解释。因而，通常人们称这种现象 为反常霍尔效应。根据经验公式： ρxy = R0B + 4π RsM (3.1) 其中Rs称为反常霍尔系数，通常它大于常规霍尔系数R0至少一个量级以上， 且强烈依赖于温度。在铁磁性金属中，即使没有外加磁场B，也会出现霍尔电压

Payt4元MRP,-R,B+4nRMB图5：反常霍尔效应P.和B的关系曲线对于反常霍尔效应有很多种理论解释，目前最为通行的是从自旋-轨道耦合的角度来解释这一现象。1954年，Karplus和Luttinger从理论上研究了自旋-轨道耦合作用对自旋极化巡游电子的输运影响，并提出了反常霍尔效应的内票机制。在哈密顿量中加入一项来表示电子在磁化介质中的轨道-自旋耦合：(3.2)Hspli=hm·s在理想晶体中，按照布洛赫波定律，波函数：Iy,(k,r)=eu,(k,r)(3.3)其中n是能带指标，k是波矢，r是空间坐标。晶体中载流子在外加电磁场中的准经典运动可以用布洛赫波函数组成的波包来表示，由理论推导可以得到：+-10-kx0(3.4)h akk=-(E+ixB)(3.5)h其中为贝里曲率：2, =-Im(V,u/×/V,u,)(3.6)可以看出运动方程右边的第二项就是前面提到的反常速度，它和B无关，方向垂直于E。正是这个反常速度给出反常霍尔效应的内烹根据。利用波尔兹曼输运理论，积分整个布里渊区内所有占据能带的贝里曲率：2(k)=Zf,2;(k)(3.7)

图 5：反常霍尔效应 ρxy 和 B 的关系曲线 对于反常霍尔效应有很多种理论解释，目前最为通行的是从自旋-轨道耦合 的角度来解释这一现象。1954年，Karplus 和 Luttinger 从理论上研究了自旋-轨 道耦合作用对自旋极化巡游电子的输运影响，并ᨀ出了反常霍尔效应的内禀机制。 在哈密顿量中加入一项来表示电子在磁化介质中的轨道-自旋耦合： Hsplit = hmˆ ⋅s (3.2) 在理想晶体中，按照布洛赫波定律，波函数： ψ n (k,r) = e ik⋅r un (k,r) (3.3) 其中 n 是能带指标，k 是波矢，r 是空间坐标。晶体中载流子在外加电磁 场中的准经典运动可以用布洛赫波函数组成的波包来表示，由理论推导可以得到： r = 1  ∂ε n ∂k − k × Ω (3.4) k = − e  (E + r × B) (3.5) 其中Ωn 为贝里曲率： Ωn = −Im ∇kun × ∇kun (3.6) 可以看出运动方程右边的第二项就是前面ᨀ到的反常速度，它和B无关，方 向垂直于E 。正是这个反常速度给出反常霍尔效应的内禀根据。利用波尔兹曼 输运理论，积分整个布里渊区内所有占据能带的贝里曲率： Ωz (k) = fnΩn z ∑ (k) (3.7)