长江大学：物理与光电工程学院（物理实验）弦振动的研究

弦振动的研究一、实验目的1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波；n=12、学会测量弦线上横波传播速度的方法；3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力n=2的关系。二、实验原理一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡n=3位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有图2回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度方向为x轴，弦被拉动的方向（与x轴垂直的方向）为y轴，如图1所示。若设弦的长度为L，线密度为p，弦上的张力为T，对一小段弦线微dl元dl进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y方向的运动微分方程aydx =(odr)y+(1)xxx+dxax?at?图1若令2=T/p，上式可写为a'ylay(2)ax20?at?对于两端固定的弦，满足上述方程的解为J,= A, i("≥ x)cos(2元"nu(3)-t)，n=1,2,3,.2LLLnu， (3)式又可写为 y,=A, si(x)cos(2对,)若令」，=，元二(4)2L2n.由（4）式可以看出，f代表了弦的振动频率，元，代表了在弦上传播的机械波的波长。两端固定的弦的振动具有如下特点：弦上始终为零的点称为波节，两相邻波节间的部分称为波腹两相邻波节间的距离正好为半个波长。图2给出了n分别为1、2、3的三种弦振动的情形。从图2不难看出，对于不同的n，其波的形状不同，频率也不同，它代表着弦振动的一个状态。我们把一个个振动状态称之为弦振动的一个本征振动模式。对应于n=1的频率，称为基频，对应于n-2,3，.的频率称为第一谐频、第二谐频，等等。但基频较其他谐频强得多，因此它决定弦的频率，而各谐频则决定弦振动的音色。弦的任何可能的振动状态都可以视为本征振动的线性叠加，这些本征振动中某一振动的强度会因初始条件或外界激励的不同而有所不同。当用一频率与某一本征振动频率相同的周期性激励迫使弦振动时，弦上与激励频率相同的本征振动强度加强，这就是所谓的共振。我们可以利用弦的共振特性对一些1

1 弦振动的研究 一、 实验目的 1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻 波； 2、学会测量弦线上横波传播速度的方法； 3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力 的关系。 二、实验原理 一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡 位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有 回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用 下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度方向为 x 轴，弦被拉动的方向（与 x 轴垂直的方向）为 y 轴，如图 1 所示。 若设弦的长度为 L，线密度为  ，弦上的张力为 T，对一小段弦线微 元 dl 进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在 y 方向的运动 微分方程   2 2 2 2 t y dx dx x y T       （1） 若令  /  2  T ， 上式可写为 2 2 2 2 2 1 t y x y       （2） 对于两端固定的弦，满足上述方程的解为 ) 2 sin( ) cos(2 t L n x L n yn An     ， n 1,2,3,  （3） 若令 L n f n 2   ， n L n 2   ，（3）式又可写为 y A x  f t n n n n    )cos 2 2  sin( （4） 由（4）式可以看出， n f 代表了弦的振动频率， n 代表了在弦上传播的机械波的波长。 两端固定的弦的振动具有如下特点：弦上始终为零的点称为波节，两相邻波节间的部分称为波腹， 两相邻波节间的距离正好为半个波长。图 2 给出了 n 分别为 1、2、3 的三种弦振动的情形。 从图 2 不难看出，对于不同的 n，其波的形状不同，频率也不同，它代表着弦振动的一个状态。我 们把一个个振动状态称之为弦振动的一个本征振动模式。对应于 n=1 的频率，称为基频，对应于 n=2,3,. 的频率称为第一谐频、第二谐频，等等。但基频较其他谐频强得多，因此它决定弦的频率，而各谐频则 决定弦振动的音色。 弦的任何可能的振动状态都可以视为本征振动的线性叠加，这些本征振动中某一振动的强度会因初 始条件或外界激励的不同而有所不同。当用一频率与某一本征振动频率相同的周期性激励迫使弦振动 时，弦上与激励频率相同的本征振动强度加强，这就是所谓的共振。我们可以利用弦的共振特性对一些 x x+dx T T x y dl 图 1 图 2

物理量进行测量。如波长、波速等。当弦上有n个半波区时有（弦长等于半波长的整数倍时产生驻波）2,=2L/n(5)假设此时弦振动的频率为f，弦上横波的传播的速度D，则.2LD=fa=f(6)n将U=/T/p代入（6）式得弦振动的共振频率与弦长、弦张力和弦线密度的关系=一E(7)fVpTn或f=(8)2LVpT1(9)弦振动的基频：J=2LVp三、实验仪器FB301型弦振动实验仪一台、DF4320双踪示波器一台、FB303弦振动信号源一台4712635660cm8109100.0HzW1KgYY21一调节螺杆2一圆柱螺母3一驱动传感器4一弦5一接收传感器6一支撑板7一拉力杆8一悬挂物块9一信号源10一示波器四、实验内容和步骤1、研究弦振动时共振频率与弦长的关系（1）在拉力杆位置2处悬挂质量为250g的码，给弦一定的张力，调节拉力杆水平，移动两支撑板的位置，先使弦长为60.00cm，并把驱动传感器和接收传感器放在适当位置。(2）开启信号源、示波器预热约10分钟，由低到高调节其输出信号的频率，当弦上产生n=1、2、3个半波区的情况下，即弦共振时（示波器上振幅达到最大），记下信号源输出信号的频率。(3）保持弦的张力不变，改变弦的长度，使弦长分别为55.00cm、50.00cm、45.00cm、40.00cm时重做步骤（2)。(4）作Inf与InL曲线，求出其斜率，验证关系式（9）。2、研究弦振动共振频率与张力的关系2

2 物理量进行测量。如波长、波速等。 当弦上有 n 个半波区时有（弦长等于半波长的整数倍时产生驻波） n  2L n （5） 假设此时弦振动的频率为 f，弦上横波的传播的速度  ，则 n L f f 2     （6） 将   T /  代入（6）式得弦振动的共振频率与弦长、弦张力和弦线密度的关系   T f 1  （7） 或  T L n f n 2  （8） 弦振动的基频：  T L f 2 1 1  （9） 三、实验仪器 FB301 型弦振动实验仪一台、DF4320 双踪示波器一台、FB303 弦振动信号源一台 1—调节螺杆 2—圆柱螺母 3—驱动传感器 4—弦 5—接收传感器 6—支撑板 7—拉力杆 8—悬挂物块 9—信号源 10—示波器 四、实验内容和步骤 1、研究弦振动时共振频率与弦长的关系 (1) 在拉力杆位置 2 处悬挂质量为 250g 的砝码，给弦一定的张力，调节拉力杆水平，移动两支撑板的 位置，先使弦长为 60.00cm，并把驱动传感器和接收传感器放在适当位置。 (2) 开启信号源、示波器预热约 10 分钟，由低到高调节其输出信号的频率，当弦上产生 n=1、2、3 个半波区的情况下，即弦共振时（示波器上振幅达到最大），记下信号源输出信号的频率。 (3) 保持弦的张力不变，改变弦的长度，使弦长分别为 55.00cm、50.00cm、45.00cm、40.00cm 时重做 步骤（2）。 (4) 作 ln 1 f 与 lnL 曲线，求出其斜率，验证关系式（9）。 2、研究弦振动共振频率与张力的关系

(1）固定弦长60.00cm，在拉力杆上悬挂质量为250g的码，改变悬挂位置，使悬挂位置分别1、2、3、4、5时，始终使弦线只出现一个驻波，测出共振频率（基频）。(2）作Inf与InT曲线，求出其斜率，验证关系式（9）。3、根据=f2计算波速值，并分析产生误差的原因。五、数据记录与处理1、弦的基频与弦长的关系研究弦线密度P。=5.20×10-kg/m物块悬挂位置2码质量250g共振频率f（Hz）共振频率f（Hz）弦长(cm)波长(cm)驻波数(n)理论值实验值180.89120.002161.860.0060.003242.740.00155.0088.25110.00150.0097.07100.00145.00107.990.00140.00121.380.002、弦的基频与张力的关系研究弦线密度p=5.20×10-kg/m=1码质量250gL=60.00cm弦长悬挂张力U=基频f(H2)基频fi(H)U=f位置(M)(cm)理论值实验值(m/s)(m/s)12.4557.2068.6424.9080.8997.0760.0037.3599.07118.8949.80114.4137.28512.25153.29127.9六、思考题1、通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？3

3 (1) 固定弦长 60.00cm，在拉力杆上悬挂质量为 250g 的砝码，改变悬挂位置，使悬挂位置分别 1、2、 3、4、5 时，始终使弦线只出现一个驻波，测出共振频率（基频）。 (2) 作 ln 1 f 与 lnT 曲线，求出其斜率，验证关系式（9）。 3、根据   f 计算波速值，并分析产生误差的原因。 五、数据记录与处理 1、弦的基频与弦长的关系研究 弦线密度  0 = 5.20× 4 10 kg/m 物块悬挂位置 2 砝码质量 250g 2、弦的基频与张力的关系研究 弦线密度  0 = 5.20× 4 10 kg/m n=1 L=60.00cm 砝码质量 250g 弦长 (cm) 悬挂 位置 张力 (N) 基频 1 f (Hz) 理论值 基频 1 f (Hz) 实验值 0 T    (m/s)   f (m/s) 60.00 1 2.45 57.20 68.64 2 4.90 80.89 97.07 3 7.35 99.07 118.89 4 9.80 114.4 137.28 5 12.25 127.9 153.29 六、思考题 1、通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？ 弦长(cm) 共振频率 f（Hz） 理论值 共振频率 f（Hz） 实验值 驻波数(n) 波长(cm) 60.00 80.89 1 120.00 161.8 2 60.00 242.7 3 40.00 55.00 88.25 1 110.00 50.00 97.07 1 100.00 45.00 107.9 1 90.00 40.00 121.3 1 80.00