《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）2.1.4 复合函数

s14复合函数 设 Iny,y=x 当x在(1,+)上时y=x-1>0 由中间变量y的传递生成新函数z=n(x-1) 变量与x建立了对应关系称是x的 复合函数

§1.4 复合函数 设z=lny, y=x−1 当x在(1,+)上时,y=x−1>0 由中间变量y的传递生成新函数z=ln(x−1) 变量z与x建立了对应关系,称z是x的 复合函数

定义设函数y=/(u,u∈U,l=(x),xeX, 且由x∈X确定的函数值u=gx)落在函数 yf(u)的定义域U内,则y=/[q(x)称为复 合函数,称为中间变量,=g(x)称为里层 函数=f(u)称为外层函数 例如,y=√1-x2是由函数y=a 和函数u=1-x2复合而成的

设函数y=f(u), uU, u=(x), xX, 且由xX确定的函数值u=(x)落在函数 y=f(u)的定义域U内, 则y=f [(x)]称为复 合函数,u称为中间变量,u=(x)称为里层 函数,y=f(u)称为外层函数 定义 例如, 2 y = 1− x 是由函数 y = u 和函数u=1−x 2复合而成的

注意:1不是任何两个函数都可以复合 成一个复合函数的 例如,y= arcsin,u=2+x2 arcsin(2+x2) 2复合函数可以由两个以上的函 数经过复合而成 例如,y=√cot}是由y=Va,uf=cot, ν=复合而成,和都是中间变量

注意: 1.不是任何两个函数都可以复合 成一个复合函数的 例如, y=arcsinu, u=2+x 2 yarcsin(2+x 2 ) 2.复合函数可以由两个以上的函 数经过复合而成 例如, 2 cot x y = 是由 y = u , u=cotv , 2 x v = 复合而成, u和v都是中间变量

把一个复合函数分成不同层次的函 数,叫做复合函数的分解 分解步骤:由外向里 分解准则:各层函数为基本初等函数 或者多项式 例如,y= arcsin√lm(1+x2)分解的各层 函数依次为: y=arcsin u=Ny v=Inp p=1+x2

分解的各层 函数依次为: 把一个复合函数分成不同层次的函 数,叫做复合函数的分解 分解步骤: 由外向里 例如, arcsin ln(1 ) 2 y = + x y=arcsinu u = v v=lnp p=1+x 2 分解准则: 各层函数为基本初等函数 或者多项式

例1设f(x)=1,求() 解:ff(x)= 1-∫(x) x-1 定义域为:(-∞。0∪(0,1)U(1,+∞)

例1 设 x f x − = 1 1 ( ) ,求f[f(x)] 解: 1 ( ) 1 [ ( )] f x f f x − = − x − = 1 1 1 1 x x −1 = 定义域为: (−,0)∪(0,1)∪(1,+)

例2设f(x)=1(x+x) x。x<0 ,求g(x),Sx) x2≥0 解:g()=g(x)+g(x) (x-x)=0,x<0 (x2+x2)=x2,x≥0

     = = + , 0 , 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 x x x x g x 例2 设 f x x x ,求f[g(x)], g[f(x)] 解: f[g(x)]= [ ( ) ( )] 2 1 g x + g x = ( ) , x<0 2 1 x − x =0 ( ) , x≥0 2 1 2 2 x + x =x 2

f(x),f(x)0 2 (x+x)=x,x≥0 0,x<0 →gU(x)|=Uf(x)2 x2,x≥0

g[f(x)]= , f(x)<0 [f(x)] , f(x)≥0 2 f(x) f(x)= ( ) , x<0 2 1 x − x =0 ( ) , x≥0 2 1 x + x =x f(x)≥0 g[f(x)]=[f(x)]2 = 0 , x<0 x , x≥0 2