《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）3.3.3 微分在近似计算中的应用

§33微分在近似计算中的应用 、计算函数增量的近似值 二、计算函数值的近似值

§3.3 微分在近似计算中的应用 一、计算函数增量的近似值 二、计算函数值的近似值

计算函数增量的近似值 △ydy=f(x)△x 例1半径10厘米的金属圆片加热后半径 伸长了0.05厘米,问面积增大了多少? 解:r=10厘米△r=005厘米 S=πr △S≈dS=2πr△r 2兀×10×0.05=(厘米)2

一、计算函数增量的近似值 ydy =f (x)x 例1 半径10厘米的金属圆片加热后半径 伸长了0.05厘米,问面积增大了多少? 解: r=10厘米 r=0.05厘米 S=r 2 ∴SdS =2rr =2100.05 =(厘米) 2

、计算函数值的近似值 Δy=f(x+△x)-f(x)≈f(x)△x →f(x+△x)≈f(x)+f(x)△x 或f(x0+△x)≈fxo+f'(xo)△x 可用于计算函数y=fx)在点x附近 点xo+△x处函数值的近似值

二、计算函数值的近似值 y=f(x+x)−f(x) f (x)x f(x+x)  f(x)+f (x)x 可用于计算函数y=f(x)在点x0附近 点x0+x处函数值的近似值 或 f(x0+x)  f(x0 )+f (x0 )x

例2计算cos60°30的近似值 解:设f(x)=cosx→∫(x)=-sinx(x为弧度) △y 元 3 360 √3 f(t2 3 2 cos60°30′=c0s(z+f 3360 ≈f()+f(x) √3z 22300≈0.4924

例2 计算cos6030的近似值 解: 设f(x)=cosxf (x)= −sinx (x为弧度) 3 0   x = 360  x = 2 1 ) 3  ( =  f 2 3 ) 3 ( = −  f ) 3 360 cos60 30 cos(     = + 360 ) 3 ) ( 3 (     f + f  2 360 3 2 1  = − 0.4924

例3求3102的近似值 解:设f(x)=x3→f(x)=x3 1△x=002 ∴(1)=1f(1)=1 3102=/1+0.02≈/(1)+f(1)0.02 =1+ 0.02 ≈10067

例3 求 3 1.02 的近似值 解: 设 3 1 f (1) = 3 1 f (x) = x 3 2 3 1 ( ) −  f  x = x ∵ x0=1 x=0.02 ∴ f(1)=1 3 3 1.02 = 1+ 0.02 f(1)+f (1)0.02 3 0.02 = 1+ 1.0067