《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）3.1.2 导数概念

§12导数概念 、导数的定义 、导数的物理意义和几何意义 三、由定义求导数

§1.2 导数概念 一、导数的定义 二、导数的物理意义和几何意义 三、由定义求导数

导数的定义设函数y=x)在点x0的某一邻 域内有定义,当自变量x在点x处有增量△x 点x0+x仍在该邻域内)时,相应地函数有 增量△y=f(x0+△x)-f(x0),如果 △y io△>0 f(x0+△x)-f(x) m △ 存在则称该极限值为(x)在点x处的导数, 记作r(xo,或yk=或,2(x) X=x X=x 0

存在,则称该极限值为f(x)在点x0处的导数, 记作f (x0 ),或 设函数y=f(x)在点x0的某一邻 域内有定义, 当自变量x在点x0处有增量x (点x0+x仍在该邻域内)时, 相应地函数有 增量y=f(x0+x)−f(x0 ), 如果 0 x x y =  x f x x f x x y x x  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 或 0 x x dx dy = 导数的定义 或 0 ( ) x x dx df x =

如果fx)在点x处有导数,则称(x)在 点xo处可导否则称八x)在点x0不可导 其他形式 f(o)=lim f(o+h)-f(o) h f(ro=lim f(x)-f(x0) x→>xo x

如果f(x)在点x0处有导数,则称f(x)在 点x0处可导,否则称f(x)在点x0不可导 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + −  = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − −  = → 其他形式:

关于导数的说明: (1)△是自变量从x到x0+A时函数fx)的 平均变化速度,称为函数的平均变化率,而 导数f(x0)是函数在点x处的变化速度称 为函数(x)在点x处的瞬时变化率 可见,导数是平均变化率的极限 (2)如果函数y=x)在开区间(a,b)内的每 点处都可导,则称函数(x)在区间(a,5)内可 导

是自变量从x0到x0+x时函数f(x)的 平均变化速度,称为函数的平均变化率,而 导数f (x0 )是函数在点x0处的变化速度,称 为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率 关于导数的说明： (1) x y   可见,导数是平均变化率的极限 (2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一 点处都可导,则称函数f(x)在区间(a,b)内可 导

此时,x∈(a,b都对应着fx)的一个确定 的导数,则f(x)是x的函数,称为函数f(x) 的导函数作y,f"(x),或“(x) 即y={imn ∫(x+△x)-f(x) 或∫(x)=加mf(x+h)-f(x) →>0 显然,f(x)=f(x)

此时,x(a,b),都对应着f(x)的一个确定 的导数,则f (x)是x的函数,称为函数f(x) 的导函数,记作y , f (x), dx dy 或 dx df (x) x f x x f x y x  +  −  =  → ( ) ( ) lim 0 即 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → 或 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x = 显然  = 

导数的物理意义和几何意义 物理意义:变速直线运动物体的瞬时速度 瞬时速度是路程对时间的导数,即 (t)=lim△s = S △→>0△t 几何意义:曲线=(x)在点x处的切线斜率 y=f(r) tan a=f(=dy

导数的物理意义和几何意义 物理意义:变速直线运动物体的瞬时速度 瞬时速度是路程对时间的导数,即 dt ds s t s v t t =  =   =  →0 ( ) lim 几何意义:曲线y=f(x)在点x0处的切线斜率 dx dy tan = f (x) = o x y y = f (x) T 0 x M 

由定义求导数 步骤: (1)求增量△f(x+△x)/fx) (2)求比值y=f(x+△)-f(x) △ (3)求极限y=im今 △x→>0△

由定义求导数: 步骤: (1)求增量 y=f(x+x)−f(x) (2)求比值 x f x x f x x y  +  − =   ( ) ( ) (3)求极限 x y y x    =  →0 lim

例1求函数fx)=C(为常数)的导数 解:r(x)=Im(x+A)-f △-》0 △x lim C-C △x→>0△x 即(Oy

例1 求函数f(x)=C (C为常数)的导数 解: x f x x f x f x x  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 x C C x  − =  →0 lim =0 即 (C)=0

例2设函数f)=sinx,求sinx)及( sin x)'T=g 解: sin x)= lim sIn(x+△x)-six △x→>0 △ Ar0 cos(+t Sin 4 r 2′△x -coSX 即(sinx)y=cosx (sInx I==cos划、=兀 2 同理可求(cosx sinr

例2 设函数f(x)=sinx,求(sinx)及 4 (sin )  =  x x 解: x x x x x x  +  −  =  → sin( ) sin (sin ) lim 0 x x x x x    = +  → 2 sin ) 2 lim 2cos( 0 =cosx 即(sinx)=cosx 4 4 (sin )  cos  = =   = x x x x 2 2 = 同理可求(cosx)= −sinx

例3求函数y=x(m为正整数的导数 解:(x")=lin x+△x)"-x △v→0 △v =lim(x+△x)+(x+△x)"2x+ △x→>0 +(x+△x)x"-2+x"-l -nx 即( X=nx 更一般地(x)′=axa1(a∈R

例3 求函数y=x n (n为正整数)的导数 解: x x x x x n n x n  +  −  =  → ( ) ( ) lim 0 ( ) ] lim[( ) ( ) 2 1 1 2 0 − − − −  → + +  + = +  + +  + n n n n x x x x x x x x x x  =nxn−1 即 (x n )=nxn−1 更一般地 (x )=x −1 (R)