《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）3.1.4 左导数和右导数

§13求导过程的哲学分析 §14左导数和右导数

§1.3 求导过程的哲学分析 §1.4 左导数和右导数

左导数: f(xo=lim f(x)-f(x0) x→>x0 x- =limf(xo+△x)-f(xo) △x→>0 △ 右导数: A+(xo)=lim f(x)-f(xo) 十 x→>ro X- 0 li f∫(x0+△x)-f(x0)

左导数: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − −  = − → − x f x x f x x  +  − = → −  ( ) ( ) lim 0 0 0 右导数: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − −  = + → + x f x x f x x  +  − = → +  ( ) ( ) lim 0 0 0

定理1: 函数厂=f(x)在点x可导分函数y=x) 在点x处的左、右导数存在且相等 如果fx)在开区间(a,b)内可导,且 f′+(a)及f(b)都存在,则fx)在闭区间 a,b上可导

定理1: 函数y=f(x)在点x0可导函数y=f(x) 在点x0处的左、右导数存在且相等 如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且 f  + (a)及f − (b)都存在,则f(x)在闭区间 [a,b]上可导

例1讨论函数f(x)=x在x=0处的可导性 解: y= ∫(0)=imf(0+△x)-f(0) △x→>0 △x=im △x→0△xAx-)0△=-1 f4(0)=mimJ(0+△x)-f(0) lim仝x 1 △x→0+ △v △→》0 △ 即∫(0)f+(0),则函数x)在x=0处不可导

例1 讨论函数f(x)=|x|在x=0处的可导性 解: y = x x y o x f x f f x  +  −  = → −  − (0 ) (0) (0) lim 0 x x x   = → −  0 lim x x x  −  = → −  0 lim = −1 x f x f f x  +  −  = → +  + (0 ) (0) (0) lim 0 x x x   = → +  0 lim =1 即f − (0)f  + (0),则函数f(x)在x=0处不可导