《概率与统计》 第十二章（12-3）参数的点估计

123参数的点估计 学习目标 理解点估计的概念。 了解最大似然法和估计量的评价标准 会用矩估计法求总体均值与方差的估计量

12.3 参 数 的 点 估 计 学 习 目 标 理解点估计的概念。 了解最大似然法和估计量的评价标准。 会用矩估计法求总体均值与方差的估计量

例1某商场在决定是否接收厂家送来的一 大批箱装商品时,随机地抽取若干箱进行检验, 根据这几箱的平均次品数,估计该批商品平均每 箱的次品数 例2某省在一次高考结束后,先要对考试 成绩做一个估计.随机地抽取每科中的几包试卷 进行试判.根据判卷结果估计全体考生的总分的 平均值和与平均值的偏离程度进行推断,从而估 计出当年的录取线

例 1 某商场在决定是否接收厂家送来的一 大批箱装商品时, 随机地抽取若干箱进行检验, 根据这几箱的平均次品数, 估计该批商品平均每 箱的次品数. 例 2 某省在一次高考结束后, 先要对考试 成绩做一个估计. 随机地抽取每科中的几包试卷 进行试判. 根据判卷结果估计全体考生的总分的 平均值和与平均值的偏离程度进行推断, 从而估 计出当年的录取线

假设总体分布已知,其中有一个或多个参 数未知,利用来自总体的样本估计总体的未知 参数值,就是参数估计 参数估计是统计推断的基本内容之 参数估计有两种方法:点估计与区间估计 要估计的总体参数称为待估参数,用表示

参数估计是统计推断的基本内容之一. 参数估计有两种方法: 点估计与区间估计. 要估计的总体参数称为待估参数, 用 表示. 假设总体分布已知, 其中有一个或多个参 数未知, 利用来自总体的样本估计总体的未知 参数值, 就是参数估计

设 192 ,x,是来自总体X的一个样 本,构造统计量(x1,x2,…,x)估计,称 6为e的估计量 对应于一个样本值相应得到一个估计量的 值(观察值),称为估计值,简记为6 用一个估计量估计总体参数,用这个估计 量的一个观察值作为总体参数的估计值的方法 称为点估计.由这种方法得到的估计值为点估 计值

用一个估计量估计总体参数, 用这个估计 量的一个观察值作为总体参数的估计值的方法 称为点估计. 由这种方法得到的估计值为点估 计值. 为 的 本，构造统计量 估计 ，称 设 是来自总体 的一 个样     ˆ ( , , , ) ˆ , , , 1 2 1 2 n n x x x x x x X   估计量 . . ˆ 值 (观察值)，称为 ，简记为 对应于一个样本值相应得到一个估计量的 估计值

123.1矩估计法 以样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量 的方法称为矩估计法 例3设x1,x2,…,x是来自正态总体 N(,a2)的一个样本,试求p,a2的估计量 解E(x;)=4,D(x;) 又有D(x)=a2=E(x2)-E2(x) =E(x2)-H

12.3.1 矩估计法 以样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量 的方法称为矩估计法. ( , ) . , , , 2 2 1 2 的一 个样本，试求 ， 的估计量 设 是来自正态总体 N     例 3 x x  xn 解 ( ) , ( ) , 1 , 2 , , . 2 E xi =  D xi =  i =  n 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )   = − = = − i i i i E x 又有 D x E x E x

于是,总体均值的估计量 =x=1∑x n 总体方差的估计量 ∑x2-2=2( n i=1 总体标准差的估计量 合=∑(x1-x)2(3) nn i=1

(1) 1 ˆ 1 = = = n i xi n  x 于是，总体均值的估计量 2 1 2 2 ˆ 1 ˆ =  −  = n i xi n 总体方差的估计量 ( ) (2) 1 1 2 = = − n i xi x n ( ) (3) 1 ˆ 1 2 = = − n i xi x n  总体标准差的估计量

若以样本方差作为总体方差的估计量,则 ∑(x1-x)2 n 总体标准差的估计量为 6 ∑(x1-x) (3) n i=1

( ) (2) 1 1 ˆ 1 2 2 −  − = = n i xi x n  若以样本方差作为总体方差的估计量，则 ( ) (3) 1 1 ˆ 1 2 −  − = = n i xi x n  总体标准差的估计量为

例4设从正态总体X中抽取容量为5的 个样本.样本的一组观察值为 105130127108122 试用矩估计法求总体分布的数学期望与方差的 估计值 解由估计量(1) =X三 ∑x =:(105+130+127+108+122) =118.4

例 4 . 105 130 127 108 122 . 5 估计值 试用矩估计法求总体分布的数学期望与方差的 一 个样本 样本的一组观察值为 设从正态总体 X 中抽取容量为 的 解 = = = n i x xi 5 1 1 ˆ (1)  由估计量 (105 130 127 108 122) 5 1 = + + + + = 118.4

例4设从正态总体X中抽取容量为5的 个样本.样本的一组观察值为 105130127108122 试用矩估计法求总体分布的数学期望与方差的 估计值 解由估计量(2) 彡 ∑ =:(13.42+11.62+8.62+10.42+362) 5 =10184

例 4 . 105 130 127 108 122 . 5 估计值 试用矩估计法求总体分布的数学期望与方差的 一 个样本 样本的一组观察值为 设从正态总体 X 中抽取容量为 的 解 = = − n i xi x 1 2 2 ( ) 5 1 ˆ (2)  由估计量 (13.4 11.6 8.6 10.4 3.6 ) 5 1 2 2 2 2 2 = + + + + = 101.84

或用估计量(2) ∑(x1-x) 514 (1342+1162+862+10.42+362) =127.30

= − − =  n i xi x 1 2 2 ( ) 5 1 1 ˆ (2)  或用估计量 (13.4 11.6 8.6 10.4 3.6 ) 4 1 2 2 2 2 2 = + + + + = 127.30