《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）1.3.2 函数极限

s32函数极限 1自变量x无限趋近于有限数x0的情形 2左极限和右极限 3自变量x的绝对值无限增大时的情形 4函数极限的性质

§3.2 函数极限 1.自变量x无限趋近于有限数x0的情形 2.左极限和右极限 3.自变量x的绝对值无限增大时的情形 4.函数极限的性质

自变量x无限趋近于有限数x的情形 例1考察函数y=fx)=x+1(x∈R)当x趋近 于常数x=1时的变化趋势 x|0.90.980,990.99911.0011.011.0211 x)191.981991.9922.0012.012.022.1 可见,当x从点x-1的左右近旁越来 越接近于1时,函数f(x)的值越来越接近 于常数2

一、自变量x无限趋近于有限数x0的情形 例1 考察函数y=f(x)=x+1 (xR)当x趋近 于常数x0=1时的变化趋势 x f(x) 1 2 0.9 1.9 0.98 1.98 0.99 1.99 0.999 1.999 1.1 2.1 1.02 2.02 1.01 2.01 1.001 2.001 可见,当x从点x0=1的左右近旁越来 越接近于1时, 函数f(x)的值越来越接近 于常数2

例2考察函数y=8(叫女 x∈R 且x≠1)当x时的变化趋势 与fx)不同,g(x)在点x=1处无定义 由于x≠1,则g(x)=x+1 当x-1时,函数f(x)与g(x)均以2为 极限,与函数在点x处是否有定义无关

例2 考察函数 (xR 且x1)当x→1时的变化趋势 1 1 ( ) 2 − − = = x x y g x 与f(x)不同，g(x)在点x0=1处无定义 由于x1,则g(x)=x+1 当x→1时, 函数f(x)与g(x)均以2为 极限,与函数在点x0处是否有定义无关

定义1设函数y=x)在点x0的近旁有定义 (在点x处可以无定义,如果对于任意正数 E(不管它有多小,总存在相应的正数6使 得满足04x-xlx时以A为极限 ,或称函数fx)在点x有极限 记作limf(x)=A或fx)→)A(x-xo) x→>x0 E-68定义:∨E>0,38>0,使当0<x-xo<8时, 恒有f(x)-4<E

 >0, >0,使当0<|x−x0 |< 时, 恒有|f(x)−A|< 定义1 设函数y=f(x)在点x0的近旁有定义 (在点x0处可以无定义),如果对于任意正数  (不管它有多小),总存在相应的正数, 使 得满足0<|x−x0 |< 的一切x能使 |f(x)−A|< 恒成立,则称函数f(x)当x→x0时以A为极限 , 或称函数f(x)在点x0有极限 记作 f x A x x = → lim ( ) 0 或 f(x)→A (x→x0 )  − 定义:

注意 1.函数极限与八x)在点x是否有定义无关 2.与任意给定的正数6有关 用cδ定义证明imf(x)=A的步骤: x→ 1.给定任意正数E 2.由x)-4求满足0x-xo<-正数 3.按照定义的模式写出结论

用- 定义证明 f x A x x = → lim ( ) 0 的步骤： 1. 给定任意正数 2. 由|f(x)−A|<求满足0<|x−x0 |<的正数 3. 按照定义的模式写出结论 注意: 1. 函数极限与f(x)在点x0是否有定义无关 2. 与任意给定的正数有关

例3证明imC=C(C为常数) x→x 0 证]任给E>0 要使f(x)-A4|=|C-C1=00,当0x-x01x0

例3 证明 C C (C为常数) x x = → 0 lim [证] 任给 >0 任取 >0, 当0<|x−x0 |< 时, 要使|f(x)−A|=|C−C|=0< 成立 C C x x  = → 0 lim |f(x)−A|<

例4证明limx=x0 x->x0 「证]任给>0 要使f(x)-A=x-xlx0

例4 证明 0 0 lim x x x x = → [证] 任给 >0 要使|f(x)−A|=|x−x0 |< 取 = , 当0<|x−x0 |< = 时, |f(x)−A|< 成立 0 0 lim x x x x  = →

例5证明lmx 2 x→Ix-1 「证]任给E>0 要使)4=1x-1-2=x1< 取δ=E,当0<x-xo<8时, (x)-4<成立 limx=2

例5 证明 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x [证] 任给 >0 要使|f(x)−A| 2 1 1 2 − − − = x x =|x−1|< 取 = , 当0<|x−x0 |< 时, |f(x)−A|< 成立 2 1 1 lim 2 1 = −  − → x x x

二、左极限和右极限 自变量x从x的左侧或右侧趋近x0时 函数fx)的极限,称为左极限或右极限分 别记为imf(x)和limf(x) x→>o x→>o 定理函数x)当x→x时存在极限左极 限和右极限存在且相等

二、左极限和右极限 自变量x从x0的左侧或右侧趋近x0时 函数f(x)的极限, 称为左极限或右极限,分 别记为 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x → − 和 → + 定理 函数f(x)当x→x0时存在极限左极 限和右极限存在且相等

例6验证lin|x 不存在 x→>0y 证]lim lim=X= lim(1)=-1 x→>0-x →0- x→>0 lim ii= lim lim 1=1 x→0+xx->0txx>0 左右极限存在但不相等 im不存在 x→>0x

y x 1 − 1 左右极限存在但不相等 o 例6 验证 不存在 x x x | | lim →0 [证] x x x | | lim 0 → − x x x − = → − 0 lim lim ( 1) 0 = − → − x = −1 x x x | | lim 0 → + x x x→ + = 0 lim lim 1 0 → + = x =1 x x x | | lim →0  不存在