《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）3.1.5 函数的连续性与可导性之间的关系

s15函数的连续性与可导性 之间的关系

§1.5 函数的连续性与可导性 之间的关系

定理2:如果函数f(x)在点x处可导,则 fx)在点x处连续即可导则连续 证]设函数fx)在点x可导 △y △x->0△x f(x0)→A=f(x)+a △ →^f"(xo△x+aAx →im△y=limf(x)△x+aAxl=0 △x→>0 △x→>0 故,函数f(x)在点x连续

lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) x0 f x y 如果函数y=f(x)在点x处可导,则 f(x)在点x处连续 定理2: 即 可导则连续 [证] 设函数f(x)在点x0可导 y=f (x0 )x+x lim lim[ ( ) ] 0 0 0 y f x x x x x   =   +   →  →  =0 故,函数f(x)在点x0连续

注意:该定理的逆定理不成立 例如,函数x)=|x y1 y=r 在x0处连续,但不可导 例1讨论函数f(x)= C≤1 x,y>1 的连续性、可导性,并求出导函数

注意: 该定理的逆定理不成立. 例如, 函数f(x)=|x| y = x x y o 在x=0处连续,但不可导      = , 1 , 1 ( ) 2 x x x x f x 的连续性、可导性,并求出导函数 例1 讨论函数

解:当x1时fx)连续 y=x y=ux 当x=1时 lim f(x)=lim x=1 x-1 x→1 lim f(x)=lim x=1 x→1 x→1f lim f(x=lim f(x)=f(=1 x→1 x→1 fx)在x=1也连续 则fx)是连续函数

解:当x1时f(x)连续 当x=1时 lim ( ) lim 1 2 1 1 = = → − → − f x x x x lim ( ) lim 1 1 1 = = → + → + f x x x x o y x y=x y=x 2 lim ( ) lim ( ) (1) 1 1 1 = = = → − → + f x f x f x x f(x)在x=1也连续 则 f(x)是连续函数

当x≠1时f(x)可导 y=x 当x1时,f'(x)=1 O 当x=1时 f(1)=lim f(1+△x)-f(1) △→>0 im (1+△x) △x→>0 △x =2△x+(43 △x→>0 △x

oy x y =x y =x 当 x 1 时f(x )可导 2 当 x=1 时 当 x>1 时, f  (x)=1 当 x<1 时, f  (x)=2 x x f x f f x  +  − =  → −  − ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) lim0 2 2 ( ) lim 2 0 =   +  = → −  x x x x xx x  +  − = → −  ( 1 ) 1 lim 2 0

f"(1)=limf(1+△x)-f(1) △x→>0+ △△ x)-1 y=ux 1 y=x △x→>0+ ∫(1)≠f+(1) 则f(x)在x=1不可导 2x,x1

o y x y=x y=x 2 x f x f f x  +  −  = → +  + (1 ) (1) (1) lim 0 1 (1 ) 1 lim 0 =  +  − = → +  x x x f − (1)  f  + (1) 则f(x)在x=1不可导 所求导数为:       = 1, 1 2 , 1 ( ) x x x f x

可见对于分段函数的求导问题,可 用“分段点”将函数fx)的定义区间分成 几个开区间在每个开区间分别对x)求 导,然后在每个“分段点”处用导数定义 分别讨论f(x)的可导性

可见,对于分段函数的求导问题,可 用“分段点”将函数f(x)的定义区间分成 几个开区间,在每个开区间分别对f(x)求 导, 然后在每个“分段点”处用导数定义 分别讨论f(x)的可导性