《高等数学》课程教学资源：课程讲义：MM能力培养——构建函数模型的步骤和方法

§2MM能力培养 构建函数模型的步骤和方法 构建函数模型的步骤和方法 二、函数模型举例

§2 MM能力培养 ——构建函数模型的步骤和方法 一、构建函数模型的步骤和方法 二、函数模型举例

函数关系是一种变量相依关系的数 学模型数学模型方法是处理科学理论问 题的一种经典方法,也是处理各类实际问 题的一般方法我们对数学模型方法作 简述 数学模型方法( Mathematical model ling method)称为MM方法它是针对所 考察的问题构造出相应的数学模型通过 对数学模型的研究使问题得以解决的 种数学方法

函数关系是一种变量相依关系的数 学模型.数学模型方法是处理科学理论问 题的一种经典方法,也是处理各类实际问 题的一般方法.我们对数学模型方法作一 简述 数学模型方法(Mathematical Model -ling Method)称为MM方法.它是针对所 考察的问题构造出相应的数学模型,通过 对数学模型的研究,使问题得以解决的一 种数学方法

例如哥尼斯堡有条普雷格尔河,这条河有两个 支流,在城中心汇合成大河河中间有一小岛, 河上有七座桥如图所示: 18世纪哥尼斯堡的很多居民总 陆地D 想一次不重复地走过这七座桥 半岛B 再回到出发点可是试来试去总 是办不到,于是有人写信给当时 陆地C 著名的数学家欧拉欧拉于1736 年,建立了一个数学模型解决了这个问题他把 A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点, 把七座桥抽象为七条线,如下图所示:

例如 哥尼斯堡有条普雷格尔河,这条河有两个 支流, 在城中心汇合成大河,河中间有一小岛, 河上有七座桥,如图所示: 18世纪哥尼斯堡的很多居民总 想一次不重复地走过这七座桥, 再回到出发点.可是试来试去总 是办不到,于是有人写信给当时 著名的数学家欧拉.欧拉于1736 年,建立了一个数学模型解决了这个问题.他把 A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点， 把七座桥抽象为七条线，如下图所示： 小岛 A 陆地 D 陆地 C 半岛 B

陆地D 岛4半岛B 陆地C 步行七桥问题,就相当于上图的一笔画问 题,即七桥问题的数学模型能否将上图所示的 图形不重复地一笔画出来即问题的实质答案 是不重复走过七座桥回到出发点是不可能的

小岛 A 陆地 D 陆地 C 半岛 B C A B D 步行七桥问题,就相当于上图的一笔画问 题,即七桥问题的数学模型.能否将上图所示的 图形不重复地一笔画出来,即问题的实质.答案 是不重复走过七座桥回到出发点是不可能的

21构建函数模型的步骤和方法 根据建立数学模型的目的和掌握的信息,将实际问题 翻译成数学问题用数学语言确切地表述出来 型选 现实对象L表述数学模型的择 验的信息 (归纳) 解适 证 答当 解 处 的验证检验) 演绎求解灬的 法 正 性现实对象解释数学模型得 确 求 (实际解答)的解答 数 学 模 数学解答翻译回现实对象给实际问题的解答

2.1 构建函数模型的步骤和方法 现实对象 的信息 数学模型 的解答 数学模型 现实对象 表述 (归纳) (演绎) 求解 解释 (实际解答) 验证 (检验) 根据建立数学模型的目的和掌握的信息,将实际问题 翻译成数学问题,用数学语言确切地表述出来 选 择 适 当 的 方 法 , 求 得 数 学 模 型 的 解 答 数学解答翻译回现实对象,给实际问题的解答 验 证 解 答 的 正 确 性

函数模型的步骤: (1)分析问题中哪些是变量哪些是常量 分别用字母表示 (2)根据所给条件,运用数学或物理等知 识确定等量关系 (3)具体写出解析式νf(x),并指明定义域

函数模型的步骤: (1) 分析问题中哪些是变量,哪些是常量, 分别用字母表示 (2) 根据所给条件,运用数学或物理等知 识,确定等量关系 (3) 具体写出解析式y=f(x),并指明定义域

22函数模型举例 例1重力为P的物体置于地平面上,设有 与水平方向成a角的拉力F使物体由 静止开始移动,求物体开始移动时拉力F 与角a之间的函数模型(如下图)

例1 重力为P的物体置于地平面上,设有 一与水平方向成 角的拉力F,使物体由 静止开始移动,求物体开始移动时拉力F 与角 之间的函数模型(如下图) F P  2.2 函数模型举例

解:由物理知识知当水平拉力与摩擦力平 衡时,物体开始移动 摩擦力是与正压力 P-Fsina成正比的 (设摩擦系数为A 故有, Fcos aFu(P-Fsina) →F=-出 cos at usina (0<a<90°)

解:由物理知识知,当水平拉力与摩擦力平 衡时,物体开始移动 摩擦力是与正压力P−Fsin成正比的 (设摩擦系数为) 故有, Fcos=(P−Fsin)     cos + sin  = P F (0< <90) F P 

例2在金融业务中有一种利息叫做单利 设p0是本金,是记息期的利率,是记息期 数,是n个记息期应付的单利y是本利和, 求本利和p与记息期n的函数模型 解:一个记息期的利息为pr n个记息期应付的单利为F=pprn 本利和为p=p+l=po+porn 于是得本利和与记息期的函数关系,即 单利模型:p=p0(1rm)

例2 在金融业务中有一种利息叫做单利. 设p0是本金,r是记息期的利率,n是记息期 数,I是n个记息期应付的单利,p是本利和, 求本利和p与记息期n的函数模型 解: 一个记息期的利息为p0 r n个记息期应付的单利为I=p0 rn 本利和为p=p0+I=p0+p0 rn 于是得本利和与记息期的函数关系,即 单利模型: p=p0 (1+rn)