《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）6.1.5 定积分的性质

(f(x×有当a功时才有意义为了 5定积分的性质 使用上的方便规定 )当a=b时,[f(x)x=0 ()当时,f(x)=f(x 说明:在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小

§1.5 定积分的性质 只有当ab时, f x dx f x dx a b b a  ( ) = − ( ) f x dx b a ( ) 说明: 在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小

性质1[6(xkx=kf(xkd(k为常数) 性质2 I∫(x)±g(x)k=f(x)g(x)b 性质3(对积分区间的可加性) CA(ydx= f(xxx+rf(xdx 性质4x=b-a 性质5若在[a,(a<b)上fx)≥0,则 ∫∫(xn≥0

kf x dx k f x dx b a b a  ( ) = ( ) (k为常数) f x g x dx f x dx g x dx b a b a b a   [ ( ) ( )] = ( )  ( ) f x dx f x dx f x dx b c c a b a   ( ) = ( ) + ( ) 性质3(对积分区间的可加性) 性质2 性质1 ( )  0  f x dx b a 性质5 若在[a,b] (a<b)上f(x)≥0,则 dx b a b a = − 性质  4

性质6(保序性) 若在[a,b](a<b)上f(x)≤g(x),则 f(x xs g(xddx 性质7(定积分的绝对值不等式) Jf(x)川f(x)x(a<b -f(x)≤f(x)≤1f(x) lf()kxs f(xydxslf(x)kx

f x dx g x dx b a b a  ( )  ( ) 性质6(保序性) 若在[a,b](a<b)上f(x)≤g(x),则 | f (x)dx | | f (x)|dx (a b) b a b a     性质7(定积分的绝对值不等式) ∵−|f(x)|≤f(x)≤|f(x)| f x dx f x dx f x dx b a b a b a   − | ( )|  ( )  | ( )|

性质8(有界性)设m,M分别是f(x)在,b 上的最小值和最大值,则 m(b-asf(dksM(b-a) 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质9(积分中值定理)若函数x)在{a,b 上连续,则在[a,b上至少存在一点使得 f(x)kx=∫()(b-a) 积分中值公式

m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  性质8(有界性) 设m, M分别是f(x)在[a,b] 上的最小值和最大值,则 此性质可用于估计积分值的大致范围 f (x)dx f ( )(b a) b a = −   性质9(积分中值定理) 若函数f(x)在[a,b] 上连续,则在[a,b]上至少存在一点,使得 ——积分中值公式

积分中值定理的几何意义 b f(5)= x vax b 若fx)在[a,b上连续 f(2) 且非负,则f(x)在[a,b 上的曲边梯形的面积 等于与该曲边梯形同 a2bx底以(引为高的矩形 面积

y o a x b 积分中值定理的几何意义  f() 若f(x)在[a,b]上连续 且非负,则f(x)在[a, b] 上的曲边梯形的面积 等于与该曲边梯形同 底,以f( )为高的矩形 面积 f x dx b a f b − a = ( ) 1 ( )

2 例1比较积分值e2和xd的大小 解:令fx)=e-x,x∈-2,0 f(x)>0 e>x dx xdx 2 -2 edx<

例1 比较积分值  e x dx 和 的大小 −2 0 xdx  −2 0 解: 令f(x)=e x−x , x[−2,0] ∵f(x)>0 e dx xdx x − −   0 2 0 2 e dx xdx x   − −   2 0 2 0 ∴e x>x

例2估计积分1的值 0 3+sinx 解:f(x)= 3+sinx Vx∈|0,m,有0≤sin3x≤1 < 4-3+sin3x-3 →1d≤ d≤dx 3+sin x 3 元 < 4-J03+sin3x-3

例2 估计积分 dx 的值 x  +  0 3 3 sin 1 解: x f x 3 3 sin 1 ( ) + = x[0,],有 0≤sin3x≤1 3 1 3 sin 1 4 1 3  +   x dx dx x dx     +      0 0 3 0 3 1 3 sin 1 4 1 3 sin 3 1 4 0 3     +    dx x

例3设f(x)可导,且imf(x)=1求 x→+Q x+2 tsinef(tit x→+oJx 解:由积分中值定理知有∈x,x+21,使 x+2 t sin f(tdt= ssin ∫(5)(x+2-x) x+2 → lim tsinf(nt x→)+Jx 2 lim ssin ef(5)=2 lim 3f($)=6

例3 设f(x)可导,且 x lim →+  f (x) = 1 ,求 解: f t dt t t x x x + →+  2 ( ) 3 lim sin 由积分中值定理知,有[x, x+2],使 f t dt t t x x +2 ( ) 3 sin ( )( 2 ) 3 = sin f  x + − x   f t dt t t x x x + →+   2 ( ) 3 lim sin ( ) 3 2 lim sin     f →+  = 2 lim 3 ( )  f →+  = =6