《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）4.4.2 利用导数绘制函数的图像

§42利用导数绘制函数的图像 描点法是作函数图像的基本方法 但所取的点不一定是函数最具特征 的关键点 阶导数→>单调性、极值点 二阶导数→>凹凸性、拐点

§4.2 利用导数绘制函数的图像 描点法是作函数图像的基本方法 但所取的点不一定是函数最具特征 的关键点 一阶导数→单调性、极值点 二阶导数→凹凸性、拐点

渐近线 定义: 如果曲线上的动点沿曲线趋于无 穷远时,该点与某条直线的距离趋于零 那么这条直线就称为该曲线的渐近线

定义: 一、渐近线 如果曲线上的动点沿曲线趋于无 穷远时,该点与某条直线的距离趋于零, 那么这条直线就称为该曲线的渐近线

1水平渐近线 如果limf(x)=c,则直线y=c是曲线 y=f(x)的一条水平渐近线 y 例如J= arctan 15 10 15 有水平渐近线两条:y 元 J 2

,则直线y=c是曲线 y=f(x)的一条水平渐近线 1.水平渐近线 如果 f x c x = → lim ( ) 例如 y=arctanx 有水平渐近线两条: , 2  y = 2  y = −

2垂直渐近线 如果limf(x)=,则直线x=a是曲线 J=f(x)的一条垂直渐近线 例如y(x+2)x-3) 有垂直渐近 线两条: x=3

,则直线x=a是曲线 y=f(x)的一条垂直渐近线 2.垂直渐近线 如果 =  → lim f (x) x a 例如 ( 2)( 3) 1 + − = x x y 有垂直渐近 线两条: x= −2, x=3

3斜渐近线 如果m∫(x)-(ax+b)=0,则直线 y=ax+b是曲线=f(x)的一条斜渐近线 求法:a=mf(x) b=lim[f()-ax x→0 x→0 注意:如果)imf(①不存在 x→>0OyC (2)im(x)存在但lm(x)-ax不存在 x→0 x→0 可以断定y=(x)不存在斜渐近线

,则直线 y=ax+b是曲线y=f(x)的一条斜渐近线 3.斜渐近线 如果 lim[ ( ) − ( + )] = 0 → f x ax b x 求法: , ( ) lim x f x a x→ = b lim[ f (x) ax] x = − → 注意:如果 不存在 x f x x ( ) (1)lim → 存在， x f x x ( ) (2)lim → 但lim[ f (x) ax]不存在 x − → 可以断定y=f(x)不存在斜渐近线

例1求fx)= 2(x-2)(x+3) 的渐近线 解:x∈(-∞,1)∪(1,+o) imf(x)=-∞,limf(x)=+ x→1+ x→1 x1是曲线的垂直渐近线 又 f(x) (x-2)(x+3 2 x→0 1) b=limf()-ax x→0

例1 求f(x)= 的渐近线 1 2( 2)( 3) − − + x x x 解: x(−,1)∪(1,+) lim ( ) 1 f x x  → + = −, ∴x=1是曲线的垂直渐近线 x f x a x ( ) lim → 又 = ( 1) 2( 2)( 3) lim − − + = → x x x x x =2 lim ( ) 1 f x x→ − =+ b lim[ f (x) ax] x = − →

→b=lim 2(x-2)x+2-2x x一 lim 2(x-2)(x+3)-2x(x-1 ∴y=2x+4是曲线的斜渐近线 100 50 100

2 ] 1 2( 2)( 3) lim[ x x x x b x − − − +  = → 1 2( 2)( 3) 2 ( 1) lim − − + − − = → x x x x x x =4 ∴y=2x+4是曲线的斜渐近线

利用导数绘制函数的图像 步骤:1确定函数的定义域 2考察函数的奇偶性、周期性 3求函数的间断点、驻点、不可导 点,用这些点划分出若干个子区间 4列表讨论函数在各个子区间内的 增减性、凹凸性,判断极值点和拐点 5确定曲线的渐近线 6求曲线上的一些辅助点 7根据以上讨论完成作图

二、利用导数绘制函数的图像 步骤: 1.确定函数的定义域 2.考察函数的奇偶性、周期性 3.求函数的间断点、驻点、不可导 点,用这些点划分出若干个子区间 4.列表讨论函数在各个子区间内的 增减性、凹凸性,判断极值点和拐点 5.确定曲线的渐近线 6.求曲线上的一些辅助点 7.根据以上讨论完成作图

例2作函数fx) 4(x+1 2的图形 解:x∈(-∞,0)∪(0,+o) 非奇非偶函数无周期性 8(x+3) ∫"(x)= 4(x+2) 3, 令∫(x)=0→驻点x=-2 令∫"(x)=0→特殊点x=-3

例2 作函数f(x)= 2 的图形 4( 1) 2 − + x x 解: x(−,0)∪(0,+) 非奇非偶函数,无周期性 , 4( 2) ( ) 3 x x f x +  = − 4 8( 3) ( ) x x f x +  = 令f (x)=0驻点x= −2 令f (x)=0特殊点x= −3

lim f(x)=lim 4(x+1) 2 2]=-2 x→ x→0 得水平渐近线p=-2 lim f(r)=lim 4(x+1) 2]=+ x→>0 2 得垂直渐近线x=0 列表讨论:

lim f (x) x→ 2] 4( 1) lim[ 2 − + = → x x x = −2 得水平渐近线 y= −2 lim ( ) 0 f x x→ 2] 4( 1) lim[ 2 0 − + = → x x x =+ 得垂直渐近线 x=0 列表讨论: