《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）4.3.2 函数的极值

s32函数的极值 可导函数的极值点一定是驻点但 驻点不一定是极值点 如何判别驻点和不可导点是否为极值点

§3.2 函数的极值 可导函数的极值点一定是驻点,但 驻点不一定是极值点 如何判别驻点和不可导点是否为极值点

判别法则1(第一充分条件) (1)如果x∈(xo-6xo,有f'(x)>0, 而x∈(x02x+δ),有f(x)0 则八x)在x处取得极小值 (3)如果x∈(x0-8x0)及x∈(x02x0+8)时, f'(x)符号相同,则fx)在x0处无极值

判别法则1 (第一充分条件) (1)如果x(x0−, x0 ),有f (x)>0, 而x(x0 , x0+ ),有f (x)0, 则f(x)在x0处取得极小值 (3)如果x(x0−, x0 )及x(x0 , x0+ )时, f (x)符号相同,则f(x)在x0处无极值

极大值 极小值 不是极值 不是极值

x0 y o x + + + − y o x0 x x0 y o x − + 极大值 极小值 x0 y o x − − 不是极值 不是极值

求极值的步骤: (1)求导数f(x) (2)求驻点及不可导点 (3检查f"(x)在驻点及不可导点左右的 正负性判别极值点 (4)求极值

求极值的步骤: (1)求导数f (x) (2)求驻点及不可导点 (3)检查f (x)在驻点及不可导点左右的 正负性判别极值点 (4)求极值

例1求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值 解:∫(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) 令∫"(x)=0→驻点x=-1,x2=3 x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞) 0 极大值 f(x)↑大 极小值 ∴极大值八(-1)=10极小值f(3)=-22

例1 求函数f(x)=x 3−3x 2−9x+5的极值 解: f (x)=3x 2−6x−9=3(x+1)(x−3) 令f (x)=0 驻点x1= −1, x2=3 x f (x) f (x) (−,−1) −1 (−1,3) 3 (3,+) + 0 − 0 +    极 大 值 极 小 值 ∴极大值f(−1)=10 极小值f(3)= −22

fx)=x3-3x2-9x+5的图形: 10 10 -15 20

f(x)=x 3−3x 2−9x+5的图形:

例2求出函数fx)=1-(x-2)3的极值 解:∫'(x)=-2( x-2)3 3 当x=2时,f(x)不存在 0.75 当x0 当x>2时,f'(x)<0 ∵f(2)=1为fx)的极大值

例2 求出函数 f(x)=1− 3 的极值 2 (x − 2) 解: 3 1 ( 2) 3 2 ( ) − f  x = − x − 当x=2时, 当x0 当x>2时, f (x)<0 ∴f(2)=1为f(x)的极大值

判别法则2(第二充分条件) 设fx)在x处具有二阶导数,且 f'(x)=0,那么 (1)当f(x)0时,则fx0)是极小值 (3)当f(x0)=0时,则不能判别fx0)是否 为极值,改用判别法则1 证明结论(1)

判别法则2 (第二充分条件) 设f(x)在x0处具有二阶导数,且 f (x0 )=0,那么 (1)当f (x0 )0时,则f(x0 )是极小值 (3)当f (x0 )=0时,则不能判别f(x0 )是否 为极值,改用判别法则1 证明结论(1):

ⅰ证()f"(xn)=n f(x0+△x)-f(x0) 0时,f(x0+△x)<f"(x)=0 故,函数f(x)在x处取得极大值

[证](1) x f x x f x f x x   +  −   =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f (x0 ) =0 当x>0时, f (x0+x)<f (x0 ) =0 故,函数f(x)在x0处取得极大值

例3求函数(x)=x3+3x2-24x-20的极值 解:∫'(x)=3x2+6x-24=3(x+4)x-2) 令f(x)=0→驻点x1=-4,x2=2 f∫"(x)=6x+6 ∫"(-4)=-180→极小值f(2)=-48

例3 求函数f(x)=x 3+3x 2−24x−20的极值 解: f (x)=3x 2+6x−24=3(x+4)(x−2) 令f (x)=0 驻点x1= −4, x2=2 f (x)=6x+6 f (−4)=−180极小值f(2)= −48