《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）8.1.2 行列式的性质

§12行列式的性质 (以下性质对行和列都成立) 性质1行列式的某一行乘以数,等于用数 k乘该行列式,即 12 In 12 In k k 2 k in ●●鲁 n2 nI n2 nh

§1.2 行列式的性质 性质1 行列式的某一行乘以数k,等于用数 k乘该行列式,即 n n nn i i i n n n n nn i i i n n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a                       1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 = (以下性质对行和列都成立)

性质1中,令k=0,有: 性质2若行列式中某一行的所有元素为零, 则该行列式为零 性质3交换行列式任意两行,行列式改变符 号

性质2 若行列式中某一行的所有元素为零, 则该行列式为零 性质1中,令k=0,有: 性质3 交换行列式任意两行,行列式改变符 号

性质4如果行列式D中某行的所有元素是 两个数的和,那么D可表示成两个新行列式 之和 12 n 11u12 In 2 b.+ n2 nn n1n2 nn 12 +c, c 2 n1n2 nn

n n nn n n n n nn n n n n nn n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a b c b c b c a a a                                  1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 + + + + = 性质4 如果行列式D中某行的所有元素是 两个数的和,那么D可表示成两个新行列式 之和

性质5行列式的某一行的k倍加到另一行 上去,其值不变 12 In 12 In i2 in i2 lh a t ka a+ka i2 a.+ke 1n2 n n n2 nn

性质5 行列式的某一行的k倍加到另一行 上去,其值不变 n n nn j i j i j n i n i i i n n n n nn j j j n i i i n n a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 + + + =

性质6若行列式有两行对应元素相同或成 比例则该行列式为零 性质7行列式的行列互换,其值不变 12 11 21 21 22 2n 22 n2 n2 nn n 2n nn D的转置行列式:Dr

性质6 若行列式有两行对应元素相同或成 比例,则该行列式为零 性质7 行列式的行列互换,其值不变 n n nn n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a               1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = D的转置行列式:DT

25-13 913 例1计算行列式3-15-5 28 7-10 解:计算行列式主要利用性质把行列式 化为三角行列式来计算 1-9137 原式=-3 25-13(第1行与第 5-52行交换) 28-7-10

例1 计算行列式 2 8 7 10 3 1 5 5 1 9 13 7 2 5 1 3 − − − − − − − 解: 计算行列式主要利用性质把行列式 化为三角行列式来计算 原式= 2 8 7 10 3 1 5 5 2 5 1 3 1 9 13 7 − − − − − − − − (第1行与第 2行交换)

1-9137 0-132517(第1行分别乘2, =026-34-26(-3)-2)加到第 026-33-242,3,4行上) 137 0-132517(第2行乘2分别加到 00168第3行上) 001710

0 26 33 24 0 26 34 26 0 13 25 17 1 9 13 7 − − − − − − = − (第1行分别乘2, (−3),(−2)加到第 2,3,4行上) 0 0 17 10 0 0 16 8 0 13 25 17 1 9 13 7 − − = − (第2行乘2分别加到 第3,4行上)

9137 0-132517 (第3行乘 17 00168 16 3加到第4行) 2 =-1×(-13)×16×3 312

2 3 0 0 0 0 0 16 8 0 13 25 17 1 9 13 7 − − = − (第3行乘 16 17 − 加到第4行) 2 3 = −1(−13)16 =312

b b a bb 例2计算n阶行列式bba bbb b b a+(n-1)bb b a+(n-1)b a b 解:原式_a+(n-1)ba bbb a+(n-1)bb b

例2 计算n阶行列式 b b b a b b a b b a b b a b b b          解:原式= a n b b b a a n b b a b a n b a b b a n b b b b          ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + − + − + − + −

16 b 1 a b a+(n-1)b]1 b a bbb.0 66 b la+(n-1)b]00a-b b00 a+(n-1)b](a-b)y-1

b b a b a b a b b b b b a n b          1 1 1 1 = [ + ( − 1) ] a b a b a b b b b a n b − − − = + −          0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 [ ( 1) ] =[a+(n−1)b](a−b) n−1