《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）4.2.2 洛必达法则——其他类型的不定式

§22其他类型的不定式 0∞,∞∞,0,1,00型不定式 关键:通过适当的变形化为型或型

§2.2 其他类型的不定式 0, −, 00 , 1 , 0型不定式 关键: 通过适当的变形化为 0 0 型或   型

1.0型 步骤:0→ ·O 或0.1 例1求lmx2ex x→)+Q 解:原式=imen,=lime x→>+y x→}+∞2x =lim e=+oo x→+0 2

1. 0型 步骤: 0    1 或 0 1 0 例1 求 x x x e 2 lim − →+  解: 原式= 2 lim x e x x→+  x e x x 2 lim →+  = 2 lim x x e →+  = = +

2.∞-∞型 步骤:∞-0→ 1_1二0-0 000·0 例2求lm( x>0 sinx x 解:原式-imx=:mx x→>0 sinx =lim cos x x→>0smnx+ X cos x SIn =0 x→>0cosx+cosx- sinx

2. − 型 步骤 : 01 01  − 0 0 0 0   − − 例2 求 ) 1 sin1 lim ( x 0 x x − → 解: 原式 = x x x x x sin sin lim0 − → x x x x x sin cos 1 cos lim0 +− = → x x x x x x cos cos sin sin lim0 + − = → =0

3.00,1∞,0型 步骤: 0·ln0 取对数 oo.In1 →eU° 0 0·lno

3. 0 0 , 1 , 0型 步骤:        0 0 1 0 取对数          0 ln ln1 0 ln0 e e e e 0

例3求imxx0 x→0+ im xinx 解:原式=lim rinx 0 x→>0+ lim Inx x->0+ Im c→>0+ 2

例3 求 x x x → + 0 lim 解: 原式= x x x e ln 0 lim → + 0 0 x x x e lim ln 0 → + = x x x e 1 ln lim 0 → + = 2 0 1 1 lim x x x e − → + = =e 0 =1

例4求mx1-x1 x-)1 nd 解:原式= lim el-x x→1 nx Im lim

例4 求 x x x − → 1 1 1 lim 解: 原式= 1  x x x e ln 1 1 1 lim − → x x x e → − = 1 ln lim 1 1 1 lim →1 − = x x e =e −1

例5求 lim(cot x)x∞ x→>0 In(cotx) im、ln(cotx) 解:原式=lime Inx Inx x→>0 In(cot x) ·(-cscx) m =lim cotx x=0+ nx x→0+ m x→0+ cossins 原式=e1

例5 求 x x x ln 1 0 lim (cot ) → + 解: 原式= 0 ln(cot ) ln 1 0 lim x x x e → + ln(cot ) l n 1 lim 0 x x x e → + = = → + x x x ln ln(cot ) lim 0  x x x x 1 ( csc ) cot 1 lim 2 0  − → + x x x x cos sin lim 0 − = → + = −1 ∴原式=e −1

练习题 In(1+x) m x→0 2。lim In tan x x→>0 In tan2x 3. lim In sinx x→7(x-2x)2 11181 n(1+ m x→>+ oo arctan x

练习题 x x x ln(1 ) 1. lim 0 + → x x x ln tan 2 ln tan7 2. lim →0 1 1 2 2 ( 2 ) lnsin 3. lim x x x→  − x x x arctan ) 1 ln(1 4. lim + →+  1 8 1 −

5. lim scot 2x x->0 6lim(,2-1 1212 1 1 X 7。limy sInx 8. lim() x-0+"y 9. lim(=arctan x) x→+0兀

x x x 5 . lim cot 2 → 0 ) 1 1 1 2 6 . lim ( 2 1 − − x → x − x x x x sin 0 7 . lim→ + x x x tan 0 ) 1 8 . lim ( → + 2121 − 11 x x arctan x ) 2 9 . lim ( →+   2 − e